高等数学第二章极限与连续

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章 极限与连续,2.1 数列的极限,2.2 函数的极限,2.3 变量的极限,2.4 无穷大量与无穷小量,2.5 极限的运算法那么,2.6 两个重要的极限,2.7 利用等价无穷小量代换求极限,2.8 函数的连续性,1,第二章,2.1 数列的极限,定义,：由无穷多个数，构成的有序的一列数：,称为无穷数列，简称数列，,简记为,数列中的各个数称为数列的项，,称为通项。,数列,可以看成以正整数,为自变量的函数。,(一)数列,2,例1,例2,例3,这种数列称为常数数列。,例4,例5,3,1.数列极限的定性描述,引例1.,设有半径为,r,的圆 ,逼近圆面积,S,.,如下图 , 可知,当,n,无限增大时,无限逼近,S,(刘徽割圆术),用其内接正,n,边形的面积,(二) 数列极限,4,“ 割之弥细 , 所失弥小，割之又割 , 以至于不可割 , 那么与圆合体而无所失矣 ,它包含了“用逼近未知 , 用近似逼近准确的重要极限思想,我国古代魏末晋初出色数学家刘徽指出：,5,引例,例1中的数列来源于我国一篇古典名著.公元前四世纪，我国春秋时期的哲学家庄子约公元前369前286在庄子天下篇一书中有一段富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.我们把逐日取下的棰的长度顺次列出来.,便得到数列,当,n,无限增大时,无限逼近0,6,定义,设,数列,实数。,如果,无限增大时，,无限趋近于常数,那么称数列,以,为极限，记作,或,此时，称数列,收敛.,否那么即,时，,不以任何常数为极限,称数列,发散。,7,说明,：(1). 引例1中，圆的面积,(2). 引例2中，剩余棒头的长度,8,观察上例中，数列的极限：,例2中,例3中,例4中,不存在；,时,数列,没有固定变化趋势，发散。,当,例5中，,不存在。当,时,数列,的变化趋势为无限增大，发散。记,9,2、数列极限的定量描述,逐次参加定量成分，把极限定性描述转为定量描述。,(1) 如果,无限增大时，,无限趋近于常数,那么称数列,以,为极限.,(2) 当,充分大时，,任意小，那么称数列,以,为极限.,(3),当,充分大时，,那么称数列,以,为极限.,(4),当,n,N,时, 总有,那么称数列,以,为极限.,10,定义:,假设数列,及常数 a 有以下关系 :,当,n,N,时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否那么称数列发散 .,几何解释(动态地看定义) :,即,或,那么称该数列,的极限为,a,当,n,N,时,所有的点,都落在,内。,只有有限个点,落在,的,邻域,之外。,11,几点注意,12,13,例6.,证明数列,的极限为1.,证:,因此 , 取,那么当,时, 就有,故,由定义来证，,当,时, 就有,当,时, 有,当,时, 有,当,时, 有,对问题进展等价的转化,14,例6.,证明数列,的极限为1.,证2:,欲使,只要,因此 , 取,那么当,时, 就有,故,15,“N定义证明,的步骤，,分三步：,第一步，给定任意正数；,第二步，由,寻找正整数N ，这是关键的一步；,第三步，按照定义的模式写出结论.,16,例7.,证明,证:,欲使,只要,取,那么当,时, 就有,故,故也可取,也可由,N,与,有关, 但不唯一.,不一定取最小的,N,.,说明:,取,放大！,17,例8.,设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取,那么当 n N 时,就有,故,的极限为 0 .,为什么限制，,可以限制吗？,18,(三) 收敛数列的性质(补充内容),证明思想:,用反证法.,1. 收敛数列的极限唯一.,及,且,假设,选,使,a,的,邻域与,b,的,邻域不相交,当,n max(,N,1,N,2,),时,x,n,同,时在这两邻域内,矛盾,19,证:,用反证法.,及,且,取,因,故存在,N,1,从而,同理, 因,故存在,N,2,使当,n,N,2,时, 有,使当,n,N,1,时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,那么当 n N 时,故假设不真 !,满足的不等式,20,例4.,证明数列,是发散的.,证:,用反证法.,假设数列,收敛 ,那么有唯一极限 a 存在 .,取,那么存在 N ,但因,交替取值 1 与1 ,内,而此二数不可能同时落在,长度为 1 的开区间,使当,n,N,时 , 有,因此该数列发散 .,21,2. 收敛数列一定有界.,即如果,直观,证明思想,邻域内有几乎所有的,x,n,邻域内外只有有限个,x,n,说明:,此性质反过来不一定成立 .,22,证:,取,那么,当,时,从而有,取,那么有,由此证明收敛数列必有界.,有,说明:,此性质反过来不一定成立 .,例如,虽有界但不收敛 .,数列,23,3. 收敛数列的保号性.,假设,且,时, 有,直观:,24,证明思想:,若,且,时, 有,证:,对,a, 0 ,取,问: ab时,会有什么结论,25,推论2:,假设数列从某项起,推论1:,假设,且,时, 有,26,第二章,2.2 函数的极限,函数极限问题是研究当自变量,趋向于,的变化趋势,或趋向于无穷大时，函数,自变量变化,过程有六种形式:,趋向于一点,趋向于无穷,27,(一) 自变量趋于有限值时函数的极限,时函数极限的定义,仿数列极限定义,(不管多么小)，,有：,描述,任意地接近,表示,接近,的过程,28,定义 .,设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,那么称常数 A 为函数,当,时的极限,或,假设,记作,29,注意,30,例9.,证明,证:,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,31,例10.,证明,证:,欲使,取,那么当,时 , 必有,因此,只要,32,例11.,证明,证:,故,取,当,时 , 必有,因此,欲使,33,例12.,证明: 当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,那么当,时,保证 .,必有,放大,只要“大的,那么“小的必 0 ,那么存在,(,A, 0 时,取正数,那么在对应的邻域,上,( 0 ,则存在,以,A, 0为例,50,定理3 . 假设在,的某去心邻域内, 且,那么,证:,用反证法.,那么由定理 2,的某去心邻域 ,使在该邻域内,与,所以假设不真,(同样可证,的情形),存在,假设,A, 0 ,总有,那么称函数,当,时为无穷大,(正数,X,) ,记作,总存在,56,又如,铅直渐近线。,57,比方，,渐近线,直线,为曲线,的铅直渐近线 .,1. 无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,注,58,(二),无穷小,定义 . 假设,时 , 函数,那么称函数,为,时的,无穷小,.,极限为零的变量,称为,无穷小,.,1、无穷小量的概念,59,当,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,时为无穷小.,说明:,2.零是可以作为无穷小的唯一的数!,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,60,其中,(,x,),为,时的无穷小量 .,定理 .,( 无穷小与函数极限的关系 ),意义,1.将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);,61,证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,其中,为,时的无穷小量 .,定理 1,62,2、无穷小量的性质,性质1.,有限个无穷小的代数和还是无穷小 .,由此可证:,有限个,无穷小之和仍为无穷小 .,以三个无穷小的和为例！,设,无穷小,无穷小,只需,证明，两个无穷小的和 ，仍为无穷小。,分析：,63,时, 有,证:,当,时 , 有,当,时 , 有,取,那么当,因此,来证,64,说明:,无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,性质,2 .,有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,即,65,证:,当,时, 有,取,那么当,时 , 就有,故,66,推论 2,.,常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 .,有限个无穷小的乘积是无穷小 .,推论,1.,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,都是无穷小,67,例14.,求,解:,利用,性质,2 可知,说明 :,y,= 0 是,的渐近线 .,注意，有重要公式：,函数极限与自变量的变化过程有关。,68,(三)无穷小与无穷大的关系,假设,为无穷大,为无穷小 ;,假设,为无穷小, 且,那么,为无穷大.,那么,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为,无穷小来讨论.,性质3.,说明:,69,(四) 无穷小量阶的比较,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,观察各极限,70,定义.,假设,那么称 是比 高阶的无穷小,假设,假设,假设,或,设,是自变量同一变化过程中的无穷小,记作,那么称 是比 低阶的无穷小;,那么称 是 的同阶无穷小;,那么称 是 的等价无穷小,记作,例如,当,时,71,例15.,证明: 当,时,证:,72,第二章,2.5 极限的运算法那么,那么有,证:,因,那么有,(其中,为无穷小),于是,由性质 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,定理. 假设,73,说明:,此定理可推广到有限个函数相加、减的情形 .,定理 . 假设,那么有,证明略 .,说明:,此定理 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,(,C,为常数 ),推论 2 .,(,n,为正整数 ),74,例16.,设,n,次多项式,试证,证:,75,定理. 假设,且 B0 , 那么有,证明略,例17.,设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明: 假设,不能直接用商的运算法那么 .,假设,76,x,= 3 时分母为 0 !,例18.,练习求,77,例19 .,求,解:,x,= 1 时,分母 = 0,分子0,但因,78,例20 .,求,解:,时,分子,分子分母同除以,那么,分母,“ 抓大头,原式,79,一般有如下结果：,为非负常数 ),80,例21,求,解,注意两个同号的无穷大量之和是无穷大量，两个异号的无穷大量之和是“型不定式.本例求极限的方法称为有理化法.,81,第二章,2.6 两个重要的极限,(一) 极限存在准那么,夹逼准那么; 单调有界准那么; 柯西审敛准那么(略) .,1. 夹逼准那么 (准那么1-数列),直观:,82,当,时, 有,想证,证明直观:,nN,2,时,nN,1,时,n,max,(N,1,N,2,)时,83,证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,取,那么当,时, 有,由条件 (1),即,故,84,夹逼准那么 (准那么1-变量),直观:,例1.,证明,证明：,85,例2.,证明,证明：,86,例3.,证明,证: 利用夹逼准那么 .,且,由,87,2. 单调有界数列必有极限 ( 准那么2 ),( 证明略 ),88,例.,设,证明数列,极限存在 .,证:,利用二项式公式 , 有,89,大,大,正,又,比较可知,90,根据准那么 2 可知数列,记此极限为,e ,e,为无理数 , 其值为,即,有极限 .,又,91,圆扇形,AOB,的面积,(二) 两个重要极限,证:,当,即,亦即,时，,显然有,AOB,的面积,AOD,的面积,故有,92,例4.,求,解:,例5.,求,解:,令,那么,因此,原式,93,例6.,求,解:,原式 =,例. 圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明:,计算中注意利用,94,2.,证:,当,时, 设,那么,95,当,那么,从而有,故,说明:,此极限也可写为,时, 令,96,例.,求,解:,令,那么,说明 ：假设利用,那么,原式,97,例7.,求,解:,例8.,求,解:,98,例.,计算复利息问题：,每期结算一次，本利和为,设本金为 ，,利率为 ，,期数为 。,每期结算 次， 期本利和为,如果立即产生，立即结算，即,期本利和为,99,第二章,2.7 利用等价无穷小量代换求极限,定理1.,证:,即,即,100,定理2,. 设,且,存在 , 那么,证:,等价无穷小替换定理,例如,在极限的,乘除,运算中，等价无穷小可以相互替换！,101,设对同一变化过程 ,为无穷小 ,说明:,无,穷小性质Th12,(1) 和差取大规那么:,由等价,得简化某些极限运算的下述规那么.,假设 = o() ,例如,(2) 因式代替规那么:,界, 那么,例如,102,例1.,求,解:,原式,103,例2.,求,解:,原式,104,例3.,求,解:,原式,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中各无穷小不能分别替换.,注意,105,例4.,证明,证明:,106,第二章,2.8 函数的连续性,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,那么称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备以下条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,107,continue,假设,在某区间上每一点都连续 ,那么称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的,连续函数,.,例1,在,上连续 .,( 有理整函数 ),例2,有理分式函数,在其定义域内连续,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,连续函数的图形是一条连续而不连续的曲线.,108,对自变量的增量,有,函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有以下等价命题:,109,例3.,证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,110,例4.,证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,来证,要使,只要,即,取,即可,111,例5,证,由定义知,112,例6,解,右连续但不左连续 ,113,在,在,二、 函数的连续点,(1) 函数,(2) 函数,不存在,;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,那么以下情形,这样的点,之一,函数,f,(,x,) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为连续点 .,在,无定义,;,114,连续点分类:,第一类连续点:,及,均存在 ,假设,称,假设,称,第二类连续点:,及,中至少一个不存在 ,称,假设其中有一个为振荡 ,称,假设其中有一个为,为可去连续点 .,为跳跃连续点 .,为无穷连续点 .,为振荡连续点 .,115,为其无穷连续点 .,为其振荡连续点 .,为可去连续点 .,例如,:,116,显然,为其可去连续点 .,(4),(5),为其跳跃连续点 .,117,例7,解,118,小结,左连续,右连续,第一类连续点,可去连续点,跳跃连续点,左右极限都存在,第二类连续点,无穷连续点,振荡连续点,左右极限至少有一个不存在,在点,连续的类型,在点,连续的等价形式,119,可去型,第一类连续点,o,y,x,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类连续点,o,y,x,o,y,x,o,y,x,120,三、连续函数的运算法那么,极限性质,容易把极限性质转化为连续函数性质, 如,121,定理1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四那么运算法那么证明),商,(分母不为 0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,在其定义域内连续,例如,122,定理2.,连续单调递增 函数的反函数,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1 , 1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,反三角函数在其定义域内皆连续.,123,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,124,定理3,定理4.,连续函数的复合函数是连续的.,即:,设函数,那么复合函数,且,即,加强条件有:,注意定理4是定理3的特殊情况.,(证明略),125,意义,极限符号可以与函数符号互换;,例8. 求,解:,原式,126,例,9,.,是由连续函数链,因此,在,上连续 .,复合而成 ,127,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,根本初等函数的连续性,(均在其定义域内连续 ),四、初等函数的连续性,Ex,128,根本初等函数在定义域内连续,连续函数经四那么运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,定义区间是指包含在定义域内的区间.,129,例,10,.,讨论,的连续性。,解:,130,的连续性。,例10.,讨论,131,(五) 利用函数连续性求函数极限,1.利用初等函数连续性求函数极限,例11.,求,解:,初等函数,在,例12,求,解:,132,例13.,求,解:,令,那么,原式,说明:,当,时, 有,2. 利用连续函数符号与极限符号可交换,如例8中，,133,例14.,求,解:,原式,说明: 假设,那么有,134,小结,根本初等函数在定义域内连续,连续函数的四那么运算的结果连续,连续函数的反函数连续,连续函数的复合函数连续,初等函数在定义区间内连续,极限计算中的应用,135,六在闭区间上连续函数的性质,定义.,设函数,那么称,如果,定义在,D,上，,有,在,D,上有,最大值，,并称,在,D,上的,最大值,为,称,在,D,上的,最大值点,为,小,小,小,例如：,在,内最大值为1，最小值为1,在,内最大值为2，最小值为0,1. 最值定理,136,注意: 假设函数在开区间上连续,结论不一定成立 .,定理4.,在,闭区间,上连续的函数,即: 设,那么,使,值和最小值.,或在闭区间内有连续,在该区间上一定有最大,(证明略),点,137,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,138,推论.,由定理 1 可知有,证:,设,上有界 .,在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,139,定理5.,( 零点定理 ),至少有一点,且,使,( 证明略 ),2、介值定理,140,定理6.,( 介值定理 ),设,且,那么对 A 与 B 之间的任一数 C ,一点,证:,作辅助函数,那么,且,故由零点定理知, 至少有一点,使,即,使,至少有,141,几何解释:,推论:,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值,之间的任何值 .,142,例15.,证明方程,一个根 .,证:,显然,又,故据零点定理, 至少存在一点,使,即,说明:,内必有方程的根 ;,取,的中点,内必有方程的根 ;,可用此法求近似根.,二分法,在区间,内至少有,那么,那么,143,例16.,证明方程,内各有,一个实根 .,证:,显然,又,在区间,是所给方程的实根。,又三次方程只有三个根，,所以各,区间只存在一个实根。,故据零点定理, 存在,使,144,小结,在,上到达最大值与最小值;,上可取最大与最小值之间的任何,值;,4. 当,时,使,必存在,上有界;,在,在,145,