圆形跑道问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,求跑道的总长问题,问题：,甲、乙两人从直径,AB,两端,沿圆形跑道同时相向起跑，第一次相,遇时离,A,点,50,米，第二次相遇时离,B,点,50,米，求跑道总长？甲和乙第二次,、第三次以此下去都在何处相遇？两,人能在,A,和,B,点相遇吗？（假设甲、乙,两人在圆形跑道上始终做匀速运动）,甲和乙跑的速度相同么？,我得好好的,思考一下！,问题分析：,甲与乙相向而行，可我们并不知道他们二人的速度各是多少，虽然我们知道第一次相遇点距,A,点,50,米，但是我们并不能确定此点是距,A,点近还是距,B,点近，或是在,AB,的中点。所以我们应该对他们二人的速度进行分析！,模型假设,甲、乙的速度分别是甲和乙,跑道的长度是,第一次、第二次相遇的时间分别为,T1,和,T2,分情况进行讨论,1,、,当甲和乙的速度相同的情况下，如图：,点,C,为甲和乙第一次相遇的地点。,由题得,弧,AC,的长度为,50,米,，,因为甲和乙的速度相同，,所以,弧,CB,的长度也是,50,米,。由此可知跑道,的总长度是,200,米,。,模型建立,2,、,当甲和乙的速度不相同的情况下：,a,、甲的速度小于乙的速度时：如图,C,点,同样是甲乙第一次相遇的地点，,弧,AC,是,50,米。由题可知甲和,乙第二次相遇的地点距,B,点,是,50,米，此时有,两点，,点,E,和,点,F,，,它们都与,点,B,相距,50,米。,模型建立,（）,若是,F,点,，则从第一次相遇到第二次相遇甲和乙所跑的路程是相同的，又时间相同，这样就得出甲和乙的速度是相同的，这与第二种情况的条件相矛盾，所以在,F,点,相遇的情况不成立。,舍去,F,点。,（,2,）,若是,E,点，第一次相遇时，,甲走的路程弧,AC,：,S,甲,=50,，则,V,甲,=S,甲,/T1=50/T1,乙走的路程弧,BC,：,S,乙,=S-50,，则,V,乙,=S,乙,/T1=,（,S-50,）,/T1,所以,V,甲,/V,乙,=50/,（,S-50,）,模型建立,第二次相遇时：,甲走的路程弧,CE,：,S,甲,=S-50-50=S-100,，则,V,甲,=S,甲,/T2=,（,S-100,）,/T2,乙走的路程弧,CABE,：,S,乙,=S+50+50=S+100,，则,V,乙,=S,乙,/T2=,（,S+100,）,/T2,所以,V,甲,/V,乙,=,（,S-100,）,/,（,S+100,）,模型建立,第一次与第二次结合，可得,50/,（,S-50,）,=,（,S-100,）,/,（,S+100,）,解得，,S1=200,，,S2=0,所以跑道的总长度为：,2S=2S1=400,模型求解,注意：由题可知,S2=0,不合题义，舍去！,b,、,甲的速度大于乙的速度时：如图,此时,C,点,仍是甲和乙第一次相遇的地点，,弧,AC,的长度是,50,米。由题，甲和乙第二次相遇,时距,B,点,是,50,米，此时同,样,有两点，,M,点和,N,点，,它们距,B,点,的距离是,50,米,。同理可知点不合题意,，舍去。即第二次相遇地,点为点。,模型建立,第一次相遇时：,甲走的路程弧,AC,：,S,甲,=50,，则,V,甲,=S,甲,/T1=50/T1,乙走的路程弧,BC,：,S,乙,=S-50,，,则,V,乙,=S,乙,/T1=,（,S-50,）,/T1,所以,V,甲,/V,乙,=50/,（,S-50,）,分析：因为,M,点距,B,点,50,米，,所以弧,AM,的长为,S-50,米，又,弧,BM,的长为,S-50,米，所以弧,CM,的长为,100-S,米,，弧,MABC,的长为,3S-100,米。,模型建立,第二次相遇时：,甲走的路程弧,CBAM,：,S,甲,=3S-100,，则,V,甲,=S,甲,/T2=,（,3S-100,）,/T2,乙走的路程弧,CM,：,S,乙,=100-S,，则,V,乙,=S,乙,/T2=,（,100-S,）,/T2,所以,V,甲,/V,乙,=,（,3S-100,）,/,（,100-S,）,模型建立,第一次与第二次结合，可得,50/,（,S-50,）,=,（,3S-100,）,/,（,100-S,）,解得，,S1=200/3,，,S2=0,所以跑道的总长度为：,2S=2S1=400/3,模型求解,注意：由题可知,S2=0,不合题义，舍去！,总结,跑道的总长度为,当,V,甲乙,时，跑道总长为,200,米,当,V,甲乙,时，跑道总长为,400,米,当,V,甲乙,时，跑道总长为,400/3,米,甲和乙两人继续跑下去时的相遇情况：,、当甲和乙速度相同时，甲乙两人始终在跑道中,点即弧,AB,的中点处相遇，此时两人永远也不能,在,A,、,B,两点处相遇。,、当甲乙两人的速度不相同的时候，由上述甲乙,速度不同的两种情况可推知，甲乙两人始终在,距,A,点和,B,点,50,米处相遇。此时两人也永远不能,在,A,、,B,两点处相遇。,总之，无论甲和乙的速度如何，他们二人都不能在,A,、,B,两点处相遇。,解题完毕！,总结,模型分析和模型评价略！,建模结束！,谢谢大家！,