资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3.5,曲面的主方向和曲率线,曲面上一点,P,的两个方向,如果它们既正交又共轭,则称为曲面在,P,点的,主方向,.,由方程组有非零解得主方向满足关系式,设 是,P,点的,主方向,则有,即,曲面上曲率线的微分方程,曲率线,:,曲面上曲线,C,每一点的切方向是主方向,则称,C,是曲面的曲率线,如果曲面在某一点处有 这种点称为曲面的,脐点,.,我们把,L,M,N,不同时为零的脐点称为,圆点,.,容易证明球面上的每一点都是圆点,.L=M=N=0,的,点是平点,主方向的判别定理,(,罗德里格,(,Rodrigues,),定理,),如果方向 是主方向,则,其中 是曲面沿方向 的法曲率,.,反之,如果对于方向 有,则,证明,:,设,说明,将等式两边点乘并且注意 （共轭性）,以及,(,正交性），得到,因此 由此,再把等式两边点乘,由此得,再证定理的后半部分,：,设方向满足,现在只要证明它是主方向假设方向 垂直,等式,这表示方向,因此不仅正交，而且共轭，所以它们,都是主方向,命题,曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是,证明：,3.6,曲面的,主曲率、高斯曲率、平均曲率,曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的,主曲率。由于,主方向即曲率线方向，所以,主曲率也即沿,曲率线方向的法曲率。,取坐标网为,曲率线网，这时沿方向 的,法曲率为,沿,u,线,v,线的,主曲率分别为,设方向,d,与,与第一主方向（,u,线,v=0,）,的夹角为,欧拉公式,:,曲面一点处沿方向的法曲率，与该点处的两个主曲率有以下关系,定理 曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值。,证明,:,设方向,d,与,与第一主方向（,u,线,v=0,）,的夹角为,下面给出,主曲率的计算公式,由罗德里格定理,dn,=,dr,有,因,du,dv,有非零解有,主曲率 满足,即,由于主曲率 满足下面方程,由韦达定理有,曲面的高斯曲率、平均曲率,设 为曲面上一点的两个主曲率,则它们的乘积称为曲面在这一点的,高斯曲率,通常以,K,表示,.,它们的平均数称为曲面在这一点的平均曲率,通常以,H,表示,.,每一点的平均曲率为零的曲面称为极小曲面,例,对于给定曲面，若曲面上每一点处的平均曲率,H=0,，则该曲面称为,极小曲面,可以证明，以空间闭曲线为边界的曲面域中，面积最小的曲面是极小曲面，即平均曲率为,0,的曲面极小曲面的实际模型是将空间中弯曲成闭曲线的铅丝浸入肥皂溶液中，取出时所得的皂膜曲面,现在求极小旋转曲面，即,H=0,的旋转曲面,旋转曲面 即 即,积分后可得 即,但这两式实为同一式,:,为,悬链面,在形状上，它很像压扁的旋转单叶双曲面,3.7.,曲面在一点邻近的结构,(1),在曲面的椭圆点处，其邻近的形状近似于椭圆抛物面,.,(2),在曲面的双曲点处，其邻近的形状近似于双曲抛物面,.,(3),在曲面的抛物点处，主方向的法截先分别近似于抛物线和立方抛物线,.,n,k,1,k,2,n,o,k,1,k,2,曲面的球面表示：曲面,上每一点都有单位法向量,n,，把所有点的法,向量,n,都平移到原点，此时,n,的轨迹是一个球心在原点半半径为,1,的球面（或部分）我们曲面上点与球面上点的这种对应称为曲面的球面表示（高斯映射）。,是一个新的曲面,S,同样可考虑它的,第一基本形式，即,第三基本形式,3.8,高斯曲率的几何意义,曲面的球面表示的,第一基本形式称为,曲面的第三基本形式记为,高斯曲率、平均曲率及曲面的三个基本形式满足下述线性关系,：,注：第三基本形式也是不变量,定理 曲面上,P,点邻近的区域,的球面表示是,当 接近曲面上以知点,P,时，面积,与面积,之比，接近曲面在,P,点的高斯曲率的绝对值。即,证明：,高斯曲率的几何意义,等式右边的积分区域 为曲纹坐标 的,变化区域,而 同时为这两个积分中的,参数,.,由于向量积,分别是曲面与球面的法向量,且因对应法线互相平行,两边点乘向量 有,由拉格朗日等式有,即 有,所以,所以 代入得,应用二重积分的中值定理,就有,其中 表示高斯曲率在区域 中某一内点的 值,.,由此得到曲面,P,点的高斯曲率杂绝对值的几何意义,是单位球面上的区域 的面积与曲面上的对应区,域 的面积之比值,当 趋于,P,时的极限,.,
展开阅读全文