换元法计算三重积分

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节,三重积分,换元法计算三重积分,一、柱面坐标求三重积分,二、球面坐标求三重积分,回顾 三重积分的概念,类似二重积分解决问题的思想,采用,引例,:,设在空间有限闭区域,内分布着某种不均匀的,物质,求分布在 内的物质的,可得,“,分割,近似,求和,取极限”,解决方法,:,质量,M,.,密度函数为,定义,.,设,存在,称为,体积元素,若对,作,任意分割,:,任意取点,则称此极限为函数,在,上的,三重积分,.,在直角坐标系下常写作,下列“乘,积和式”极限,记作,1.,利用直角坐标计算三重积分,方法,1.,投影法,(“,先一后二”,),方法,2.,截面法,(“,先二后一”,),先假设连续函数,并将它看作某物体,通过计算该物体的质量引出下列各计算,最后,推广到一般可积函数的积分计算,.,的密度函数,方法,:,方法,1.,投影法,(“,先一后二”,),找 及在 面投影区域,D,。过,D,上一点 “穿线,”,确定 的积分上下限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按照二重积分的计算步骤计算投影区域,D,上的二重积分，完成”后二“这一步。,方法,2.,截面法,(“,先二后一”,),为底,d,z,为高的柱形薄片质量为,该物体的质量为,面密度,记作,2.,利用柱坐标计算三重积分,就称为点,M,的柱坐标,.,直角坐标与柱面坐标的关系,:,坐标面分别为,圆柱面,半平面,平面,如图所示,在柱面坐标系中体积元素为，在二重积分的时候我们讲过极坐标的转化,面积微元为,因此,其中,适用范围,:,1),积分域,表面用柱面坐标表示时,方程简单,;,2),被积函数,用柱面坐标表示时,变量互相分离,.,体积微元,其中,为由,例,1.,计算三重积分,所围,解,:,在柱面坐标系下,及平面,柱面,成半圆柱体,.,先二后一,例,2.,计算三重积分,解,:,在柱面坐标系下,所围成,.,与平面,其中,由抛物面,原式,=,例,3.,计算三重积分,解,:,在柱面坐标系下,所围立体,.,其中,与球面,注：这个式子虽容易写出，但是要求积分结果非常难，我们能不能找到更加简便的方法来研究这道题目呢？,3.,利用球坐标计算三重积分,就称为点,M,的球坐标,.,直角坐标与球面坐标的关系,坐标面分别为,球面,半平面,锥面,如图所示,在球面坐标系中体积元素为,因此有,其中,适用范围,:,1),积分域,表面用球面坐标表示时,方程简单,;,2),被积函数,用球面坐标表示时,变量互相分离,.,例,5.,计算三重积分,解,:,在球面坐标系下,所围立体,.,其中,与球面,这种方法简单多了！,内容小结,积分区域,多由坐标面,被积函数,形式简洁,或,坐标系 体积元素 适用情况,直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系,*,说明,:,三重积分也有类似二重积分的,换元积分公式,:,对应雅可比行列式为,变量可分离,.,围成,;,（,1,）,若空间闭区域关于平面 对称,即,即被积函数关于,z,为偶函数时，,即被积函数关于,z,为奇函数时,则当,当,其中 是 位于 平面上侧的部分,.,积分区域关于其它坐标平面：,对称，且被积,函数分别是 的奇、偶函数，也有上述类似的结论,一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性计算三重积分,（,2,）若空间区域具有轮换对称性，即,则,也就是三字母轮换积分区域不改变，,4.,设,由锥面,和球面,所围成,计算,提示,:,利用对称性,用球坐标,2.,计算,其中,解,:,利用对称性,关于 为奇函数,