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AB C A1B1 C1 A = A1， B = B1， C = C1，AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k当时，则ABC 与A1B1C1 相似，记作ABC A 1B1C1。 要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。注意 相似三角形 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 AB C E D F相似的表示方法符号： 读作：相似于 相似比AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k时，AB C A1B 1 C1则ABC 与A1B1C1 的相似比为 k .或A1B1C1 与ABC 的相似比为 .1k 这两个风筝图形相似，观察并思考： A B AA1B1 C1大胆猜想，那么，若已知AB A1B1，能否得出ABC1 A1B1C1AB A1B1 除了根据相似三角形的定义来判断是否相似，还有其它的方法吗？ 理解相似三角形的判定方法知识与能力 以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法过程与方法 培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值 情感态度与价值观 会应用相似三角形的两个判定方法。 怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似。 抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点。 已知：DE/BC，且D是边AB的中点，DE交AC于E . 猜想：ADE与ABC有什么关系?并证明。AB CD E证明:且 A= A DE / BC 1 = B， 2 = C ADE与ABC的对应角相等相似。1 2 三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 。 四边形DBFE是平行四边形 DE=BF , DB= EF ADE ABCAB CD EF过E作EF/AB交BC于F 又 DE / BC又 AD = DB AD = EF A = 3， 2 = C ADEEFC DE = FC =BF， ADE与ABC的对应边成比例23 AE=EC12AEAC 12DEBC 12AD AE DEAB AC BC 12 已知：DE/BC，ADE与ABC有什么关系?猜想：ADE与ABC有什么关系?相似。AB CD EF当点D在AB上任意一点时，上面的结论还成立吗？1 2你能证明吗？ 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。知识要点平行于三角形一边的定理AB CD E即：在ABC中，如果DE BC，那么ADEABCA型 你还能画出其他图形吗？ 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。D EA CB延伸即：如果DE BC，那么ADEABC你能证明吗？X型 平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。推论AB CD E即：在ABC中，如果DE BC，那么,AD AE DEAB AC BC ,AD AEDB EC ,DB ECAD AE ,AB AC BCAD AE DE （上比全， 全比上）（上比下，下比上）（下比全，全比下）DB ECAB AC，,AB ACDB EC A B CDE相似具有传递性ADEABCMN 如果再作 MN DE ，共有多少对相似三角形？AMNADEAMNABC共有三对相似三角形。 定义判定方法全等三角形相似三角形回 顾 并 思 考三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等, 三边对应成比例的两个三角形相似 角边角ASA角角边AAS边边边SSS边角边SAS斜边与直角边HL 判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？ 边边边SSS已知：ABCA1B1C1.A1B 1 C1AB C 1 1 1 1 1 1 .AB BC ACAB BC AC 求证：有效利用判定定理一去求证。探究1 证明：在线段 （或它的延长线）上截取 ，过点D作 ，交 于点E根据前面的定理可得 .1 1AB1AD AB 1 1DE BC1 1AC1 1 1 1ADE ABC A1B1 C1AB C D E 1 11 1 1 1 1 1AD AEDEAB BC AC 11 1 1 1 1 1 ,AB BC AC AD ABAB BC AC 1AE AC,DE BC 1 1 1ABC ABC 1ADE ABC 又A1B1 C1AB C D E 11 1 1 1 1 1 1 1, AEDE BC ACBC BC AC AC （SSS） 1 1 1 1ADE ABC 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之一ABCA1B1C1. 1 1 1 1 1 1 ,AB BC ACAB BC AC 即：如果那么A1B1 C1AB C 三边对应成比例，两三角形相似。边边边SSS AB BC ACAD DE AE ，求证： BAD= CAE。AD CEB ABC ADE BAC= DAE BAC DAC = DAE DAC即 BAD= CAE已知：解： AB BC ACAD DE AE ， 边角边SAS探究2已知：ABCA1B1C1.A1B 1 C1AB C 1 1 1 1 ,AB BC kAB BC 求证： B = B1 .你能证明吗？ 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之二两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。边角边SASA1B1 C1AB CABCA1B1C1.即：如果1 1 1 1 ,AB BC kAB BC B = B1 .那么 大家一起画一个三角形 ，三个角分别为60、45、75，大家画出的三角形相似吗?同桌的同学，通过测量对应边的长度进行比较。探究3即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_。相似一定需要三个角吗？ 角边角ASA角角边AAS角角AAA1B 1 C1AB C已知：ABCA1B1C1.求证： A = A1， B = B1 . 你能证明吗？ 如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之三两角对应相等，两三角形相似。角角AAA1B 1 C1AB CABCA1B1C1.即：如果那么 A = A1， B = B1 . 如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？一角对应相等的两个三角形不一定相似。 ACD CBD ABC找出图中所有的相似三角形。“双垂直”三角形BDA C有三对相似三角形：ACD CBDCBD ABCACD ABC 常用的成比例的线段：常用的相等的角： A = DCB ； B = ACD2AC AD AB 2BC BD AB 2CD AD DB AC BC AB CD BDA C 例 题已知：DE BC，EF AB.求证：ADEEFC. A EFB CD解: DE BC，EF AB（已知） ADE B EFC （两直线平行，同位角相等） AED C（两直线平行，同位角相等） ADEEFC （两个角分别对应相等的两个三角形相似） 相似三角形对应高的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B1 又 ADB = A 1D1B1 =900 ADB A1D1B1（角角）1 1 1 1AD AB kAD AB A1B1 C1AB CD D1证明： 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B1， BAC = B1A1C1 AD，A1D1分别是 BAC和 B1A1C1的角平分线 BAD = B 1A1D1 ADB A1D1B1（角角）1 1 1 1AD AB kAD AB A1B1 C1AB CD D1证明： 相似三角形对应中线的比等于相似比A1B1 C1AB CD D1 1 1 1 1AD AB kAD AB 探究4已知：ABCA1B1C1.1 1 1 1 ,AB BC kAB BC 求证：你能证明吗？HLAB C A1B 1 C1 RtABC 和 RtA1B1C1. 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。知识要点判定三角形相似的定理之四HLAB CABCA1B1C1.即：如果那么A1B 1 C1 1 1 1 1 ,AB BC kAB BC RtABC 和 RtA1B1C1. 1. 相似图形三角形的判定方法： 通过定义 平行于三角形一边的直线 三边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等 两角对应相等 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL） 对应角相等。 对应边成比例。 对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。 对应角平分线的比等于相似比。2. 相似三角形的性质： （1）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等边三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。（5）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。（6）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。（7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。（8）相似的两个三角形一定大小不等。1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。 2. AD BC于点D， CE AB于点 E ，且交AD于F，你能从中找出几对相似三角形？B CAE D F 503010030303. 下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？AC B A1C1 B1D E FA B C60相似相似 4. 过ABC( C B)的边AB上一点D 作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角形与ABC相似，这样的直线有几条？CD B CAD E EB CAD ADE ABC AED ABC A= A AED= C A= A AED= B作DE，使 AED= C作DE，使 AED= B这样的直线有两条： 5. 已知：如图，AB EF CD，图中共有_对相似三角形。 C D A B E F O 3EOFCOD AB EFAOB FOE AB CDEF CDAOB DOC 6. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形_。 7. 若ABC与ABC相似，一组对应边的长为AB=3 cm，AB=4 cm，那么ABC与ABC的相似比是_。 8. 若ABC的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个ABC的最小边长为12 cm，那么ABC的最大边长是_。全等4324cm 9. 如图，在ABC中，DG EH FI BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_。AB CDEF GHIADGAEHAFIABC 1:4 A D BE C解: （1） DE BC ADEABC AED = C = 400在ADE中， ADE =180-40-45= 9510. 已知：DE BC，AE=50cm，EC=30cm， BC=70cm， BAC=45， ACB=40 求：（1） AED和 ADE的大小。 （2）求DE的长。 ).(75.433050 7050, .70305050, cmDE DEBCDEACAE 所以即（2） ADEABCA D B E C
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