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*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,函数的单调性,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律,：,1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？,2、,随,x,的增大，,y,的值有什么变化？,1.观察函数图象，从左向右函数图象如何变化？,2.针对函数y=x2在0，+上图像，任取自 变量的两个值，比较其对应函数值的大小.,3.总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律.,1、在区间,_,上，,f(x),的值随着,x,的增大而,_,2、在区间,_,上，,f(x),的值随,着,x,的增大而,_,f(x)=x,2,(-,0,(0,+),增大,减小,画出以下函数的图象，观察其变化规律：,一般地，设函数的定义域为 I:,如果对于属于定义域为 I内某个区间上的,任意两个自变量的值x,1,、x,2,当x,1,x,2,时,都有f(x,1,)f(x,2,),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.,增函数概念,o,一般地，设函数 的定义域为I：,如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ，。当 时，都有,那么就说 在这个区间上是,增函数,。,减函数概念,一般地，设函数的定义域为 I:,如果对于属于定义域为 I内某个区间上的任意两个自变量的值x,1,、x,2,当x,1,f(x,2,),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.,o,一般地，设函数 的定义域为I：,如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ，。当 时，都有,那么就说 在这个区间上是,减函数,。,如果函数 在某个区间上是增,函数或减函数，那么就说函数,在这一区间具有严格的单调性，,这一区间叫做 的单调区间。,1.函数的单调性也叫函,数的增减性,2,.函数的单调性是对某个区间而言,的,它是一个局部概念.,注：,例1 以下图是定义在闭区间-5,5上的函,数 的图象,根据图象说出,的单调区间,以及在每一区间上,是增函数还是减函数.,-,2,1,2,3,4,5,-2,3,-3,-4,-5,-1,-1,1,2,O,-,2,1,2,3,4,5,-2,3,-3,-4,-5,-1,-1,1,2,在区间,-5,-2),1,3),上是减函数,在区间,-2,1),3,5),上是增函数.,解:函数 的单调区间有,-5,-2),-2,1),1,3),3,5,O,1,2,-2,-1,-1,1,o,如图,的图象(包括端点),根据图象说出函数的单调区间,以及,在每一区间上,函数是增函数还是减,函数.,如图,的图象(包括端点),根据图象说出函数的单调区间,以及,在每一区间上,函数是增函数还是减,函数.,-1,1,o,练习:给出以下函数的图象,指出函数的单调区间,并指明其单调性.,图1,图2,注意:有几个单调区间时不能把几个区间并起来说.为什么呢？,y,o,x,o,y,x,y,o,x,y,o,x,y,o,x,在,增函数,在,减函数,在,增函数,在,减函数,在,(,-,+,)是减函数,在(,-,0,)和(,0,+,)是减函数,在,(,-,+,)是增函数,在(,-,0,)和(,0,+,)是增函数,y,o,x,例2,证明函数 在R上是,增函数.,证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2,那么,f(x1)f(x2)=(3x1+2)(3x2+2)=3(x1x2).,由x1x2,得x1x20,于是f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2).,所以,f(x)=3x+2在R上是增函数.,任意取值,作差变形,判断符号,得出结论,判断函数单调性的方法步骤,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,任取x1，x2D，且x1x2；,作差f(x1)f(x2)；,变形,定号即判断差f(x1)f(x2)的正负；,下结论即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性,通常是因式分解和配方；,例3,证明函数 在,(-,0),上,是减函数.,由 ，得,又由 ，得,于是 ，即,所以，在 上是减函数.,证明,：,设 是 上的任意两个,实数，且 ，则,-，0,-，0,O,1,x,-1,1,1,y,解,：函数图象如右图所示:,-，0和0，+是两个单调减区间。,思考：能否说该函数在区间-，00，+上是单调减函数？,不能,1、判断fx=x2-1在0，+上是增函数还是减函数？,2、判断fx=-x2+2x在-，0上是增函数还是减函数？,练习,增函数,增函数,O,x,y,2,1,小,结,1、函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质.,2、判断函数单调性的方法：,1利用图象：,在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的，减函数图象是下降的.,2利用定义：,用定义证明函数单调性的一般步骤：,任意取值作差变形判断符号 得出结论.,课堂小结，知识再现,稳固概念 判断：,1、,2、假设函数,3、因为函数 在区间上 都是减函数，所以,在上 是减函数。,错,错,错,强调：,单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性,有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数),函数在定义域内的两个区间A,B上都是增或减函数，一般不能认为函数在上是增或减函数,
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