动量和角动量

1314 动量和角动量,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,动量和角动量,1.3.,质点的动量定理,(impulse and theorem of momentum),1),力的时间累积效应，如：冲量,，冲量矩,2),力的空间,累积效应，如：功,A= F dS,牛顿第二定律,F = ma,给出物体所受和外力与它所得加速度之间的瞬时关系。,物体在力的持续作用下，力对物体将产生累积效应。,一. 动量 momentum ,动量性质：矢量性，瞬时性,相对性。,这种累积效应有两种：,动量由物体的,m,和,V,两个因素决定，如高速运动的子弹，低速运动的夯。,2,二 . 冲量impulse,力在一段时间内持续作用的效果，是由力,F,和力的作用时间,t,两个因素决定的。,三 . 动量定理 theorem of momentum ,质点的动量定理,3,1直角坐标系中的分量式( 二维 ):,在碰撞过程中由于作用时间极短,作用力冲力却很大. 并且随时间变化很难测定，但可借助始末动量变化和作用时间来计算平均冲力。,2 动量定理在碰撞问题中具有特殊重要的意义。,讨论,4,例 ：m 在水平面内作半径为R的匀速率圆运动， (R, v) ， 求：(1) A 到 B 时动量的改变， (2) 向心力平均值及方向。,x,O,y,A,B,解：,(1),(2),5,例 ：子弹在枪筒内受到推进力,解：,m,在枪内,水平只受力,F(t),水平方向,动量状态：,t,时刻，,v,= 300 m/s,，,p,=,mv,t,= 0,时，,x,= 0,，,v,0,= 0,，,p,= 0,(N),子弹在枪筒内加速时间,0,t,x,0,t,O,其加速过程,v,0,= 0,到,v,= 300 m/s,求：子弹质量,m,= ?,6,当,子弹在枪筒内加速时间,t = ?,0,t,O,x,7,质点系的动量定理 theorem of momentum for system of particles),一,.,质点系,把相互作用的假设干个质点看作为一个整体, 这组质点就称为质点系.,二,.,质点系的动量定理,m,1,m,2,系统 :,内力,:,外力,:,m,1,m,2,分别运用牛顿第二定律,:,m,1,:,m,2,:,二式相加,8,对N个质点系统，外力用 F ，内力即质点之间的相互作用用 f ，那么第 i 及第 j 质点的运动方程,对所有质点求和,i,j,F,i,P,i,f,i j,f,j i,F,j,p,j,9,质点系的动量定理说明，一个系统总动量的变化仅决定于系统所受的外力，与系统的内力无关。即只有外力的冲量才能改变整个质点组的动量，内力的冲量虽然可以使个别质点的动量改变，但不能改变整个质点组的动量。,质点系的动量定理与质点动量定理形式一样，但各量的含义却不同。,10,1.3.3 动量守恒定律 law of conservation of momentum),一、质点动量守恒定律,由质点的动量定理,质点动量守恒定律：假设质点所受合外力为零，,那么质点的总动量不随时间改变,二、质点系动量守恒定律,由质点系的动量定理,11,当合外力为零，或外力与内力相比小很多如爆炸过程，这时可忽略外力，仍可应用动量守恒。,2. 合外力沿某一方向为零，那么该方向动量守恒,3.,只适用于惯性系,讨论：,其中,动量守恒定律：假设系统所受合外力为零,那么系统,的总动量保持不变。,4. 比牛顿定律更普遍的最根本的定律，它在宏观和微,观领域、低速和高速范围均适用。,12,例,:,三只质量均为,M,的小船鱼贯而行速率均为,v,如中间小船以相对速率,u,向前后二船抛出质量均为,m,的物体， 求：二物体停在前后二船上以后三只小船速度各为多少?,u,u,1,2,3,1),以小船,(1),及,m,为研究对象运用动量守恒定律,2),以小船,(2),及,2,m,为研究对象,3),以小船,(3),及,m,为研究对象,解,13,例：水平光滑平面上有一小车，长度为 l，质量为M。车上站有一人，质量为 m，人、车原来都静止。假设人从车的一端走到另外一端，问人和车各移动了多少距离？,解：,X,x,人与车在水平方向受外力为零，水平方向动量守恒,14,例：火箭在远离星球引力的星际空间加速飞行，因而不受任何外力的作用，设火箭某一时刻携带的燃料的质量为,M,，喷出的气体相对火箭的速率为,u,，且保持不变，求：火箭在任一时刻的速度。,t + dt,t,dm,解：,初态动量,x,P,0,=,MV,末态动量,火箭,P1 = Mdm(V+dV),气体,P,2,= dm(,V+dV,u),P,0,=,P,1,+ P,2,MV= Mdm(V+dV)+ dm(V+dV u),MV= M,VVd,m + MdV,dmd,V+Vdm +dmdV,udm,MdV =,udm,dm,= ,dM,MdV=,udM,15,MdV =,udM,设,t,= 0,时，火箭速度为,V,0,质量为,M,0,火箭获得的推力为,16,1.3.4,质心,(center of mass),同理可写出,y,和,z,分量,z,x,y,0,r,1,r,2,c,r,c,质心位矢与坐标系的选取有关。 但质心相对于各质点的相对位置是不会随坐标系的选择而变化的,质心的定义,:,设质点系共有,N,个质点组成,各质点的质量分别为：,m,1,m,2,m,N,矢径分别为： 则质心的矢径定义为,:,m,2,m,1,m,i,m,j,17,对连续分布的物质，可以将其分为,N,个小质元,例：任意三角形的每个顶点有一质点,m,，求质心。,x,y,o,（,x,1,，,y,1,）,x,2,同理可写出,y,和,z,分量,18,例: 求均匀半圆铁环的质心半径为R.,dl,d,解：取长度为,dl,的一段铁丝,以,l,表示线密度,dm,=,l,dl,.,l,=,m,/ (,R,),R,o,y,x,由对称性可知,质心,C,一定在,y,轴上,即：,x,C,=0,C,19,*,质心系,(center of mass frame),r,i,x,y,z,m,i,r,i,r,c,由于质心的特殊性，在分析力学问题时，利用质心参考系常常带来方便,零动量参考系,质心系中的速度,质心系可能不是惯性系，但质心系特殊，动量守恒定律适用，而且，对于质心系系统总动量为零,z,x,y,m,1,m,2,C,20,质心运动定理,(theorem of the motion of center of mass),质点系的动量,质点系的动量等于它的总质量与质心速度的乘积。,质点系所受合外力等于其总质量与质心加速度的乘积,.,这就是质心运动定理,.,21,在有些情况下，质点系内各质点由于内力和外力的作用，运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单，由质点系所受和外力决定。,这样质点系的运动可看成是把质量和力都集中在质心的一个质点的运动。,22,例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一均匀球，球的质量,M,， 纸被拉动时与球的摩擦力为,F,，求：,t,秒后球相对桌面移动多少距离？,x,y,o,解：球移动的距离即为质心移动的距离,答：沿拉动纸的方向移动,23,1.4,角动量,1.4.1,质点的角动量,1.4.2,角动量定理,1.4.3,角动量守恒定律,24,1.4.1,质点的角动量,大小：,当质点作圆周运动时,L= m v r,一,.,角动量矢量定义,动量为,P,的质点,对惯性系中一固定点,o,的角动量定义为下述矢量积,:,方向：,2.,的顺序不能颠倒。,右手螺旋法,1.,的方向垂直于,r,和,p,所决定的平面。,注意：,o,m,25,角动量的性质,1.,矢量性,2.,瞬时性,二,.,力矩,a,o,方向,:,右手螺旋法,.,矢量性，瞬时性，相对性,o,m,3.,相对性。 为质点到固定点,O,的位矢，相对 不同点 值不同,则 也不同。,26,1.4.2,角动量定理,质点角动量定理,质点对某一点的角动量随时间的变化率等于质点所受合外力对同一点的力矩。,上式说明在力矩的持续作用下质点角动量的变化。反映的是力矩在 t 时间内的累积效应。,27,1.4.3,角动量守恒定律,(law of conservation of angular momentum),即： 如果对于某一固定点, 质点所受合外力矩为零, 那么此质点对该固定点的角动量矢量保持不变.,关于合外力矩为零,有二种情况,:,28,例 在光滑桌面上开一小孔，把系在轻绳一端的小球放在桌面上，绳的另一端穿过小孔而执于手中。设开场时小球以速率 v0 作半径为 r0 的圆周运动 (图)，然后向下缓慢拉绳使小球的转动半径减为 r，求这时小球的速率 v,解：,v,O,绳缓慢拉下，每一瞬时均可看作小球近似作圆周运动。,r,动量守恒？动能守恒？,29,例：卫星绕地球沿椭圆轨道运行，地球的中心位于椭圆的一个焦点上，地球,R,=6378km,，卫星距地面的最近距离,h,1=439km,最远距离,h,2=2384km,卫星在近地点,A1,的速度,v,，求：卫星在远地点,A2,的速度,v,2.,h,2,A1,v,1,v,2,A2,卫星,h,1,解：卫星在运动过程中受地球引力，力矩为零，因此角动量守恒。,30,质点系角动量定理,(theorem of angular momentum of system of particles),内力矩,i,j,F,i,P,i,f,i j,f,j i,o,r,j,r,i,F,j,由质点角动量定理,31,质点系角动量定律,上两式形式上与质点角动量定律相似但涵义不同,分量式：,质点系对某轴的角动量随时间的变化率等于质点系中各质点所受外力对同一轴的力矩的代数和。,质点系角动量守恒定律,32,例：,质量分别为,m,1,和,m,2,的两个小钢球固定在一个长为,a,的轻质硬杆的两端，杆的中点有一轴使杆在水平面内自由转动，杆原来静止。另一泥球质量为,m,3,，以水平速度,v,0,垂直于杆的方向与,m,2,发生碰撞，碰后二者粘在一起。 设,m,1,=,m,2,=,m,3,，求碰撞后转动的角速度。,碰撞后,解：考虑此质点系。相对于杆的中点，在碰撞过程中合外力矩为零，因此对此点的角动量守恒。,碰撞前,a,/2,a,/2,m,1,m,2,m,3,v,0,r,r,33,质心参考系中的角动量,m,i,O,c,设：,O,为惯性系中的一点,C,为质点系的质心,质心相对于,O,的位矢及速度如图,质点,i,相对于,O,和,C,的位矢如图,质点,i,相对于惯性系和质心系的速度如图,质点系对,O,点的角动量,34,零,零,质点系对惯性系中某点的角动量等于质心对该点的角动量叫轨道角动量加上质点系对质心的角动量,35,质点系对质心的角动量定理,比较,36,