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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,数字图象处理技术,高等学校规划教材,图像信息研究所,1,主要内容,预备知识,：常用信号及特性,，,傅里叶变换,，,卷积与相关；线性系统分析,视觉特性，图像评价,图像数字化原理,：图像的表示；采样与量化,数字图像的线性处理,：二维离散卷积与相关；离散傅氏变换；,离散余弦变换；其它可分离变换,*,图像增强,：灰度修改技术；图像平滑与锐化；伪彩色与假彩色图像增强,图像压缩编码,：统计编码；预测编码；变换编码；国际标准,图像恢复与重建,*,：图像退化模型；无约束恢复；有约束恢复；,几何失真校正；投影重建,2,主要参考书目,刘榴娣等,.,实用数学图像处理,.,北京,：,北京理工大学出版社,1998,章毓晋,.,图像处理与分析,.,北京：清华大学出版社,，,1999,K,.,R,.,Castleman,.,Digital Image Processing,.,Prentice Hall,Inc,.,1996,(,影印版,.,清华大学出版社，,1998,；,中译本,.,电子工业出版社,，,1998,）,容观澳,.,计算机图像处理,.,北京,：,清华大学出版社,，,2000,周新伦,.,数字图像处理,.,北京,：,国防工业出版社,1996,3,目录,预备知识,线性系统基本理论,第一章 图像数字化原理,第二章 数字图像的线性处理,第三章 图像增强,第四章 图像压缩编码,第五章 图像恢复与重建,4,预备知识：信号与线性系统基础,0.1,常用信号及特性,0.2,傅立叶变换,0.3,快速傅立叶变换,(,FFT,),0.4,卷积与相关,0.5,线性系统分析,上级目录,5,0.1,常用信号及特性,上级目录,0.1.1,单位阶跃函数,0.1.2,单位冲激函数,0.1.3,二维冲激函数,6,0.1.1,单位阶跃函数,定义,：,单位阶跃函数，是 处不连续的符号函数，定义如下：,波形,例,如,作用,：,可用来表示一个信号的定义域,。,用于表示,(,或定义,),单边指数函数、门函数等信号,。,上级目录,7,0.1.2,单位冲激函数（定义）,定义：,又称狄拉克函数或 函数，用 表示。它是一种通过,积分性质定义的符号函数。定义如下：,函数在 处面积,(,或强度,),为,1,；,时处处为,0,。,波形,函数可由,矩形窄脉冲的极限,描述,例子之一,上页,8,0.1.2,单位冲激函数（性质）,取样概念,性质,：,(1),筛选性质：,上页,取样是基于,函数的,一个重要概念,。,(2),卷积性质：,下列积分定义为,函数与 的卷积,：,9,0.1.2,单位冲激函数（性质）,卷积服从交换律：,(3),偶函数：,简单证明,：,上页,函数 与 的卷积是 自身,。,进一步有：,10,0.1.2,二维冲激函数,（定义）,上页,定义：,一般地，定义在 处的二维冲激函数为：,当 时，,11,0.1.2,二维冲激函数,（性质）,筛选,卷积,偶对称,推广,记作,性质,：,上页,12,0.1.2,二维冲激阵列,二维冲激阵列,在图像数字化中，该阵列又称“冲激采样阵列”。,S,(,x,y,),是,(,x,y,),平面内无穷个相距,(,、,),的冲激函数组成的阵列。其中，,、,为空间取样间隔。,上级目录,13,0.2.1,连续信号的傅立叶变换,0.2.2,周期信号的傅立叶变换,0.2.3,一维离散傅立叶变换（,DFT,）,0.2,傅立叶变换,上级目录,14,0.2.1,连续信号的傅立叶变换（,1,）,上页,（,1,）,非周期信号的一维傅里叶变换,定义,反变换,傅氏变换存在的条件,正变换,傅氏变换是一种积分变换，定义如下,：,充要条件,绝对可积，即,FT,FT,-,1,15,0.2.1,连续信号的傅立叶变换（,2,）,物理意义,一般为,复函数,，可表示为,其中，模,相位,若为,实函数,，则 是 的,偶函数,；是 的,奇函数,，这时反变换可写成：,解释,16,0.2.1,连续信号的傅立叶变换（,3,）,反变换,定义,二维傅氏变换定义如下,：,变换对,其中,，,空间坐标变量,；,沿 轴方向的空间频率分量,。,正变换,上页,（,2,）,二维连续傅里叶变换,对,u,v,的理解,FT,FT,-,1,17,0.2.2,周期信号的傅立叶变换,设一维周期信号 ：周期,；,角频率,其傅氏级数（指数形式）为,其中，傅氏系数,一,般为复数,，,可进一步表示为,为 的,振幅频谱,（,离散谱,）；,为 的,相位频谱,。,上页,18,0.2.2,周期信号的傅立叶变换,现对级数展开式两边取傅氏变换,：,可以证明,最后得到,:,例题,求周期冲激序列 的傅氏变换,。,例题,FT FT FT,FT,19,0.2.3,一维离散傅氏变换（,DFT,）,正变换,反变换,变换对,定义,设,为,N,点一维离散函数,，,离散实变量,定义一维离散傅里叶变换,：,上页,DFT,IDFT,20,0.2.3,一维离散傅氏变换（,DFT,）,一般为复函数,，,可以写成,式中,：,的傅里叶频谱函数,；,或,上页,的傅里叶相位函数,。,21,0.3.1,FFT,的必要性,0.3.2,FFT,的基本思想,0.3.3,基,2,按时间抽取算法,0.3.4,算法特点,0.3.5,其他快速算法,0.3,快速傅立叶变换（,FFT,）,上级目录,22,FFT,是,DFT,的高效、快速算法,。,0.3.1,FFT,的必要性,返回,DFT,运算量,：,设,也为复函数,，,并将 写成如下形式,：,可以看出,：,计算,1,个 值,：,实乘 次，实加 次,；,计算 个 值,：,实乘 次，实加 次,。,设,(,n,为正整数,),；,(,权函数,复数,),，,则,DFT,可表示为,：,23,0.3.2,FFT,的基本思想,上页,将长度为,N,的离散序列 逐次分解为若干短序列,计算各短序列的,DFT,再进一步组合为,N,点,DFT,。,N,点序列,2,点变换,N,/,2,点变换,N,/,2,点序列,2,点序列,N,点,DFT,分解,组合,24,0.3.2,FFT,的基本思想,上页,在实现,FFT,过程中,权函数,W,N,起着重作用,。,W,N,的主要特性：,权函数,W,N,的周期性是导出,FFT,算法的一个关键因素；,N,的高复合性是实现,FFT,算法的一个重要条件,。,周期性,对称性,25,0.3.3,基,-2,时间抽取算法,上页,对,N,点,序列,f,(,x,),进行奇、偶分解并求,N,/2,点,DFT,分解与变换,由奇、偶子序列计算,F,(,u,),，,其中,u,=0,1,(,N,/,2)-1,另一半,N,/2,点,DFT,计算,F,u,+(,N,/,2),由两个,N,/2,点,DFT,组合为一个,N,点,DFT,组合,将,F,(,u,),和,F,u,+(,N,/,2),组合为,N,点,DFT,举例,设,N,=8,，,由两个,4,点,DFT,组合成,8,点,DFT,继续奇、偶分解,，,直至计算,2,点,DFT,为止,再分解,对,N,/2,点、,N,/4,点,序列,继续奇、偶分解并求,DFT,2,点,DFT,一个,2,点,DFT,直接为两个输入值的蝶形运算,综合,例：,N,=8,点,FFT,流程图,(,蝶形组合图,),26,0.3.4,算法特点,一,次蝶形运算,1,次,2,次,N,点,DFT,总运算量,运算量：,复乘,复加,直接运算,同址计算,：,输入数据与每级运算结果可共用存储单元（新数“冲”老数）,整序,：,输入序列以“乱序”方式存入存储单元（因奇、偶分解所致），,输出按自然顺序排列，可直接按序输出。,必须对输入数据进行,整序处理,即由自然序变成“奇,-,偶序”。,上页,27,0.3.5,其他快速算法,返回,基,-,2,频率抽取法,输入信号按序存储；,输出变换序列“乱序”排列，需进行整序,特点：,任意基数的,FFT,算法,将输入序列分为前后两部分，然后对 进行奇、偶分解，其它,方法同时间抽取法,。,28,单位阶跃函数的作用,门函数,宽度为、幅度为,1,的矩形脉冲,单位阶跃函数表示,(,或定义,),单边指数函数、门函数：,单边指数函数,返回,29,:,矩形窄脉冲的极限,矩形窄脉冲的极限,（,例子之一,）,返回,30,取 样 概 念,单点取样,：,周期取样,：,利用周期,冲激序列实现周期取样：,返回,定义周期性冲激序列,（,T,s,取样周期,）,31,的偶对称性,由于,返回,而由,的取样性质,：,比较以,上二式可得,：,32,傅里叶变换的物理意义,返回,无限求和,正弦波分量“幅度”（密度函数）,频率分量,相位分量,结论：,一个非周期信号，可以分解为无穷多个不同频率的正,(,余,),弦分量之和。其中：,称为 的频谱函数；,称为 的相位函数。,33,变量,u,、,v,的意义,下页,其中,，,出现最大值的位置是：,过,坐标原点的一条直线,与,(,x,y,),轴截距为,的一条直线,由于,34,变量,u,、,v,的意义,下页,对,对,根据,式中,，,OA,空间周期,；,空间频率,。,设两条平行线之间的距离为,OA,，,当 取不同值时，可得到,(,x,y,),坐标中无限条平行直线。,35,变量,u,、,v,的意义,返回,由此得到,，,x,轴空间周期分量,；,u,x,轴空间频率分量,；,y,轴空间周期分量,；,v,y,轴空间频率分量,。,应为 的空间频谱。这说明，是由无穷个空间频率的二维正弦分量组合而成，即为各正弦分量的幅度。,36,例 题,（周期信号的傅氏变换）,下页,例题,求周期冲激序列 的傅氏变换,。,解,：,已知,其中傅里叶系数,由周期信号傅氏变换式可得,式中，,DFT,37,例 题,（周期信号的傅氏变换）,返回,令,最后得到,可见,的傅氏变换仍是周期序列,其频域周期和强度均为,。,FT,38,W,N,的周期性,返回,特别有,(,周期为,N,/,2,),N,=2,3,=8,(,周期为,N,),周期性,例如,：,N,=8,下页,39,W,N,的对称性,返回,N,=2,3,=8,例如,：,N,=8,特别有,其中：,对称性,(,复对称,),40,序列的奇、偶分解与,变换,下页,变换,：,计算,F,(,u,),其中,：,注,：,为简化计算，式中暂不计入系数,(1,/,N,),分解,：,对,N,点序列,，,令,奇子序列,偶子序列,41,奇、偶子序列的,DFT,返回,F,(,u,),是奇、偶两个子序列变换,G,(,u,),与,H,(,u,),的加权和。,结果,：,上式只计算了,0,u,(,N,/,2),-,1,（即,N,/,2,个）,F,(,u,),值，还必须,计算另一半（即,N,/,2,u,N,-,1,）的,F,(,u,),，,然后再进行组合。,注意,：,下页,42,计算另一半,N,/2,点,DFT,返回,由于,计算,：,下页,43,两个,N,/2,点,DFT,组合一个,N,点,DFT,返回,两次复乘,一次复乘,组合,：,计算流程,：,蝶形运算,下页,44,N,=,8,，,两个,4,点,DFT,的,组合,返回,点,(,4,点,),DFT,点,(,4,点,),DFT,例,设,N,=,8,，,由两个,4,点,DFT,组合成,8,点,DFT,流程图,下页,45,N,/,2,点分解为两个,N,/,4,点,返回,设,N,=,8,。,对,G,(,u,),的分解计算过程如下,：,每个,N,/,2,点,DFT,分解为两个,N,/,4,点,DFT,N,/,4,点,(,2,点,),DFT,N,/,4,点,(,2,点,),DFT,下页,46,2,点,DFT,直接表示为一个基本的蝶形运算,2,点,DFT,基本的蝶形运算,返回,例如,N,=8,，,其中第一个,N,/,4,点的变换即为,2,点,DFT,变换值直接是两,个输入的代数和,基本的蝶形运算,下页,47,N,=,8,点,FFT,流程图,返回,综合,：,N,=8,点,FFT,流程图,48,输入整序,码位倒置,自然序号,二进制表示,倒置二进码,码位倒置顺序,0,000,0
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