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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3.2“,杨辉三角”与二项式系数的性质,一般地，对于,n N*,有,二项定理,:,一、新课引入,二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过,杨辉三角,观察,n,为特殊值时，二项式系数有什么特点？,1,“杨辉三角”的来历及规律,杨辉三角,展开式中的二项式系数，如下表所示：,1 1,1 2 1,1 3 3 1,1 4 6 4 1,1 5 10,10,5 1,1 6 15 20 15 6 1,二项式系数的性质,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看，可看成是以,r,为自变量的函数,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的,7,个孤立点,二项式系数的性质,2,二项式系数的性质,（,1,）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式,得到,图象的对称轴,：,二项式系数的性质,（,2,）增减性与最大值,由于,：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,（,2,）增减性与最大值,由,：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当 时，,二项式系数的性质,（,2,）增减性与最大值,因此，,当,n,为偶数时,，中间一项的二项式,系数,取得最大值；,当,n,为奇数时,，中间两项的二项式系数 、,相等，且同时取得最大值。,（,3,）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于,：,同时由于 ，上式还可以写成：,这是组合总数公式,一般地，展开式的二项式系数,有如下性质：,（,1,）,（,2,）,（,3,）当 时，,（,4,）,当 时，,课堂练习：,1,）已知 ，那么,=,；,2,）的展开式中，二项式系数的最大值是,；,3,）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则,n=,；,1,证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,4,项的二项式系数是倒数第,2,项的二项式系数的,7,倍，求展开式中,x,的一次项,2,已知 的展开式中，第,3.,的展开式中第,6,项与第,7,项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项。,变式引申：,1,、的展开式中，系数绝对值最大的项是（）,A.,第,4,项,B.,第,4,、,5,项,C.,第,5,项,D.,第,3,、,4,项,2,、,若 展开式中的第,6,项的系数最大，则不含,x,的项等于,(),A.210 B.120 C.461 D.416,4,、,若 展开式中前三项系数成等差,数列，求,（,1,）展开式中含,x,的一次幂的项；,（,2,）,展开式中所有,x,的有理项；,（,3,）展开式中系数最大的项。,1,、已知 的展开式中,x,3,的系数,为 ，则常数,a,的值是,_,2,、在,(1-x,3,)(1+x),10,的展开式中,x,5,的系数是（）,A.-297 B.-252 C.297 D.207,3,、,(x+y+z),9,中含,x,4,y,2,z,3,的项的系数是,_,课堂练习,4.,已知,(1+,),n,展开式中含,x-2,的项的系数为,12,，求,n.,5.,已知（,10+x,lgx,）,5,的展开式中第,4,项为,10,6,，求,x,的值,.,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,小结,
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