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九年级数学上册教学计划和全册教案二十一章一元二次方程第 1 课时21 1一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0 （ a0）及其派生的概念；? 应用一元二次方程概念解决一些简单题目1 通过设置问题，建立数学模型，? 模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义2 一元二次方程的一般形式及其有关概念3 解决一些概念性的题目4 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情重难点关键1 ? 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题2 难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，? 再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念教学过程一、复习引入学生活动：列方程问题（ 1 ）古算趣题：“执竿进屋”笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。如果假设门的高为x? 尺， ? 那么， ? 这个门的宽为_? 尺，长为 _? 尺，? 根据题意， ? 得 _整理、化简，得： _ 二、探索新知学生活动：请口答下面问题（ 1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（ 2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（ 3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？老师点评：（ 1）都只含一个未知数 x；（ 2）它们的最高次数都是 2 次的；（ 3 ）? 都有等号，是方程因此， 像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，? 经过整理， ? 都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0 （ a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0 （ a0）后，其中ax 2 是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数；c 是常数项例 1将方程 3x （ x-1） =5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项分析 ：一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0 （a0 ）因此，方程3x （ x-1 ） =5(x+2) 必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等解：略注意 :二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例 2（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1 ） 2 +（ x-2）（ x+2 ） =?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1 ） 2+（ x-2 ）（x+2 ） =1化成ax 2+bx+c=0（ a0 ）的形式解：略三、巩固练习教材练习 1 、2补充练习 :判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3(2) x 2 =4(3) 3x 2- 5 =0 (4) x 2-4=(x+2) 2(5) ax 2+bx+c=0x四、应用拓展例 3 求证：关于x 的方程（ m2-8m+17 ） x2+2mx+1=0 ，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程分析：要证明不论m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17?0 即可证明： m2 -8m+17= （ m-4 ） 2+1（m-4 ）20（m-4 ）2+10 ，即（ m-4 ） 2+1 0不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程? 练习 : 1.方程（ 2a 4） x2 2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？2. 当 m 为何值时 ,方程 (m+1)x 4m -4 +27mx+5=0 是关于的一元二次方程五、归纳小结 （学生总结，老师点评）本节课要掌握：（ 1）一元二次方程的概念；（2 ）一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0（ a 0） ?和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用六、布置作业第 2 课时 21 1 一元二次方程教学内容1 一元二次方程根的概念；2 ? 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目教学目标了解一元二次方程根的概念， 会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题重难点关键1 重点：判定一个数是否是方程的根；2 ? 难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根教学过程一、复习引入学生活动：请同学独立完成下列问题问题 1 前面有关“执竿进屋”的问题中 ,我们列得方程 x2-8x+20=0列表：x1234567891011x2 -8x+20问题 2前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程 x2+7x-44=0即 x2 +7x=44列表：x123456x2 +7x老师点评（略）二、探索新知提问：（ 1 ）问题 1 中一元二次方程的解是多少？问题2? 中一元二次方程的解是多少？（ 2 ）如果抛开实际问题，问题2 中还有其它解吗？老师点评：（ 1）问题 1 中 x=2 与 x=10 是 x2-8x+20=0的解，问题2 中， x=4 是 x2+7x-44=0的解 .（ 2）如果抛开实际问题，问题2 中还有 x=-11 的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根回过头来看： x2-8x+20=0有两个根，一个是2 ，另一个是10，都满足题意；但是，问题2 中的 x=-11 的根不满足题意因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解例 1 下面哪些数是方程 2x 2+10x+12=0 的根？-4 ， -3 ， -2 ，-1 ， 0， 1， 2 ， 3， 4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可解：将上面的这些数代入后，只有-2 和 -3满足方程的等式，所以x=-2或 x=-3是一元二次方程2x 2+10x+12=0的两根例 2 .若 x=1 是关于 x 的一元二次方程 a x 2+bx+c=0(a 0) 的一个根 ,求代数式 2007(a+b+c) 的值练习 :关于 x 的一元二次方程 (a-1) x 2 +x+a 2 -1=0 的一个根为 0, 则求 a 的值点拨 :如果一个数是方程的根 ,那么把该数代入方程 ,一定能使左右两边相等 ,这种解决问题的思维方法经常用到 ,同学们要深刻理解.例 3 你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（ 1） x2 -64=0（ 2 ）3x 2 -6=0（ 3 ） x2-3x=0分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义解：略三、巩固练习教材思考题练习 1 、2四、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：（ 1）一元二次方程根的概念；（ 2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；（ 3）要会用一些方法求一元二次方程的根(“夹逼”方法; 平方根的意义 )六、布置作业1 教材复习巩固3、 4综合运用5、6 、 7拓广探索8、 92 选用课时作业设计第 3 课时21.2.1配方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程教学目标理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2 +c=0 ，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解 a （ ex+f ） 2 +c=0 型的一元二次方程重难点关键1 重点：运用开平方法解形如（ x+m ）2=n （ n 0）的方程；领会降次转化的数学思想2 难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ） 2 =n（ n0 ）的方程教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题 1 填空（ 1）x2 -8x+_= （ x-_ ）2；（ 2） 9x2+12x+_= （ 3x+_ ）2；（ 3） x2 +px+_= （ x+_）2问题 1 ：根据完全平方公式可得： （ 1 ）164 ；（ 2） 42 ；（ 3）（ p ） 2p 22问题 2 ：目前我们都学过哪些方程 ?二元怎样转化成一元？一元二次方程于一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2=9 ，根据平方根的意义，直接开平方得x= 3，如果 x 换元为 2t+1 ，即（2t+1 ）2=9 ，能否也用直接开平方的方法求解呢？（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1 变为上面的x，那么 2t+1= 3即 2t+1=3 ， 2t+1=-3方程的两根为 t1 =1 ， t2=-2例 1 ：解方程： (1)(2x-1)2=5(2)x 2+6x+9=2(3)x 2-2x+4=-1分析：很清楚， x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2 ） 2=1 解： (2) 由已知，得：（ x+3 ） 2 =2直接开平方，得：x+3= 2即 x+3= 2 ， x+3=- 2所以，方程的两根x1=-3+2 ， x2=-3-2例 2 市政府计划2 年内将人均住房面积由现在的10m 2 提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率分析：设每年人均住房面积增长率为x ?一年后人均住房面积就应该是10+?10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10 （ 1+x ） +10 （1+x ） x=10 （ 1+x ） 2解：设每年人均住房面积增长率为x，则： 10 （ 1+x ） 2=14.4（ 1+x ）2 =1.44直接开平方，得1+x= 1.2即 1+x=1.2 ， 1+x=-1.2所以，方程的两根是x1=0.2=20% ， x2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2 应舍去所以，每年人均住房面积增长率应为20% （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程? 我们把这种思想称为“降次转化思想”三、巩固练习教材练习四、应用拓展例 3 某公司一月份营业额为1 万元，第一季度总营业额为3.31 万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，? 那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x那么 1+ （ 1+x ） +（ 1+x ） 2=3.31把（ 1+x ）当成一个数，配方得：（ 1+x+ 1 ） 2=2.56 ，即（ x+ 3 ） 2=2 5622x+ 3=1.6 ，即 x+3 =1.6 ， x+ 3=-1.6222方程的根为x1=10% ， x2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10% 五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p （ p0 ），那么x= p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n ） 2=p （ p 0 ），那么mx+n=p ，达到降次转化之目的若p 0则方程无解六、布置作业1 教材复习巩固1、 2第 4 课时22.2.1 配方法 (1)教学内容间接即通过变形运用开平方法降次解方程教学目标理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题通过复习可直接化成x2=p（ p 0 ）或（ mx+n ）2 =p（ p 0 ）的一元二次方程的解法，? 引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤重难点关键1 重点：讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤2 ? 难点与关键：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们解下列方程（ 1） 3x 2 -1=5（ 2） 4（x-1 ） 2-9=0（ 3） 4x 2+16x+16=9(4) 4x 2+16x=-7老师点评：上面的方程都能化成x2=p 或（ mx+n ） 2=p （ p 0 ）的形式，那么可得x= p 或mx+n=p （ p 0 ）如： 4x 2 +16x+16=（2x+4 ） 2 , 你能把4x 2+16x=-7化成（2x+4 ） 2=9吗?二、探索新知列出下面问题的方程并回答：（ 1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？（ 2）能否直接用上面三个方程的解法呢？问题2 ：要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2 ,场地的长和宽各是多少？（ 1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有（ 2）不能既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2+6x-16=0移项x2+6x=16两边加（ 6/2 ） 2 使左边配成 x2+2bx+b 2 的形式 x2+6x+3 2=16+9左边写成平方形式 （ x+3 ）2 =?25 ?降次x+3= 5 即 x+3=5 或 x+3=-5解一次方程 x1 =2 ， x2= -8可以验证： x1 =2 ，x2= -8 都是方程的根 ,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m ，常为 8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解例 1 用配方法解下列关于 x 的方程（ 1） x2 -8x+1=01（ 2） x2-2x- =02分析：（ 1 ）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；（ 2 ）同上解：略三、巩固练习教材 P 38讨论改为课堂练习，并说明理由教材 P 39练习 12（ 1 ）、（ 2 ）四、应用拓展例 3 如图，在 Rt ACB 中，C=90 ，AC=8m ，CB=6m ，点 P、Q 同时由 A，B?两点出发分别沿AC 、BC 方向向点 C 匀速移动，它们的速度都是1m/s ，? 几秒后PCQ? 的面积为 RtACB面积的一半APCQB分析：设 x 秒后PCQ 的面积为 Rt ABC 面积的一半， PCQ 也是直角三角形? 根据已知列出等式解：设 x 秒后PCQ 的面积为 Rt ACB 面积的一半根据题意，得： 1 （ 8-x ）（ 6-x ）=1 18 6222整理，得： x2 -14x+24=0（ x-7 ）2=25 即 x1=12 ， x2=2x1=12 ， x2=2 都是原方程的根，但x1=12 不合题意，舍去所以 2 秒后PCQ 的面积为Rt ACB 面积的一半五、归纳小结本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程六、布置作业1 教材复习巩固2 3(1)(2)第 5 课时21.2.1 配方法 (2)教学内容给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程教学目标了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目重难点关键1 重点：讲清配方法的解题步骤2 难点与关键：把常数项移到方程右边后， ? 两边加上的常数是一次项系数一半的平方教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程：（ 1） x2 -4x+7=0（ 2 ） 2x 2-8x+1=0老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式，? 不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题解：略 .(2) 与 (1) 有何关联?二、探索新知讨论 :配方法届一元二次方程的一般步骤：(1) 现将已知方程化为一般形式；（ 2 ）化二次项系数为1；（ 3 ）常数项移到右边；（ 4 ）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（ 5 ）变形为 (x+p)2=q 的形式，如果 q 0，方程的根是 x=-p q；如果 q 0,方程无实根例 1 解下列方程（ 1） 2x 2 +1=3x（ 2） 3x 2-6x+4=0（ 3 ）（ 1+x ）2 +2 （ 1+x ） -4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方解：略三、巩固练习教材 P练习2 （ 3 ）、（ 4）、（ 5 ）、（ 6 ）四、归纳小结本节课应掌握：1 配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤2 配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例3 ）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到。六、布置作业1.教材P45复习巩固3（ 3 ）（4）补充：（ 1 ）已知 x2+y 2+z 2 -2x+4y-6z+14=0，则求（ 2 ）求证： 无论 x、 y 取任何实数，多项式x+y+z 的值x2+y 2-2x-4y+16的值总是正数第 6 课时21.2.2公式法教学内容1 一元二次方程求根公式的推导过程；2 公式法的概念；3 利用公式法解一元二次方程教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0 （ a0 ） ? 的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程重难点关键1 重点：求根公式的推导和公式法的应用2 难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导教学过程一、复习引入1 前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程（ 1 ） x2=4(2)(x-2) 2 =7提问 1这种解法的（理论）依据是什么？提问 2这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。）2 面对这种局限性，怎么办？（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。）（学生活动）用配方法解方程2x 2+3=7x（老师点评）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）(1) 现将已知方程化为一般形式； （ 2 ）化二次项系数为 1；（ 3 ）常数项移到右边；（ 4 ）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（ 5 ）变形为 (x+p)2=q 的形式，如果 q 0，方程的根是 x=-p q；如果 q 0,方程无实根二、探索新知用配方法解方程（ 1 ）ax 2 7x+3 =0(2)a x 2 +bx+3=0(3) 如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（ a 0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题问题 ：已知 ax 2 +bx+c=0 （ a 0），试推导它的两个根bb24acb b24acx1=2a， x2=2a(这个方程一定有解吗 ?什么情况下有解？ )分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、 b 、 c?也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去解：移项，得： ax 2 +bx=-c二次项系数化为1 ，得 x2+ b x=-caa配方，得： x2 + b x+ （ b ） 2 =-c +（ b）2a2aa2a即（ x+b ） 2= b24ac2a4a24a20 ， 4a2 0,当 b2 -4ac 0b24ac时04a2（x+b ） 2 =(b24ac )22a2a直接开平方，得：b=b24ac即 x=b b24acx+2a2a2ax1=bb24ac ， x2 =bb24ac2a2a由上可知，一元二次方程ax2 +bx+c=0 （ a0）的根由方程的系数a、b 、 c 而定，因此：（ 1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2 +bx+c=0 ，当 b2 -4ac 0 时， ? 将 a 、b 、c 代入式子 x=bb24ac就得到方程的根 (公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、2a除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)（ 2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式（ 3 ）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法公式的理解（ 4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根例 1 用公式法解下列方程（ 1） 2x 2 -x-1=0（ 2 ） x2 +1.5=-3x (3) x 2- 2 x+1（4 ） 4x 2-3x+2=0=02分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可补 :（ 5 ）（x-2 ）（ 3x-5 ）=0三、巩固练习教材 P 42 练习 1 （ 1 ）、（ 3）、（ 5 ）或 (2) 、 (4)、 (6)四、应用拓展例 2 某数学兴趣小组对关于x 的方程（ m+1 ） xm2 2 +（ m-2 ） x-1=0 提出了下列问题（ 1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程（ 2）若使方程为一元二次方程m 是否存在？若存在，请求出你能解决这个问题吗？分析 ：能（ 1 ）要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2 ，同时还要满足（ m+1 ）0（ 2）要使它为一元一次方程，必须满足:m2 1 1m21 0m 1 0或或m 2 0(m 1) ( m 2) 0m 2 0五、归纳小结本节课应掌握：（ 1）求根公式的概念及其推导过程；（ 2 ）公式法的概念；（ 3）应用公式法解一元二次方程的步骤:1）将所给的方程变成一般形式， 注意移项要变号， 尽量让 a0.2)找出系数 a,b,c, 注意各项的系数包括符号。3) 计算 b2 -4ac ，若结果为负数，方程无解，4 ）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。（ 4）初步了解一元二次方程根的情况六、布置作业教材 复习巩固 4第 7 课时 21.2.4 判别一元二次方程根的情况教学内容用 b2-4ac 大于、等于 0、小于 0 判别 ax 2+bx+c=0 （ a 0 ）的根的情况及其运用教学目标掌握 b 2 -4ac0 ，ax 2 +bx+c=0 （ a0）有两个不等的实根，反之也成立；b2 -4ac=0 ， ax 2+bx+c=0 （a0 ）有两个相等的实数根，反之也成立；b 2-4ac0 、b 2-4ac=0 、b 2-4ac0一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数；b2 -4ac0， ? 有两个不相等的实根；（ 2 ）b2 -4ac=12-12=0，有两个相等的实根； （ 3） b2 -4ac= -4 4 1 =0 （ 0时，根据平方根的意义，b24ac 等于一个具体数，所2a以一元一次方程的x1=bb24ac x1=bb24ac ，即有两个不相等的实根当b 2-4ac=0 时， ?2a2a根据平方根的意义b24ac =0 ，所以 x1 =x 2=b ，即有两个相等的实根；当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a 0） ? 有两个不相等实数根即x1 =bb24ac ， x2=bb24ac 2a2ab （ 2）当 b-4ac=0 时，一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 （a 0）有两个相等实数根即x1=x 2 =2a（ 3）当 b 2-4ac0 时，一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （a 0 ）没有实数根例 1 不解方程，判定方程根的情况（ 1） 16x 2+8x=-3（ 2 ）9x 2 +6x+1=0（ 3） 2x 2 -9x+8=0（ 4 ）x2-7x-18=0分析：不解方程，判定根的情况，只需用b2 -4ac 的值大于0 、小于 0、等于 0? 的情况进行分析即可解：（1）化为 16x 2+8x+3=0这里 a=16 ， b=8 ， c=3 ， b 2-4ac=64-4 16 3=-1280 的解集（用含 a 的式子表示）分析：要求 ax+30 的解集，就是求ax-3 的解集，那么就转化为要判定a 的值是正、负或0因为一元二次方程（ a-2 ） x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a ） 2-4 （ a-2 ）（ a+1 ） 0一元二次方程ax 2 +bx+c=0 （ a 0 ）有两个不相等的实根；b2-4ac=0一元二次方程ax 2+bx+c=0 （ a 0 ）有两个相等的实根；b 2-4ac0一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ a 0）没有实数根及其它的运用六、布置作业教材复习巩固6 综合运用9 拓广探索 1 、 2第 8 课时21.2.3因式分解法教学内容用因式分解法解一元二次方程教学目标掌握用因式分解法解一元二次方程通过复习用配方法、 公式法解一元二次方程， 体会和探寻用更简单的方法因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题重难点关键1 重点：用因式分解法解一元二次方程2 ? 难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便教学过程一、复习引入（学生活动）解下列方程（ 1） 2x 2 +x=0 （用配方法）（ 2 ）3x 2 +6x=0 （用公式法）老师点评：（ 1）配方法将方程两边同除以2 后， x 前面的系数应为1 ， 1 的一半应为1 ，因此，应加上（ 1 ） 2 ，同时减去（1 ） 2（ 2）直接用公式求解22444二、探索新知（学生活动）请同学们口答下面各题（老师提问）（1 ）上面两个方程中有没有常数项？（ 2）等式左边的各项有没有共同因式？（学生先答，老师解答）上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:因此，上面两个方程都可以写成：（ 1） x（ 2x+1 ）=0（ 2） 3x （x+2 ） =0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0 或 2x+1=0 ，所以 x1 =0 ，x2=-1 2（ 2） 3x=0 或 x+2=0 ，所以 x1=0 ， x2 =-2 （以上解法是如何实现降次的？）因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法例 1 解方程（ 1） 10x-4.9 x2 =0（ 2） x（ x-2 ） +x-2 =013(3)5x 2-2x-=x 2-2x+44(4)(x-1) 2 =(3-2x) 2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略（方程一边为 0，另一边可分解为两个一次因式乘积。）练习： 1 下面一元二次方程解法中，正确的是（）A（ x-3 ）（ x-5） =10 2 ，x-3=10 ， x-5=2 ，x1=13 ，x2=7B（ 2-5x ）+（ 5x-2 ） 2 =0 ，（5x-2 ）（ 5x-3 ）=0 ，x1=2， x2=355C（ x+2 ） 2+4x=0 ，x1=2 ， x2 =-2D x2=x 两边同除以 x，得 x=1三、巩固练习教材 练习 1 、 2aba2b2例 2 已知 9a2-4b 2 =0 ，求代数式a的值a2b2babab的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a 与 b 的关系后代分析：要求aabb入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误a2b2a2b22b解：原式 =aba9a2-4b 2=0（3a+2b ）（ 3a-2b ） =03a+2b=0或 3a-2b=0 ，a=-2b 或 a=2b332b当 a=-2b 时，原式 =-3=32b32当 a=b 时，原式 =-3 3四、应用拓展例 3 我们知道 x2-（ a+b ） x+ab= （ x-a ）（ x-b ），那么 x2- （a+b ） x+ab=0 就可转化为（ x-a ）（ x-b ） =0 ，请你用上面的方法解下列方程（ 1） x2 -3x-4=0（ 2 ） x2-7x+6=0（3 ） x2 +4x-5=0分析：二次三项式x2-（ a+b ） x+ab 的最大特点是x2 项是由 xx 而成，常数项ab 是由 -a （ -b ）而成的，而一次项是由-a x+ （-b x）交叉相乘而成的根据上面的分析，? 我们可以对上面的三题分解因式五、归纳小结本节课要掌握：（ 1）用因式分解法，即用提取公因式法、? 十字相乘法等解一元二次方程及其应用（ 2）因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为六、布置作业教材复习巩固5综合运用8 、10拓广探索11第 9 课时一元二次方程的解法复习课教学内容习题课教学目标0， ?再分别使各一次因式等于0能掌握解一元二次方程的四种方法以及各种解法的要点。会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理，通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想方法。重难点关键1 重点： 会根据不同的方程特点选用恰当的方法，是解题过程简单合理。2 难点： 通过揭示各种解法的本质联系，渗透降次化归的思想。教学过程1 用不同的方法解一元二次方程3 x 2 -5x-2=0( 配方法，公式法，因式分解发)教师点评：三种不同的解法体现了同样的解题思路把一元二次方程“降次”转化为一元一次方程求解。2 把下列方程的最简洁法选填在括号内。(A) 直接开平方法(B)配方法(C) 公式法(D) 因式分解法（ 1 ）7x-3=2 x 2 ()(2)4(9x-1)2=25 ()(3)(x+2)(x-1)=20()(4) 4x2 +7x=2 () (5)2(0.2t+3) 2-12.5=0 () (6) x 2+2 2x-4=0 ()说明 :一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程，因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解，右边为0 的特点的一元二次方程时，非常简便。3 将下列方程化成一般形式，在选择恰当的方法求解。(1)3x 2=x+4 (2)(2x+1)(4x-2)=(2x-1)2 +2 (3)(x+3)(x-4)=-6（ 4） (x+1)2 -2(x-1)2 =6x-5说明：将一元二次方程化成一般形式不仅是解一元二次方程的基本技能，而节能为揭发的选择提供基础。4.阅读材料，解答问题：材料：为解方程(x2-1)2 -5(x 2-1)2+4=0,我们可以视（x2-1 ）为一个整体，然后设x2-1=y, 原方程可化为y2-5y+4=0 .解得y1 =1,y 2=4 。当y1=1时， x2-1=1即 x2=2 ， x= 2 .当y2=4时， x2-1=4即 x2=5, x=5。原方程的解为x1=2 ,x 2=-2 ,x3 =5,x4=-5解答问题：（ 1 ）填空：在由原方程得到的过程中利用_法，达到了降次的目的，体现_的数学思想。（ 2）解方程x4 x26=0.5.小结 (1) 说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识(消元、降次、化归的思想)(2) 三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：联系降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次公式法是由配方法推导而得到配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程区别：配方法要先配方，再开方求根公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0 ，? 再分别使各一次因式等于0 作业 P 58 复习题 221.21.2.4一元二次方程根与系数的关系【教学设计总意图】 ：本课是一节公式定理的新知课第一课时，曾在旧版的教材中占据很重要的位置，不但在中考中体现，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用. 本册教材又将曾一度删去的内容恢复，可见根
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