7.3偏导数与全微分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 偏导数与全微分,一、 偏导数定义及其计算法,二,、全微分,偏增量,-,全增量,一、 偏导数定义及其计算法,2.,定义,:,在点,的某邻域内,设函数,极限,存在,则称此极限为函数,的偏导数，记为,同样可定义对,y,的偏导数,(1),若,函数,z = f,(,x , y,),在区域,D,内每一点,(,x , y,),处,对,x,注：,或,y,偏导数存在,则该偏导数称为,偏导函数,.,记为,(3),偏导数的概念可以推广到,n,元函数,.,解:,解:,解:,解:,解:,3.,二元函数偏导数的几何意义,:,是曲线,在点,M,0,处的切线,对,x,的斜率,.,在点,M,0,处的切线,斜率,.,是曲线,对,y,的,定义,:,如果函数,z = f,(,x,y,),在定义域,D,的内点,可,表示成,其中,A,B,不依赖于,x,y,仅与 有关，,称为函数,在点 的,全微分,记作,若函数在区域,D,内各点都可微,则称函数,f,(,x,y,),在点,可微,，,处全增量,则称此函数,在,D,内可微,.,二、全微分,定理,1,(,必要条件,),若函数,z = f,(,x,y,),在点,P(,x, y,),可,微,则该函数在该点的两个偏导数,必存在,且有,解:,例,2.,计算函数,在点,(2,1),处的全微分,.,例,3.,计算函数,的全微分,.,解:,解:,定理,1,表明,:,可微,反之,对否,?,偏导数,可微,连续的关系,:,1.,偏导数存在,函数未必连续,2.,函数在点,P,可微,则函数在,P,点一定连续,.,3.,偏导数存在,函数未必可微,.,4.,偏导数存在且连续,函数必可微,. Th7.2(P223),偏导数存在,连续,*,全微分在数值计算中的应用,解:,例,5.,计算,的近似值,.,设,则,取,则,解:,作业,P226 1(1),(3); 2(1)(3),;,4(3)(6) ;,