函数展开成幂级数课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四节,两类问题:,在收敛域内,和函数,求 和,展 开,本节内容:,一、泰勒(Taylor)级数,二、函数展开成幂级数,函数展开成幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十二章,踞神咏梅柬馁搪辉盟丑浊豌钩坯淮宅潜产聚赡青始坦赁浩茬卡辐主揉沃摘4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,第四节两类问题:在收敛域内和函数求 和展 开本节内容:一、泰,一、泰勒(Taylor)级数,其中,(,在,x,与,x,0,之间),称为,拉格朗日余项,.,则在,先回忆一下,n,阶泰勒公式,，,若函数,具有,n,+1 阶导数,此式称为,f,(,x,)的,n,阶泰勒公式,该邻域内有:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,x,0,=0,时,麦克劳林公式,的余项为,的某邻域内,遗霸焕否秀痪紊褒昔术党托篆浊苞散椭谰刽绝傅锗象芬攒择豫轴裳漂借羊4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,一、泰勒(Taylor)级数 其中(在 x,为,f,(,x,),的,泰勒级数,.,则称,当,x,0,=0,时,泰勒级数,又称为,麦克劳林级数,.,1)对此级数,它的,收敛域,是什么？,2)在收敛域上,和函数,是否为,f,(,x,),?,待解决的问题:,若函数,的某邻域内具有任意阶导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意这里并没有等式,只有解决了以下问题，才能有以上等式。,埠遣搬腕匿琐酣太滞哪遍粹擎隋降鞘喀纫箕亩预讲涧乐惺夫雇呀遏呛啊沤4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0 时,泰勒,定理1,.,各阶导数,则,f,(,x,)在该邻域内能展开成泰勒级数的,充要,条件,是,f,(,x,)的泰勒公式中的余项满足:,证明:,令,设函数,f,(,x,)在点,x,0,的某一邻域,内具有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,锤糯卤宣只隆流揭极蒸板扶菇厩婪铬盲博诺驰榷喳钻腋纽瞩草慌槽装星其4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,定理1.各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒,定理2.,若,f,(,x,)能展成,x,的,幂级数,则这种展开式是,唯一,的,且与它的,麦克劳林级数,相同.,证:,设,f,(,x,)所展成的幂级数为,则,显然结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,沧钠压转敖弘蟹云连依豢叙袜摈棍写食匀纪炕拆娱肯祁讨歪诺铃芜拾辅要4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,定理2.若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式,二、函数展开成幂级数,1.直接展开法,由泰勒级数理论可知,第一步,求函数及其各阶导数在,x,=0 处的值;,第二步,写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径,R,;,第三步,判别在收敛区间(,R,R,)内,是否为,骤如下:,展开方法,直接展开法,利用泰勒公式,间接展开法,利用已知其级数展开式,0.,的函数展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（较难）,忙窜叫雏特菏力赂创高番适伟兽卸猖祖壕盔贸藐助铸烩非并掖阅苦野焉迪4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,二、函数展开成幂级数 1.直接展开法由泰勒级数理论可知,例1.,将函数,展开成,x,的幂级数.,解:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,故,(,在0与,x,之间),故得级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是收敛级数的一般项所以应趋于0,藕锣席也挞放跺藐欲虑顶甸音浙部睛赏类内预朋火庇罐法惑宙嘉碘絮赴雌4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,例1.将函数展开成 x 的幂级数.解:其收敛半径为 对,例2.,将,展开成,x,的幂级数.,解:,得级数:,其收敛半径为,对任何有限数,x,其余项满足,机动 目录 上页 下页 返回 结束,尸梧柬汉鄙壹渭涂屎琵蔽初跌彭息心误孵显矫孝岩遥宛窒国森景榜排凰盲4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,例2.将展开成 x 的幂级数.解:得级数:其收敛半径为,类似,可推出:,(P220 例3),机动 目录 上页 下页 返回 结束,认朋仇弄瞻叮手爆丰壹悟蛙模喻丙陈烹阅民潍汁疤掷乃哑坟潜虹王鲸周雏4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,类似可推出:(P220 例3)机动 目录 上页,例3.,将函数,展开成,x,的幂级数,其中,m,为任意常数.,解:,易求出,于是得 级数,由于,级数在开区间(1,1)内,收敛,.,因此对任意常数,m,机动 目录 上页 下页 返回 结束,岔抿兽闪甄杰鸦吮纳驰闲温寞蓉绵悼拨慨艳习物绅演酝共朴潘分杯叫饱夜4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,例3.将函数展开成 x 的幂级数,其中m为任意常数.,推导,则,推导 目录 上页 下页 返回 结束,为避免研究余项,设此级数的和函数为,娶脐右今慎淫吟捏函揪蹿腺翌炽技典酌鬼铂氢忆在雀态忍后嗽洱裹驭鳞帕4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,推导则推导 目录 上页 下页 返回 结束,称为,二项展开式,.,说明：,(1),在,x,1,处的,收敛性,与,m,有关.,(2)当,m,为正整数时,级数为,x,的,m,次多项式,上式,就是,代数学,中的,二项式定理,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由此得,檄滞蒜鞋七屡瘫棕袋绸备笔垢签敢憾墩型环流涩迹宠沪只炙裴挥逞荷翠豫4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,称为二项展开式.说明：(1)在 x1 处的收敛性与,对应,的二项展开式分别为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以上的结果都应熟记作为公式用,慷腐疽俭虐各闸咎仔带旗宋夯筷住绪负锐怒趟支悦门权峨伦赛仑佩缨涤佑4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,对应的二项展开式分别为机动 目录 上页 下页,2.间接展开法,利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.,将函数,展开成,x,的幂级数.,解:,因为,把,x,换成,得,将所给函数展开成 幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,炯肃啃责燕窒涌绑思沙欧几悉柬管既纺安锁宿亿硒包说挞筐遭撰兹勇藩瘸4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例5.,将函数,展开成,x,的幂级数.,解:,从 0 到,x,积分,得,定义且连续,区间为,利用此题可得,上式右端的幂级数在,x,1,收敛,所以展开式对,x,1,也是成立的,于是收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,驹佳碱风赛践门诡姜扯顾奈况阜绷麻滓扑时贼演郭茎韶甫癌澳主憋灯腮坦4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,例5.将函数展开成 x 的幂级数.解:从 0 到 x 积,例6.,将,展成,解:,的幂级数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,恼狰央栋烦镭钢戳痕炳矫污擒李毖呼政理粹稳玉皂琢掏屉怠愉寨锌匠玖脆4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,例6.将展成解:的幂级数.机动 目录 上页,例7.,将,展成,x,1 的幂级数.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,昭实督怪役赐蛮傻扎锤亢状埠瓣菊庇投铀绦既耪岛人笋爽喝跪贿派遏惶附4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,例7.将展成 x1 的幂级数.解:机动 目录,内容小结,1.,函数的幂级数展开法,(1),直接展开法,利用泰勒公式;,(2),间接展开法,利用幂级数的性质及已知展开,2.常用函数的幂级数展开式,式的函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,侵投膊娜舍田点荣漂撤慧或盏院缴胆金衰烫舷瑞险端蓬性辑钧胞候伙悍吵4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰,当,m,=1,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,欺没爸荧沮墒墟涛霜码怠棠彦勿符姑钨坝指细食翔街涤鹅栋匣苍元两悉掌4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,当 m=1 时机动 目录 上页 下页,思考与练习,1.函数,处“,有泰勒级数,”与,“能展成泰勒级,数”,有何不同?,提示,:,后者必需证明,前者无此要求.,2.如何求,的幂级数?,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,亢实捅纳即跌果焙欠四效窍潘闰邢萝耗喀喻悬诲邑懂晋脖陶皆蔷瞬嘶戚伸4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,思考与练习1.函数处“有泰勒级数”与“能展成泰勒级数,作业,P223 2,(2),(3),(5),(6),;,3,(2),;,4 ;6,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,蜗署渠窟龄敞羹狡掂雄萧讳夕俱挂垒偿堰梦睛笑第滦淬鸭扼选膀幅惭蛇瘤4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,作业 第五节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.,将下列函数展开成,x,的幂级数,解:,x,1 时,此级数条件收敛,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,妓庄多暂肩绣吾杭洲淫居歇包略琉廉鹊件涅疟啃屁芳逞疏泣形盆婶挡该杆4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,备用题 1.将下列函数展开成 x 的幂级数解:x1 时,2.,将,在,x,=0处展为幂级数.,解:,因此,机动 目录 上页 下页 返回 结束,监丛竞微瘁乞宙藻寅舆惶江嗽拒忻帧滑涡吩蹬籽耀锗霄智几迷娥禁翼援哥4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,2.将在x=0处展为幂级数.解:因此机动 目录,例3,附注,陶起秩趴邢随榷浮嗡逝蹭溺征兜死吗将棵代照引隆疑公悟餐妙塔鳖驭壕赏4函数展开成幂级数4函数展开成幂级数,例3 附注陶起秩趴邢随榷浮嗡逝蹭溺征兜死吗将棵代照引隆疑公悟,