3[1].4_向量组的极大无关组

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3.4,节,向量组的极大 线性无关组,线性代数,主要内容,:,一等价向量组,二向量组的极大线性无关组,三 向量组的秩与矩阵秩的关系,一、等价向量组,定义,1,：,如果向量组 中的每一个向量,都,可以由向量组,线性表示，那么就称向量组,A,可以由向量组,B,线性表示。,若同时向量组,B,也可以由向量组,A,线性表示，就称,向量组,A,与向量组,B,等价。,即,自反性：,一个向量组与其自身等价；,对称性：,若向量组 与 等价，则 和 等价；,传递性：,与 等价,与 等价，则 与 等价。,等价向量组的基本性质,定理：,设,与 是两个向量组，如果,(2),则向量组 必线性相关。,推论,1,：,如果向量组 可以由向量组,线性表示，并且,线性无关，那么,推论,2,：,两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。,(1),向量组,线性表示；,可以由向量组,二、向量组的极大线性无关组,定义,2:,注,:,（,1,）只含零向量的向量组没有极大无关组,.,简称,极大无关组。,对向量组,A,，,如果在,A,中有,r,个向量,满足：,（,2,）任意,r,1,个向量都线性相关。（如果有的话）,线性无关。,（,1,）,那么称部分组 为向量组 的一个,极大线性无关组。,（,2,）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。,（,3,）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性,表示,例如：,在向量组 中，,首先,线性无关，,又,线性相关，,所以,组成的部分组是极大无关组。,还可以验证,也是一个极大无关组。,注：,一个向量组的,极大无关组,一般,不是唯一的。,极大无关组的一个基本性质：,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。,又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都,与向量组等价，所以：,向量组的任意两个极大无关组都是等价的。,由,等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得,一个向量组的任意两个极大无关组等价，,且所含向量的个数相同。,定理：,三、向量组的秩与矩阵秩的关系,定义,3,：,向量组的极大无关组所含向量的个数,称为这个,向量组的秩,记作,例如：,向量组 的,秩为,2,。,1.,向量组的秩,（,4,）等价的向量组必有相同的秩。,关于向量组的秩的结论：,（,1,）零向量组的秩为,0,。,（,2,）向量组,线性无关,向量组,线性相关,（,3,）如果向量组,可以由向量组,线性表示，则,注：,两个有相同的秩的向量组不一定等价。,两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个,线性表示，则这两个向量组等价。,2.,矩阵的秩,2.1.,行秩、列秩、矩阵的秩,把,矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些,行向量,组成，,把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些,列向量,组成。,定义,4,：,矩阵的行向量的秩，就称为,矩阵的行秩,;,矩阵的列向量的秩，就称为,矩阵的列秩,。,例如：,矩阵,的行向量组是,可以证明，,是,A,的,行向量组,的一个,极大无关组,，,因为，由,即,可知,即,线性无关,；,而,为零,向量，包含零向量的向量组线性无关，,线性相关。,所以向量组,的秩为,3,，,所以矩阵,A,的,行秩,为,3,。,矩阵,A,的,列向量组,是,可以验证,线性无关,，,而,所以向量组,的,一个极大无关组是,所以向量组,的秩是,3,，,所以矩阵,A,的,列秩,是,3,。,问题：,矩阵的行秩 矩阵的列秩,引理,1,：,矩阵的,初等行变换,不改变矩阵的,行秩,。,（列） （列）,证：,把,按行分块，设,（,1,）对换矩阵,A,的两行,A,的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变，,所以矩阵,A,的,行秩,不变。,（,2,）用非零常数,k,乘以,A,的第,i,行,显然，向量组,可以由向量组,线性表示；,而,向量组,也,可以由向量组,线性表示。,所以矩阵,的行向量组与,的行向量组等价，,又,等价的向量组有相同的秩，,的,行秩,的,行秩，,即,A,的,行秩,不变。,（,3,）非零常数,k,乘以第,i,行后加到第,j,行上,显然，,中的行向量组,可以由,的,行向量组线性表示,而,的,行向量组可以由,中的行向量组线性表示。,所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变，,所以矩阵的,行秩,不变。,引理,2,：,矩阵的,初等行变换,不改变矩阵的,列秩,。,（列） （行）,证：,设矩阵,A,经过初等行变换变为,B,，,即,存在有限个初等矩阵,使得,令,则,把,按,列分块，设,不妨设,A,的列向量组的极大无关组为,（可交换列的次序把它们换到前,r,列，矩阵的秩不变）,则,下面证明,A,的列向量组的,极大无关组,经过,初等行变换,变为,是矩阵,B,的列向量组的,极大无关组,。,（,1,）先证,线性无关。,设数,使得,成立,因为,P,为初等矩阵的乘积，所以,P,可逆。,又,线性无关,线性无关。,（,2,）再证,B,的列向量组中任一向量,可由向量组,线性表示。,是,A,的列向量组的极大无关组,所以对于,A,中任一列向量,都,存在数,使得,等号两边左乘,P,有,由,(1)(2),可知,是,B,的列向量组的一个极大,无关组。,所以，,B,的列秩,r,A,的列秩,综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。,定理：,矩阵的行秩矩阵的列秩,证：,任何矩阵,A,都可经过初等变换变为,形式，,而,它的行秩为,r,，,列秩也为,r,。,又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，,所以，,A,的行秩,r,A,的列秩,定义,5,：,矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为,矩阵的秩。,记为,r(A),或,rankA,，,或秩,A,。,推论：,矩阵的,初等变换,不改变,矩阵的秩,。,2.2,矩阵秩的求法,.,行阶梯形矩阵：,例如：,特点：,(1),可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,(2),每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,行最简形矩阵：,在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元,为数,1,，且这些,1,所在的列的其他元素全都为零。,例如：,注：,对于任何矩阵，总可以经过有限次初等,行变换,把它变,为,行阶梯形矩阵,和,行最简形矩阵,。,例,1,：,对矩阵,作行初等变换,使成为行阶梯矩阵,.,解,:,解：,看行秩,例,2,：,求上三角矩阵的秩,看,的,线性相关性：,线性无关，,维数增加后得到的,依然线性无关，,而,与,都,线性无关，,所以矩阵的秩行向量组的秩,3,非零行的行数,结论：,行阶梯形矩阵的秩非零行的行数,证明：,只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行,是线性无关就行了。,设,A,是一阶梯形矩阵，不为零的行数是,r,。,因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地,变换列的顺序，不妨设,其中,显然，左上角的,r,个,r,维行向量线性无关，当分量增加为,n,维时依然无关，所以矩阵,A,的非零行的向量是线性无关的。,加上任一零行即相关，所以,矩阵,A,的秩矩阵,A,的行,向量组的秩非零行的行数,求矩阵秩的方法：,把矩阵用,初等行变换,变成,行阶梯形矩阵,，则行阶梯形,矩阵,中非零行的行数,就是原来,矩阵的秩,。,例,3:,求,A,的秩。,由阶梯形矩阵有三个非零行可知,求向量组的秩、极大无关组的步骤,.,（,1,）向量组,作列,向量构成矩阵,A,。,（,2,）,初等行变换,（行,最简形,矩阵）,r(A)=B,的非零行的行数,（,3,）求出,B,的列向量组的极大无关组,（,4,）,A,中与,B,的列,向量组的极大无关组相对应部分的列向量组,即为,A,的极大无关组。,（根据见,引理,2,，幻灯片,16,）,例,4,：,向量组,求向量组的秩和,一个极大无关组。,解：,又因为,B,的,1,，,2,，,5,列是,B,的列向量组的一个极大无关组,所以，,是,的,一个极大无关组。,考虑：,是否还有其他的极大无关组？,与,例,5,：求向量组,的,一个极大无关组，并把其余,向量用该极大无关组线性表示。,解：,设,则,B,的,1,，,2,列为极大无关组，且,所以,为,所求的一个极大无关组，且,2.3,矩阵秩的性质,(1),等价的矩阵，秩相同。,(2),任意矩阵,有,(3),任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。,可逆，,有,(4),当,AB=0,时，有,（,证明在习题课讲,）,3.,矩阵的秩与行列式的关系,定理,:,n,阶方阵,A,，,即,A,为可逆矩阵（也称为,满秩矩阵,）,A,的,n,个行（列）向量线性无关,A,的,n,个行（列）向量线性相关,