二次函数的图象与性质

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,二次函数的图象与性质,我们已经学习过用描点法画一次函数、反比例函数的图象，如何画一个二次函数,的图象呢？,探究,列表,：由于自变量,x,可以取任意实数，因此让,x,取,0,和一些,互为相反数的数,，并且算出相应,的函数值，列成下表：,x,-,3,-,2,-,1,0,1,2,3,9,4,1,0,1,4,9,描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，,相应的函数值为纵坐标，描出相应的点. 如,以以下图所示.,A,A,B,B,A,A,B,B,观察左图，点,A,和点,A,，点,B,和,点,B,，,，它们有什么关系？取更,多的点试试，你能得出函数,y= x,2,的,图象关于,y,轴对称吗？,观察左图，,y,轴右边描出的各点，,当横坐标增大时，纵坐标有什么变化？,y,轴右边的所有点都具有纵坐标随着横,坐标的增大而增大的特点吗？,可以证明y= x2的图象关于y轴对称；图象在y轴右边的局部，函数值随自变量取值的增大而增大，简称为“右升.,A,A,B,B,连线,：根据上述分析，我们可以用一条光滑曲线把原点,和,y,轴右边各点顺次连接起来；然后利用对称性，,画出图象在,y,轴左边的部分,(,把,y,轴左边的点和原点,用一条光滑曲线顺次连接起来,),，这样就得到了,的图象,.,如,上,图,所示,.,观察,下,图,，,函数,的图象,除了上面已经知道的关于,y,轴对称和,“,右升,”,外,，还有哪些性质？,观察,图象在对称轴左边的局部，函数值随自变量取,值的增大而减小， 简称为“左降；,当,x,=0,时，函数值最,小，最小值为,0.,从下图中可以看出，二次函数 的图象是,一条曲线，它的开口向上，对称轴与图象的交点是,原点,（,0,，,0,）,；,一般,地，当,a,0,时，,y,=,ax,2,的图象,都,具有上述性质,.,于是我们在画y=ax2(a0)的图象时，可以,先画出图象在y轴右边的局部，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的局部.,在画右边局部时，只需“列表、描点、连线三个步骤.,x,0,1,2,3,0,0.5,2,4.5,例,1,举,例,画二次函数 的图象,.,因为二次函数,的图象关于,y,轴对称，,因此列表时，自变量,x,可以从原点的横坐标,0开始取值.,解,列表：,描点和连线：画出图象在y轴右边的局部.如以以下图所示：,利用对称性，画出图象在,y,轴左边的对称点，,并用一条光滑曲线把,y,轴左边的点和原点顺次连,接起来，这样就得到了 的图象,.,如,下,图,所示：,1.,二次函数,y,=6,x,2,的性质有：,练习,1图象的对称轴是 ，对称轴与图象的交点是 ；,2图象的开口向 ；,3图象在对称轴左边的局部，函数值随自变量取值的增大,而 ；在对称轴右边的局部，函数值随自变量取值,的增大而 .,上,增大,减小,y,轴,0，0,2.,在同一直角坐标系中画出二次函数,y,=3,x,2,及 的图象，并比较它们,有什么共,同点和不同点？,y,=3,x,2,答：,通过比较以上图象可得出其一样点为：开口均向上；对称轴均为y轴；对称轴与图象的交点都是0，0；,图象均是“左降“右升；当x=0时，函数值最小，为0.,y,=3,x,2,探究,我们已经画出了,的图象，能不能从它,得出二次函数,的图象呢？,在,的图象上任取一点,，它关于,x,轴的对称点,Q,的坐标是,，如,下,图,所示：,从点,Q,的坐标看出，点,Q,在,的图象上,.,Q,由此可知，,的图象与,的图象关于,x,轴对称，因此只要把,的图象沿着,x,轴翻折并将图象,“,复印,”,下来，就得到,的图象,.,如下图中的绿色曲线：,Q,对称轴是,，,对称轴与图象的交点是,；,图象的开口向,，,y,轴,O,(,0,，,0,),下,观察下图,，,函数,的图像具有哪些性质？,从图中可以看出，二次函数,的图象是一条曲线，,观察,图象在对称轴右边的局部，函数值随自变量取值的增大而 ，简称为 ；,图象在对称轴左边的局部，函数值随自变量取值的增大而 ，简称为 ；,当,x,=,时，函数值最,，,减小,右降,增大,左升,0,大,0,最 值为,大,当,a,0,时，,y,=,ax,2,的图象,都,具有上述性质,.,于是今后画y=ax2(a0)的图象时，可以直接先画出图象在y轴右边的局部，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的局部.,在画右边局部时，只要“列表、描点、连线三个步骤就可以了.,举,例,解,列表：,例,2,画二次函数,的图象,.,x,0,1,2,3,4,0,-,1,-,4,描点和连线：画出图象在y轴右边的局部.,利用对称性画出y轴左边的局部.,这样我们得到了,的图象,.,说一说,如以以下图所示，在棒球赛场上，棒球在空中沿着一条曲线运动，它与二次函数y=ax2(a0)的图象相像吗？,以棒球在空中经过的道路的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正方向程度向右，y轴的正方向竖直向上，那么可以看出棒球在空中经过的道路是形如y=ax2(a0)的图象的一段. 由此受到启发，我们,把二次函数y=ax2的图象这样的曲线叫作抛物线，简称为抛物线 y=ax2.,一般地，二次函数,y,=,ax,2,的图象关于,y,轴对称,.,抛物线与它的对称轴的交点,(,0,，,0,),叫做抛物线的,顶点,.,3抛物线在对称轴左边的局部，函数值随自变量取值的增大,而 ；在对称轴右边的局部，函数值随自变量取值,的增大而 .,1.,画出二次函数,y,=,-,10,x,2,的,图象并填空,：,1抛物线的对称轴是 ，顶点是 ；,2抛物线的开口向 ；,y,轴,原点,O,(,0,，,0,),下,减小,增大,练习,2.,在同一直角坐标系中，分别画出函数,y,=,-,x,2,与,y,=,-,8,x,2,的图象,，,并分别说出它们的共同点和不同点,.,解：,共同点,：均开口向下；对称轴均为,y,轴；对称轴与图象的交点是,(,0,，,0,),；图象均是“左升”,“右降”；当,x=,0,时，函数值最大，为,0,；,不同点,：,y,=,-,8,x,2,的图象,开口比,y,=,-,0.3,x,2,的图象,开口小,.,探究,把二次函数 的图象,E,向右平移,1,个单位，得到图形,F,，如下图所示：,由于平移不改变图形的形状和大小，因此,图象,E,在向,右,平移,1,个单位后：,原 像,像,抛物线,E,：,图象,F,也是抛物线,E,的顶点,O,(,0,，,0,),点,O,(,1,，,0,),是,F,的顶点,E,有对称轴,l,(,与,y,轴,重合,),直线,l,(,过点,O,与,y,轴平行,),是,F,的对称轴,E,开口向上,F,也开口向上,抛物线,F,是哪个函数的图象呢？,在抛物线,上任取一点,，它在向,右平,移,1,个单位后，,点,P,的,像,点,Q,的坐标是什么？,把点,P,的横坐标,a,加上,1,，,纵坐标 不变，就得到像,点,Q,的坐标为,记b=a+1，那么a=b-1.,从而点,Q,的坐标为,，这表明：点,Q,在函数,的图象上,.,由此得出，抛物线,F,是函数,的图象,.,从上面的过程可以说明,：函数,的图,象是抛物线,F,，,它的开口向上，,它的顶点是,，它的对称轴是过点,且平行于,y,轴的直线,l,.,直线,l,是由横坐标为,1,的所有点组成的，我们把直线,l,记做直线,x,=1.,结论,二次,函数,y,=,a,(,x,-,h,),2,的图象是抛物线，,它的对称轴是直线,x,=,h,，它的顶点坐标是,(,h,，,0,),.,当,a,0,时，抛物线的开口向上；,当,a,0,时,，,开口向下,.,类似地， 我们可以证明下述结论：,由于我们已经知道了二次函数y=a(x-h)2的,图象的性质，因此今后在画y=a(x-h)2的图象时，,只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的局部，然后利用对称性，画出左边的局部.,在画图象的右边局部时，只需要“列表，,描点，连线三个步骤就可以了.,举,例,解,抛物线,y,=,(,x,-,2,),2,的对称轴是直线,x,=2,，,顶点坐标是,(,2,，,0,),.,x,2,3,4,5,y,=,(,x,-,2,),2,0,1,4,9,例,3,画函数,y,=,(,x,-,2,),2,的图象,.,列表：自变量x从顶点的横坐标2开场取值.,描点和连线：画出图象在对称轴右边的局部.,利用对称性画出图象在对称轴左边的局部:,这样我们得到了函数y=(x-2)2 的图象.如以以下图所示：,y,=,(,x,-,2,),2,1. 写出以下二次函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.,（,1,）,练习,答：,对称轴是,直线,x,= 5,，顶点是,(,5,，,0,),，开口向上,.,2y=-3(x+2)2,答：,对称轴是,直线,x,=,-,2,，顶点是,(,-,2,，,0,),，开口向下,.,2.,分别,画,出,二次函数,y,=,-,(,x,-,1,),2,，,的图象,.,解,探究,如何画二次函数,的图象？,我们来探究二次函数,与,之间的关系,.,二次函数,图象上的点,横坐标,x,纵坐标,y,a,a,从上表看出：对于每一个给定的,x,值，函数,的值都要比函数,的值大3，由此可见函数,的图象可由二次函数,的图象向上平移3个单位而得到（如,下,图）,.,因此，二次函数,的图象也是抛,物线，它的对称轴为直线,x,=1,(,与抛物线,的对称轴一样,),，顶点坐标为,(,1,，,3,)(,它是由抛物,线,的顶点,(,1,，,0,),向,上,平移,3,个单位得到,),，,它的开口向上,.,结论,一般地，二次函数,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,的图象是抛物线，,它具有下述性质：,抛物线,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,对称轴,顶点,坐标,开口,方向,图象上的点,在对称轴,的左边,在对称轴,的右边,a,0,x,=,h,(,h,，,k,),向上,y,随,x,的增大而减小,y,随,x,的增大而增大,a,0,x,=,h,(,h,，,k,),向下,y,随,x,的增大而增大,y,随,x,的增大而减小,由于我们已经知道了函数,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,的图象的性质，因此画,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,的图象的步骤如下：,第一步,写出对称轴和顶点坐标，并且在平,面直角坐标系内画出对称轴，描出,顶点；,第二步 列表(自变量x从顶点的横坐标开场取值)，,描点和连线，画出图象在对称轴右边的部,分；,第三步,利用对称性，画出图象在对称轴左边的部,分,(,这只要先把对称轴左边的对应点描出,来，然后用一条光滑曲线顺次连接它们和,顶点,).,举,例,解,对称轴是直线,x,=,-,1,，顶点坐标为,(,-,1,，,-,3,),.,x,-,1,0,1,2,3,-,3,-,2.5,-,1,1.5,5,列表：自变量x从顶点的横坐标-1开场取值.,例,4,画二次函数,的图象,.,描点和连线：画出图象在对称轴右边的局部.,利用对称性，画出图象在对称轴左边的局部.,这样我们得到了函数,的图象,.,举,例,例,5,已知某抛物线的顶点坐标为,（,-,2，1,）,，且与,y,轴,相交于点,（,0,，,4,）,，求这个抛物线所表示的二次,函数的表达式.,已知某抛物线的顶点坐标为,（,-,2，1,）,，且与,y,轴,相交于点,（,0,，,4,）,，求这个抛物线所表示的二次,函数的表达式.,由函数图象过点0，4， 可得 4=a(0+2)2 + 1，,解,由于点（,-2,，,1,）是该抛物线的顶点，可设这个,抛物线所表示的二次函数的表达式为,y,=,a,(,x,+,2,),2,+1,.,因此，所求的二次函数的表达式为,解得,1. 说出以下二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：,答：对称轴为直线,x,=9,，顶点,(,9,，,7,),，开口向上,.,答：对称轴为直线,x,=,-,18,，顶点,(,-,18,，,-,13,),，开口向下,.,练习,2.,画二次函数,的图象,.,解：,3. 某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过,点(-1，0)，求这个抛物线所表示的二次函数,的表达式.,由函数图象过点,(,-,1,，,0,),，,可得,0=,a,(,-,1,+,3,),2,+2,，,解,:,由于点,(,-,3,，,2,),是该抛物线的顶点，可设这个,抛物线所表示的二次函数的表达式为,y,=,a,(,x,+,3,),2,+,2.,解得,因此，所求的二次函数的表达式为,如何画二次函数,y,=,-,2,x,2,+6,x,-,1,的图象？,动脑筋,我们已经会画,y,=,a,(,x,-,h,),2,+,k,的,图象,.,因此只需,把,-,2,x,2,+6,x,-,1,配方成,-,2,(,x-h,),2,+,k,的形式就可以了,.,配方：,对称轴是直线,，,顶点坐标是,.,x,2,3,3,-,1,列表：,自变量,x,从顶点的横坐标,开始取值,.,描点和连线：画出图象在对称轴右边的局部.,利用对称性，画出图象在对称轴左边的局部.,这样就得到了函数,y,=,-,2,x,2,+6,x,-,1,的图象,.,观察以以下图，当x等于多少时，函数y=-2x2+6x-1的值最大？这个最大值是多少？,说一说,当,x,等于顶点的横坐标 时，函数值,最大；这个最大值等于顶点的纵坐标,.,一般地，有下述结论：,二次函数y=ax2+bx+c，当x等于顶点的横坐标时，到达最大值(当a0)或最小值 (当a0)，这个最大,(小)值等于顶点的纵坐标.,举,例,解,配方：,例,6,求,二次,函数,的最大值,.,顶点坐标是(2，1)，于是当x=2时，y到达最大值1.,一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c进展配方，,顶点坐标是,因此，当,时，函数达到最大值,(,当,a,0,),或最小值,(,当,a,0,),：,练习,1.写出以下二次函数图象的对称轴、顶点坐标和,开口方向，并画出它们的图象.,1 y=3x2-6x+1；,答：,对称轴,为直线,x,=1,，顶点,(,1,，,-,2,),，,开口方向向上,.,原函数可化为,y,= 3,(,x,-1,),2,-2.,答：原函数可化为,对称轴,为直线,x,=2,，顶点,(,2,，,0,),，,开口方向向下,.,（,2,）,2. 求以下二次函数的图象的顶点坐标：,1 y=x2-3x+2；,答：,的图象,顶点为,.,（,2,）,答：,(,-,3,，,4,),.,的图象,顶点为,3.,用配方法求,第,2,题中各个二次函数的最大值或最小值,.,1 y=x2-3x+2；,答：原函数配方得,当 时，,y,最小,=,（,2,）,答：原函数配方得,当,x,=,-,3,时，,y,最大,=4.,中考 试题,例,1,把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，那么平移后抛物线的解析式为 ,A. y=-(x-1)2-3 B. y=-(x+1)2-3,C. y=-(x-1)2+3 D. y=-(x+1)2+3,D,解析,抛物线,y,=,-,x,2,的顶点,(,0,，,0,),先向左平移,1,个单位，再向上平移,3,个单位得到,(,-,1,，,3,),，该点为所求抛物线的顶点，故选,D,.,中考 试题,例,2,抛物线y=x2-3x+2与y轴交点的坐标是 ,A. (0，2) B. (1，0),C. (0，-3) D. (0，0),A,解析,当,x,=0,时，,y,=2,，所以抛物线与,y,轴的交点坐标是,(,0,，,2,),，故选,A,.,中考 试题,例,3,把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为 ,A. y=2x2+5 B. y=2x2-5,C. y=2(x+5)2 D. y=2(x-5)2,A,解析,y,=2,x,2,向上平移,5,个单位后解析式为,y,=2,x,2,+5,，故选,A,.,结 束,