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,*,*,知难而进,无坚不摧,第十八章,含参变量的反常积分,第十八章,含参变量的反常积分,4.,含参量反常积分一致收敛的性质,主要内容,10/1/2024,1,本节研究形如,的含参变量广义积分,(,无穷限积分，无界函数的积分,),的连续性、可微性与可积性。,10/1/2024,2,设 定义在无界区域,若对每一个固定的,反常积分,都收敛,则它的值是 在区间 上取值的函数,称为定义在 上的含参量 的无穷限反常积分,或,简称为,含参量反常积分,.,10/1/2024,3,对于含参量反常积分 与函数,则称含参量反常积分 在,上,一致收敛,于,.,(1).,含参量无穷广义积分,10/1/2024,4,(2).,含参量瑕积分,10/1/2024,5,一致收敛的柯西准则,:,含参量反常积分 在 上一致收敛的,10/1/2024,6,一致收敛的柯西准则,:,含参量反常积分 在 上一致收敛的,10/1/2024,7,魏尔斯特拉斯（,Weierstrass,）判别法,若 收敛，则,设有函数,使得,10/1/2024,8,证明,因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西,准则，有,从而,所以 关于,一致收敛。,10/1/2024,9,魏尔斯特拉斯判别法,:,设有函数,使得,10/1/2024,10,证明,因为 收敛，所以由广义积分一致收敛的柯西准则，有,从而,所以 关于,一致收敛。,10/1/2024,11,阿贝耳判别法,:,10/1/2024,12,狄利克雷判别法,;,10/1/2024,13,三、含参量反常积分一致收敛的性质,1.,连续性定理,(1),(2),10/1/2024,14,10/1/2024,15,证明,:,因为 在 内一致收敛，所以,因此，当 时，,又 在 上连续，所以,作为 的函数在 连续，于是,(,就,(1),的情况,),10/1/2024,16,从而，当 时，有,定理证毕。,10/1/2024,17,2.,积分顺序交换定理,设 在 上连续，关于,在 上一致收敛，则 在,可积，并且,即积分顺序可以交换,.,证明,(,从略,),可积性定理,10/1/2024,18,可积性定理,10/1/2024,19,3.,积分号下求导的定理,设 在 上连续，,收敛，关于 在 上一致收敛，则,在 可导，且,即求导和积分顺序可以交换,.,可微性定理,10/1/2024,20,可微性定理,10/1/2024,21,证明,:,因为 在 连续，由连续性定理,在 连续，,沿区间 积分 ，得到,在上式两端对 求导，得,定理证毕。,(,就,(1),的情况,),10/1/2024,22,10/1/2024,23,证明反常积分,在,R,上一致收敛,.,含参量反常积分,在,R,上一致收敛,.,10/1/2024,24,证明含参量反常积分,在,0,d,上一致收敛,.,在,0,d,上一致收敛,.,10/1/2024,25,证明含参量反常积分,在 上一致收敛,.,含参量反常积分,在 上一致收敛,.,10/1/2024,26,例,4,证明,证明,:,（,1,）用分段处理的方法,.,(),10/1/2024,27,因为,10/1/2024,28,10/1/2024,29,例,5,计算积分,解,10/1/2024,30,例,6,利用积分号下求导求积分,解,因为,因为,故,10/1/2024,31,由数学归纳法易证,于是,10/1/2024,32,例,7,计算积分,解,令,10/1/2024,33,在第二项积分中令,得,故,10/1/2024,34,(2),含参量反常积分一致收敛的定义,;,(1),含参量反常积分的定义,;,(3),含参量反常积分一致收敛的判别,;,一致收敛的柯西准则,:,一致收敛的充要条件,;,魏尔斯特拉斯判别法,;,10/1/2024,35,P264:,2,(2)(3),4,(1)(3),5,阿贝耳判别法,;,狄利克雷判别法,;,(4),含参量反常积分的性质,;,(i),连续性,;,(ii),可微性,;,作业,(iii),可积性,;,10/1/2024,36,10/1/2024,37,
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