数列的极限函数的极限概念09[1].09.22

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,二、函数的极限,一、数列的极限,第二节,极限的概念,第,二,章,一、数列的极限,1.,数列极限的定义,(1),数列：,简记作,称为,通项,(,一般项,).,数列也称为整标函数,.,自变量取正整数的函数,例如,设有数列,如果当,n,无限增大时,x,n,无限趋近于某个,确定的常数,a,的极限,这时,也称数列,x,n,收敛于,a,.,否则,称数列,x,n,发散,.,则称,a,为数列,x,n,记作,(2),数列极限的定义,定义,2.1,例如,趋势不定,收 敛,发 散,“无限增大”，“无限接近”意味着什么,?,如何用数学语言,定量地,刻划它？,a,接近,b,的程度用绝对值：,表示,.,问题,:,“当,n,变得,任意大,时，,变得,任意小,”,“,要使,任意小,，只要,n,充分大,”,“,任意大,”与“,任意小,”并非彼此无关,.,由此可见：,“充分大”由“任意小”所确定,.,如何定量刻划,“任意小”？,用,抽象记号,表示“任意小”的正数,.,注意：,任何,固定,的很小的正数都,不能,表示“任意小”,.,如何刻划,n,“,充分大,”,？,只要,要使,不一定是正整数，注意到：,从而有,于是,使得当,时，有,“,充分大”,定义,2.2,若数列,及常数,a,有下列关系,:,当,n,N,时,总有,记作,此时也称数列,收敛,否则称数列,发散,.,或,则称该数列,x,n,的极限为,a,3,N,由,所,确定，故记,但不,唯一,.,4,不能与,n,有关,.,5,数列极限的定义未给出求极限的方法,.,注,一般来说，,越小，,N,越大,;,3.,几何解释,时，,恒有,注,例,1,已知,证明数列,的极限为,1.,证,要使,即,只要,因此,取,则当,时,就有,故,N,是,正整数,所以要取整,证,所以,结论,:,常数列的极限等于同一常数,.,例2,证,(1),(2),要使,即,只要,例3,例,4,证,分析,N,不唯一,证明时可以适当放大,故,得证,.,也可由,取,证明：,证,要使,只要,即,则,当,n N,时，,有,从而,例5,思考,:,对于,例,5,下列推导是否正确：,要使,只要,故取,N,不能与,n,有关！,注,将,适当放大的目的，是为了,易于求,N,.,放大时，应该注意,适当！,即,要求：,否则，若,则,b,(,n,),就不可能任意小,.,其中,小结,:,用定义证明数列极限存在时,关键是任意给定,0,寻找,N,但不必求最小的,N,.,自变量的变化过程有,六种,形式,:,二、函数的极限,1.,x,时函数,f,(,x,),的极限,(1),定义,2.3,设函数,当,(,M,为某一正数）,时有定义,如果存在常数,A,当,时,有,则称常数,A,为函数,当,时的,极限,记作,当,时,有,(2),几何解释,注,当,时,有,当,时,有,1,时函数,f,(,x,),的极限：,定理,2,或,则称直线,y=A,为曲线,y,=,f,(,x,),的水平渐近线,.,如果,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,再如，,都有水平渐近线,例,6,证明,证,取,因此,注,就有,故,欲使,即,2.,x,x,0,时函数,f,(,x,),的极限,(1),时,函数极限的定义,定义,2.4,设函数,在点,的某去心,邻域,则称常数,A,为函数,当,时的,极限,或,当,时,总有,内有定义,.,如果存在常数,A,记作,几何解释,:,注,x,O,1,例,7,证明,证,故,对,任意的,当,时,因此,总有,例,9,证明,证,故取,当,时,必有,因此,证,只要,例10,注,为了确保,有,意义，即,只须,即,O,x,左,极限,:,有,极限存在的充要条件,:,(2),单侧极限,当,时,右,例,11,设函数,讨论,时,的,极限是否存在,.,解,因为,所以,不,存在,.,内容小结,1.,数列极限的,“,N,”,定义及应用,2.,函数极限的,或,定义及应用,思考与练习,1.,若极限,存在,2.,设函数,且,存在,则,是否一定有,3.,左、右极限定义及左、右极限相等的等价条件,故,时,例,4-1,已知,证明,证,要使,只要,即,取,则当,N,不唯一,证明时可以适当放大,也可由,取,有,例5-1,证,注意到,为了使,于是,a,=,因此,则当,n,N,时,有,只要使,证,例,5-2,证,例,6-1,例,6-2,证,例,8,证,分析,例,9-1,证明,证,要使,取,则当,时,必有,因此,只要,例,10-1,证,由,不等式,可得,已知,即,于是证明了,左右极限存在，但不相等,证,例,11-1,例,11-2,解,的,左极限及右极限，,并说明函数在 点,x,=1,处的极限存在与否,.,故函数在 点,x,=1,处的极限存在，且,