人口增长模型-课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第5讲,建模实例,人口增长模型,第5讲 建模实例,背景,年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999,人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60,世界人口增长概况,中国人口增长概况,年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000,人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0,研究人口变化规律,控制人口过快增长,背景 年 1625 1830,问题提出,马尔萨斯（Malthus）人口增长模型或指数增长模型.,问题提出,模型假设,1.时刻,t,的人口函数是连续可微的.,2.人口的增长率是常数.,3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和死亡.,模型假设,模型建立,设,t,时刻的人口数为,x(t),增长率为,r,（常数）.依平衡原理，在时间段,t,内，有,人口增长数=出生人口数,-死亡人口数,+迁入人口数,-迁出人口数,模型建立,由假设3，上式后两项忽略.,于是,人口增长数=出生人口数,-死亡人口数 （5.1）,由假设3，上式后两项忽略.人口增长数=出生人口,又出生或死亡人口数均依赖于两,个因素：,（1）时间间隔,t,的长短.,（2）时间间隔开始时的人口总数,x(t),且均为正比例关系，即,t,间隔内的出生人数=,k,1,x(t),t,t,间隔内的死亡人数=,k,2,x(t),t,其中,k,1,，,k,2,分别为出生率和死亡率.,又出生或死亡人口数均依赖于两,代入（5.1）式，得到,t,间隔内人口的增量为,x(t+,t,)-x(t)=(k,1,-k,2,)x(t),t,或,代入（5.1）式，得到t间隔内人口的,令,t,0,，得,按假设,k,1,-k,2,为常数,r,，再设初始人口数为,x,0,，便构成一个初值问题,令t0 ，得按假设k1-k2为常数r，再设初始人口数为x,模型求解,x(t)=x,0,e,rt,(5.2),模型求解,模型分析、评价与检验,1961年世界人口总数为3.0610,9,，在19611970年这段时间内，每年平均的人口增长率为2%，代入（5.2）式，得,x(t)=,3.0610,9,e,0.02(,t,-1961),(5.3),当t=2670时，x=4.410,15,即达到4400万亿人，这相当于地球上每平方米至少要容纳8个人.,模型分析、评价与检验,模型假设,1.时刻,t,的人口函数是连续可微的.,2.人口的增长率是常数.,3.人口数量的变化是封闭的，即人口数量的增减只取决于人口中个体的生育和死亡.,模型假设,模型修改与重建,1.将增长率,r,表示为人口,x,的函数,r(x),，按前面的分析，,r(x),应为,x,的减函数.,假定其为,x,的线性函数,r(x)=r-sx,其中,r,s0,，这里,r,相当于,x,=0,时的增长率，称为固有增长率.,显然，对任意的,x0,r(x)r.,模型修改与重建,2.设定自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量为,x,m,（也称最大人口容量）.,( ),故,（5.4）,2.设定自然资源和环境条件等因素所能容纳的最大人口数量为xm,其中常数,r，x,m,要根据人口统计数据确定.,其中常数 r，xm要根据人口统计数据确定.,3.将指数模型中,r,的换为（5.4）式便得到新模型,(5.5),称为阻滞增长模型或逻辑斯蒂克（Logistic）人口增长模型.,3.将指数模型中r的换为（5.4）式便得到新模型(5.5)称,用可分离变量方程的解法可得其解,为,（5.6）,用可分离变量方程的解法可得其解（5.6）,4.模型解的再分析与检验,对（5.6）式求二阶导数可得,（5.7）,由此，分析人口总数,x(t),的变化规律:,4.模型解的再分析与检验（5.7）由此，分析人口总数x(t),人口总数,x(t),的变化规律:,dx,/,dt,x,0,x,m,/2,x,m,人口总数x(t)的变化规律:dx/dtx0xm/2xm,x,(,t,)S,形曲线,x,增加先快后慢,t,x,m,x,0,x,0,x,m,/2,x(t)S形曲线, x增加先快后慢txmx0x0xm/2,（1） , 即无论人口初值如何，人口总数均以,x,m,为,极限，其中,x=x,m,是图形,x(t),的水平渐进线.,（2）当,0xx,时， ，,x(t),是单调增加的.,（1） ,又由（5.7）式知，当 时， ;,当 时， ，,即 是,x(t),图形的拐点.,人口变化率函数 在 处取到最大值.,又由（5.7）式知，当 时，,（3）,x,m,要根据人口统计资料以及自然环境等因素来确定，因而当条件改变时，,x,m,也将随之改变.,（3）xm要根据人口统计资料以及自然环境等因素来确定，因而当,