第九节连续函数的运算与初等函数的连续性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第九节 连续函数的运算,一、四则运算的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,四、小结 思考题,与初等函数的连续性,1,一、连续函数的四则运算的连续性,【,定理,1,】,例如,（上节已证）,由,函数,“点连续”,的定义和极限四则运算法则，立得,:,【,推广,】,有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。,【,结论,】,三角函数在其定义域内连续,.,若,f,(,x,),g,(,x,),在点,x,0,处连续，则,f,(,x,),g,(,x,),，,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,)/,g,(,x,),g,(,x,0,)0,在点,x,0,处也连续,.,2,二、反函数与复合函数的连续性,【,定理,2】,严格单调的连续函数必有严格单调的,连续反函数,.,（证明略）,例如,【,结论,】,反三角函数在其定义域内皆连续,.,1,.,反函数的连续性,3,【,定理,3,】,【,证,】,2,、复合函数的连续性,4,将上两步综合起来,:,【,注意,】,本节,定理,3,是,5,定理,6,（复合函数求极限的法则）的特例，外层函数由原来的极限,存在,加强为,连续,。,5,【,意义,】,【,例,1,】,【,解,】,可知,极限符号 可以与函数符号,f,交换次序,;,条件是：,内层函数极限存在、外层函数在对 应点连续；则可交换次序,.,同理,（即教材例,6,）,利用,ln,u,的,连续性,6,【,教材,例,3,】,【,解,】,可视为由,复合而成，,则,7,又如,交换次序：用,arc,cos,u,的连续性,分子有理化,分离无穷小量,8,【,例,2,】,【,解,】,同理可得,（即教材例,7,）,9,【,定理,4,】,【,注意,】,定理,4,是定理,3,的特殊情况,.,简言之：,内、外层函数在对应点都连续，则复合函数连续,10,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续,.,复合而成,11,【,关系,】,5,定理,6,：,内、外层函数,极限,都,存在,，则复合函数,极限存在,.(,叙述不严格,),本节定理,3,：,内层函数,极限存在,、外层函数加强为,连续,，则复合函数,极限存在,，且极限符号和函数符号可,交换次序,.,本节定理,4,：,内、外层函数都加强为,连续,，则复合函数也,连续,（,极限存在且等于函数值、极限符号和函数符号可交换次序,）,.,12,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的,.,（已证）,（指出但不详细讨论）,（由,【,定理,2】,反函数的连续性可得）,13,【,定理,5】,基本初等函数在,定义域内,是连续的,.,(,均在其定义域内连续,),定义区间,是指包含在定义域,内,的区间,.,由,【,定理,4,】,复合函数的连续性,基本初等函数在,定义域内,连续,连续函数经,四则运算,仍连续,连续函数的,复合函数,连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,【,定理,6】,14,见,高数学习指导,P,8,注（,3,）,1,.,初等函数仅在其定义,区间内,连续,在其定义,域内,不一定连续,;,例如,在这些孤立点的某个去心邻域内没有定义,.,在,0,点的某去心邻域内没有定义,.,【,注意,】,【,注意,】,2,.,初等函数求极限的方法,代入法,.,则既不是连续点也不是间断点,又如,15,【,例,3,】,【,例,4,】,【,解,】,【,解,】,有理化后消去,0,因子,16,【,教材,例,8,】,【,解,】,由,定理,3,及极限运算法则得,【,解,】,ln(1+2,x,),2,x,(,x,0),17,【,补充,】,则有,ln1+,u,(,x,),u,(,x,)(,u,(,x),0,),18,【,一般地,】,的,函数称为,幂指函数,若,则,【,注意,】,.,lim,表示自变量的同一变化过程中的极限,.,（是定式情况下成立）,.,不能分两步写作：,19,教材习题,19,P,69,第,2,题,解答,【,证明,】,在 点，有且仅有三种情形：,20,又由假设,故,即,由,函数极限的局部保号性立知,21,今取,故,此即,则,22,上,两式同时成立,即,【,证完,】,连续,23,四、小结,3,.,定义区间与定义域的区别,;,求极限的又一种方法,.,2,.,两个定理（,3,、,4,）,;,两点意义,.,1.,基本初等函数在,定义域内,连续,连续函数的,四则运算,的结果连续,连续函数的,反函数,连续,连续函数的,复合函数,连续,初等函数在,定义区间内,连续,【,说明,】,分段函数在分界点处是否连续需讨论其,左、右连续性,.,24,【,思考题,】,25,【,思考题解答,】,是它的可去间断点,26,