材料力学基本第五章-圆轴扭转课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 圆轴扭转,5-1,外加力偶矩与所传递功率的关系,5-2,纯剪切状态与切应力互等定理,5-3,圆轴扭转时的切应力分析,5-4,圆轴扭转时的迁都与刚度计算,5-5,结论与讨论,第五章 圆轴扭转5-1 外加力偶矩与所传递功率的关系5,5.1,外加力偶矩与所传递功率的关系,求横截面,n,-,n,上的内力偶矩,截面法,作用于横截面上的内力偶矩称为,扭矩,由作用与反作用原理可知，在部分,横截面,n,-,n,上也必然有大小相等、转向相反的扭矩,T,5.1 外加力偶矩与所传递功率的关系 求横截面n-n上的内,发生扭转变形的外力偶矩，称为,扭转力偶矩,1.,已知外力,2.,已知传递的功率,P,(kW),和转速,n,(r/min),得,发生扭转变形的外力偶矩，称为扭转力偶矩 1.已知外力2.,5.2,纯剪切状态与,切应力互等定理,一、实验观测,现象,(1),纵向线都倾斜了相同的角度，变为平行的螺旋线。,5.2.1,薄壁圆筒的扭转时的切应力与纯剪切状态,在圆筒表面画一系列纵向线和圆周线。,(2),圆周线绕杆轴线旋转了不同的角度，但仍保持为圆形，且在原来的平面内。,推断：,(a),变形后，横截面仍保持为平面；,(b),横截面上没有正应力，只有切应力，切应力的方向与半径垂直。,5.2 纯剪切状态与切应力互等定理 一、实验观测现象(1,研究薄壁筒的任一横截面,横截面上的扭矩,微内力,d,A,对截面形心的力矩为,d,A,R,微面积,d,A=R,d,二、,切应力的计算,即,积分得,研究薄壁筒的任一横截面 横截面上的扭矩 微内力dA对截面形,取一单元体,力,d,y,d,z,左、右侧面,上、下侧面,5.2.2,切应力互等定理,平衡条件,Mz,=0,得,d,y,d,z,d,x,-,d,x,d,z,d,y,=0,力偶矩,(,d,y,d,z,)d,x,切应力,切应力,力,d,y,d,z,力偶矩,(,d,x,d,z,)d,y,=,取一单元体 力dydz 左、右侧面 上、下侧面 5.2.2,切应力互等定理,在单元体相互垂直的截面上，切应力必然成对出现，且大小相等，方向都指向,(,或背离,),两平面的交线,纯剪切应力状态,单元体侧面上只有切应力，没有正应力的状态称为,纯剪切应力状态。,切应力互等定理 在单元体相互垂直的截面上，切应力必然成对出现,直角的改变量即为,切应变,低碳钢的 曲线,在弹性极限范围内,5.2.3,剪切胡克定理,上式称为,剪切胡克定理,。,G,称为材料的,切变模量,单位为帕,(Pa),切变模量,G,、,弹性模量,E,和泊松比,三者之间的关系是,直角的改变量即为切应变 低碳钢的 曲线在弹性极,5.3,圆轴扭转时的切应力分析,圆轴扭转,的,平面假设,变形前为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，半径仍保持为直线，各横截面的形状、大小及间距均不改变。,5.3.1,平面假定,圆轴扭转时横截面上的应力可以从三个方面导出,1,几何方面,2,物理方面,3,静力学方面,5.3 圆轴扭转时的切应力分析 圆轴扭转的平面假设,5.3.2,变形协调方程,取长为,d,x,的微段,从该微段中切取一楔形体,由几何关系及小变形假设,两截面的相对扭转角为,表示扭转角,沿轴线的变化率，称为,单位长度扭转角,在同一半径为,的圆周上，各点处的切应变,均相同，且与,成正比。,5.3.2变形协调方程取长为dx的微段从该微段中切取一楔形,5.3.3,物理方面,根据剪切胡克定律，在线弹性范围内，切应力与切应变成正比。,横截面上半径为,处的切应力为,(1),横截面的切应力与该点到圆心的距离,成正比。,(2),纵向截面上的切应力也沿半径线性变化。,5.3.3物理方面 根据剪切胡克定律，在线弹性范围内，切应,5.3.4,静力学方面,微力矩,截面上的扭矩,为常量，得,引进记号,I,p,称为横截面对圆心的,极惯性矩,圆轴单位长度扭转角的计算公式,5.3.4静力学方面 微力矩 截面上的扭矩 为常量，得 引,5.3.5,圆轴扭转时横截面上的切应力表达式,圆轴横截面上任一点处的切应力,切应力达到最大值,引进记号,W,p,称为,抗扭截面系数,。,(1),只适用于弹性范围内的等直圆轴,(2),对于小锥度圆轴，也可以用以上各式近似地计算。,说明：,5.3.5 圆轴扭转时横截面上的切应力表达式圆轴横截面,例 图,3-13a,所示阶梯形圆轴直径分别为,d,1,=40 mm,，,d,2,=60 mm,。由轮,3,输入的功率,P,3,=60 kW,，轮,1,输出的功率,P,1,=24 kW,。轴作匀速转动，转速,n,=300 r/min,。材料的许用切应力,=70 MPa,。试校核轴的强度。,解,(1),计算外力偶矩，画扭矩图,例 图3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为d1=40 mm,(2),校核扭转强度,尽管最大扭矩发生在,DB,段内，但这一段截面的直径也大，对,AC,和,DB,两段轴都需要作强度校核。,AC,段,DB,段,轴满足强度要求。,(2)校核扭转强度 尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面,5.4,圆杆扭转时的强度和刚度计算,5.4.1,圆轴扭转实验与破坏现象,1,观察变形现象：,2,变形现象,：,（,1,）纵线在变形后近似为直线，,但相对于原位置转了一个 角。,（,2,）环线变形后仍相互平行，产生了剪应变。,3,推论,：,（,1,）圆杆在扭转后横截面保持为垂直杆轴线的平面，,且大小、形状不变，半径为直线。,（,2,）用纵线和环线截取的单元体处于纯剪切状态。,（,3,）圆杆的横截面上只有剪应力作用，方向垂直于半径。,5.4 圆杆扭转时的强度和刚度计算,(1),为材料的许用切应力,(3),对变截面轴,需要综合考虑,T,和,W,p,来确定,max,。,(2),对于等直轴，最大切应力发生于扭矩最大截面上的外边缘。,5.4.2,圆轴扭转强度条件,(1)为材料的许用切应力(3)对变截面轴,需,(1),实心圆截面,空心圆截面杆横截面上的切应力仍然呈线性分布，最大切应力发生在截面外边缘。,(2),空心圆截面,极惯性矩与抗扭截面系数,(1)实心圆截面 空心圆截面杆横截面上的切应力仍,例,3-2,图,3-13a,所示阶梯形圆轴直径分别为,d,1,=40 mm,，,d,2,=60 mm,。由轮,3,输入的功率,P,3,=60 kW,，轮,1,输出的功率,P,1,=24 kW,。轴作匀速转动，转速,n,=300 r/min,。材料的许用切应力,=70 MPa,。试校核轴的强度。,解,(1),计算外力偶矩，画扭矩图,例3-2 图3-13a所示阶梯形圆轴直径分别为d1=40,5.4.3,圆轴扭转刚度计算,相距为,d,x,的两截面间的相对扭转角为,相距为,l,的两横截面间的相对扭转角为,当,T,和,GI,p,为常量时,GI,p,反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为,抗扭刚度,。,扭转角,的单位是,rad,。,一、扭转角,5.4.3 圆轴扭转刚度计算 相距为dx的两截面间的相对扭,二、刚度条件,取长为,d,x,的微段,是最大单位长度扭转角，单位为,rad/m,在设计规范中，单位长度许用扭转角的单位通常是度,/,米,(,/m),。,二、刚度条件 取长为dx的微段是最大单位长度扭转角，单位为r,例,33,图,3-14a,所示为一装有四个皮带轮的实心圆轴。已知,M,e,1,=,M,e,2,=3.5 kNm,，,M,e,3,=11.5kNm,，,M,e,4,=4.5 kNm,；材料的切变模量,G,=80GPa,，许用切应力,=80MPa,，单位长度许用扭转角,=0.8,/m,。试设计轴的直径，并计算全轴的相对扭转角。,解,(1),计算外力偶矩，画扭矩图,例33 图3-14a所示为一装有四个皮带轮的实心圆轴。已,(2),设计轴的直径,圆轴中最大扭矩发生在,BC,段，其绝对值为,7.0 kNm,。,根据强度条件,根据刚度条件,轴的直径可选用,D,=90 mm,(2)设计轴的直径 圆轴中最大扭矩发生在BC段，其绝对值为7,(3),计算全轴的相对扭转角,极惯性矩,各段的相对扭转角为,全轴的相对扭转角为,(3)计算全轴的相对扭转角 极惯性矩 各段的相对扭转角为,例,3-4,图,3-15a,示两种材料制成的组合轴,外层空心圆轴的抗扭刚度为,内层实心圆轴的抗扭刚度为 ，两轴紧密地配合在一起，求此组合轴在扭转力偶矩,M,e,作用下的切应力。,解,(1),平衡方程,空心圆轴承担的扭矩为,T,1,，实心圆轴承担的扭矩为,T,2,(2),变形协调条件,例3-4 图3-15a示两种材料制成的组合轴,外层空心圆轴,联立求解,代入式,两轴内半径为,处的切应力分别为,联立求解 代入式 两轴内半径为处的切应力分别为,(2),校核扭转强度,尽管最大扭矩发生在,DB,段内，但这一段截面的直径也大，对,AC,和,DB,两段轴都需要作强度校核。,AC,段,DB,段,轴满足强度要求。,(2)校核扭转强度 尽管最大扭矩发生在DB段内，但这一段截面,5.5.,结论与讨论,（一）扭转是杆件四种基本变形之一，本章主要计论圆截面等,直 杆的扭转。,（二）扭转时杆所受的外力是作用在垂直于杆轴线平面内的外,力 偶。变形的特征是杆件的横截面绕杆轴线作相对运,动。,（三）扭转时杆件横截面上的内力，可用截面法求得。它是,作用 在横截面所在平面的内力偶，称为扭矩。,5.5.结论与讨论（一）扭转是杆件四种基本变形之一，本章主,（四）圆轴扭转时，变形符合平面假设。由此可得变形的几,何关系，再用剪切胡克定律和静力关系，便可以导出,圆轴扭转时横载面上的剪应力公式,和变形公式,应用这两个公式进一步可得出圆轴扭转时的强度，刚,度条件为,（四）圆轴扭转时，变形符合平面假设。由此可得变形的几,（五）用强度，刚度条件解决实际部题的步骤,1,）求出轴上外力偶矩；,2,）计算扭矩和作出扭矩图；,3,）分析危险截面；,4,）列出危险截面的强度、刚度条件并进行计算。,（五）用强度，刚度条件解决实际部题的步骤,