实验1 MATLAB续：MATLAB在线性代数中的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,MATLAB,在线性代数中的应用,1.,线性方程组的求解,2.,特征值、特征向量,MATLAB,初步,1. 1,齐次线性方程组,AX=0,若,A,有,n,列，如果,R(A)=n ,则,X,只有零解,若,A,有,n,列，如果,R(A)A=1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3;,format rat %,指定有理式格式输出，适用于,数据较少，要求精确的场合,;,B=null(A,r) %,求解空间的有理基,MATLAB,初步,得到：,B =,2 5/3,-2 -4/3,1 0,0 1,syms,k1 k2,X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2) %,写出方程组的通解,pretty(X) %,让通解表达式更加精美,于是，我们得到原线性方程组的解：,%,定义两个符号,MATLAB,初步,求解的完整代码如下：,A=1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3;,format rat;,B=,null(A,r,);,syms,k1 k2;,X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2),pretty(X,),MATLAB,初步,（,2,） 使用函数,rref,rref,是用来将一个矩阵化成行阶梯最简形，从而求解。,对上例，还可以使用如下方法求解：,B =,1 0 -2 -5/3,0 1 2 4/3,0 0 0 0,B=,rref(A,),请同学们编程将它的通解写出来,!,MATLAB,初步,1.3.2,非齐次线性方程组,AX=b,非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，,若有解，再去求通解。,第一步：判断,AX=b,是否有解，若有解则进行,第二步；,因此，步骤为：,第四步：,AX=b,的通解,= AX=0,的通解,+AX=b,的一个,特解。,第二步：求,AX=b,的一个特解；,第三步：求,AX=0,的通解,MATLAB,初步,利用矩阵除法求线性方程组的,特解,（或唯一解）,方程：,Ax,=,b,解法：,x,=,A,b,在系数矩阵不满秩时，求特解可能存在误差,A=5 6 0 0 0,1 5 6 0 0,0 1 5 6 0,0 0 1 5 6,0 0 0 1 5;,B=1 0 0 0 1;,R_A=rank(A) %,求秩,X=AB %,求解,MATLAB,初步,例,2,求解方程组,有否解,?,MATLAB,初步,A=1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2;%,输入系数矩阵,A,的值,%,first,input,the coefficient matrix A,b=1 2 3; %,输入,b,的值,B=A, b; %,得到增广矩阵,n=4; %,未知变量为,4,个,R_A=,rank(A,); %,求得系数矩阵,A,的秩,R_B=,rank(B,); %,求得增广矩阵的秩,format rat %,以有理数的形式显示数据,if R_A=R_B & R_A=n %,判断有唯一解,disp(It,has only one solution!),X=Ab %,直接用除法求该唯一解,.,elseif,R_A=R_B&R_An %,判断有无穷解,disp(It,has infinitely many solutions!),X=Ab %,求特解,C=,null(A,r,) %,求,AX=0,的基础解系,else,X=,equition,no solve %,判断无解，注意该处输出字符串,X.,end,例,3,求解方程组的通解：,只需修改例,2,的系数矩阵和常数项向量即可！,原方程组的通解为,X=,+k,2,+,k,1,试用,rref,求解？,2,特征值与二次型,（,1,）特征值求解,函数 ：,eig,d =,eig(A,) %,求矩阵,A,的特征值,d,，以向量,形式存放,d,。,V,D =,eig(A,) %,计算,A,的特征值对角阵,D,和特征向量,V,，使,AV=VD,成立,%V,已经被归一化为单位向量了,最常见的两种形式：,MATLAB,初步,例,4,：,求矩阵,的特征值和特征向量,.,A=-2 1 1;0 2 0;-4 1 3;,V,D=,eig(A,),V =,-0.7071 -0.2425 0.3015,0 0 0.9045,-0.7071 -0.9701 0.3015,MATLAB,初步,D =,-1 0 0,0 2 0,0 0 2,特征值,2,对应特征向量,(-0.2425 0 -0.9701),T,和,(-0.3015 0.9045 -0.3015),T,即：特征值为,1,，,2,，,2,。,-1,对应特征向量,(-0.7071 0 -0.7071),T,MATLAB,初步,(2),正交规范化,格式,B=,orth(A,) %,将矩阵,A,正交规范化，,B,的列与,A,的列具有相同的空间，,B,的列向量,是正交向量，且满足：,B*B = eye(rank(A),。,例,5,将矩阵,正交规范化。,A=4 0 0; 0 3 1; 0 1 3;,B=,orth(A,),Q=B*B,MATLAB,初步,则显示结果为,P =,1.0000 0 0,0 0.7071 -0.7071,0 0.7071 0.7071,Q =,1.0000 0 0,0 1.0000 0,0 0 1.0000,MATLAB,初步,