抛物线的简单几何性质新人教A版选修

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,抛物线的简单几何性质新人教A版选修,教学目的,知识与技能目的,使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质,从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等才能,过程与方法目的,复习与引入过程,1抛物线的定义是什么？,请一同学答复应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的间隔 相等的点的轨迹叫做抛物线,2抛物线的标准方程是什么？,再请一同学答复应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0),下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p0)出发来研究它的几何性质?板书?抛物线的几何性质,y,x,o,复习,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探究其的几何性质:,(1)范围,(2)对称性,(3)顶点,类比探究,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.,抛物线和它的轴的交点.,X,Y,(4)离心率,(5)焦半径,(6)通径,始终为常数1,通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x,0,+p/2,x,O,y,F,P,通径的长度,：2P,考虑：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线根本特征的草图。,特点,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,图 形,方程,焦点,准线,范围,顶点,对称轴,e,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,l,F,y,x,O,y2=2px,p0,y2=-2px,p0,x2=2py,p0,x2=-2py,p0,x0,yR,x0,yR,y0,xR,y,0,xR,(0,0),x轴,y轴,1,变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点,M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程.,典型例题：,例1.,已知抛物线关于x轴对称，,顶点在坐标原点,并且过点M(2,),求它的标准方程.,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m 0)(x2=2my(m0),可防止讨论,x,y,O,F,A,B,B,A,例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.,y,2,=,4x,解法一:由得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1,x,y,O,F,A,B,B,A,例2.斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.,y,2,=,4x,解法二:由题意可知,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,变式：过抛物线,y,2,=2px,的焦点,F,任作一条直线,m,，,交这抛物线于,A、B,两点，求证：以,AB,为直径的圆,和这抛物线的准线相切,证明：如图,所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因此圆E和准线l相切,设,AB,的中点为,E,，过,A,、,E,、,B,分别向准线,l,引垂线,AD,，,EH,，,BC,，垂足为,D,、,H,、,C,，,那么AFAD，BFBC,AB,AF,BF,AD,BC,=2,EH,练习:,1.抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是_.,2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为,的直线,那么被抛物线截得的弦长为_,2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.,y,2,=,8x,X=3,例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.,x,O,y,F,A,B,D,例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。,x,y,O,F,A,B,D,小结:,几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;,2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,图形,标准方程,范围,对称性,顶点,离心率,关于,x,轴,对称，无,对称中心,关于,x,轴,对称，无,对称中心,关于,y,轴,对称，无,对称中心,关于,y,轴,对称，无,对称中心,e=1,e=1,e=1,e=1,分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；,另一种是直线与抛物线相切,判断直线与抛物线位置关系的操作程序,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的,对称轴平行,相交一个交点,计 算 判 别 式,0,=0,0,分析:,直线与抛物线没有公共点时0,注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进展讨论,作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形,变式一:抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少?,分析:此题与例1类型相似,方法一样,通过联立方程组求得.,(1)b=1 (2)b1,变式二:已知实数x、y满足方程y,2,=4x,求函数,的最值,变式三:点(x,y)在抛物线y,2,=4x上运动,求函数z=x-y的最值.,此题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时斜率的最值问题.,此题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值问题.,无最大值,x,y,B,A,F,O,解：因为直线AB过定点F且不与x轴平,行,设直线AB的方程为,x,y,B,A,F,O,x,y,B,A,F,O,x,y,B,A,F,O,谢谢观赏,