模糊数学聚类分析

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 模糊聚类分析,一、模糊关系,什么是关系,同学集合,X=,张三，李四，王五,外语选修课程集合,Y=,英，法，德，日,R=(,张三,英,),(,张三,法,),(,李四,德,),(,王五,日,),(,王五,英,),关系,定义,1,：集合,A,B,的直积,AB=(,a,b)|aA,bB,的一个,子集,R,称为,A,到,B,的一个二元关系，简称关系。,可见，关系也是个集合。,关系,example1,设,X,为横轴，,Y,为纵轴，直积,X,Y,是整个平面，其上的普通关系,xy,：,Y,X,Y=X,R:XY,0,模糊关系,定义：以集合,A,B,的直积,AB,为论域，其上的一个模糊子集,R,称为,A,B,的一个模糊关系。若,A=B,，则称为“,A,上的模糊关系,R”,，,模糊关系,example1,其上的模糊关系,R=“x,远远,大于,y”,，怎么表示？,当,x=1000,y=100,时，,R(x,y,)=0.999,当,x=20,y=10,时，,R(x,y,)=0.5,当,x=20,y=18,时，,R(x,y,)=0.0358,R(x,y,),X,1,0,y,模糊关系,example2,例：设身高论域,U=,140,，,150,，,160,，,170,，,180,，体重论域,V=,40,，,50,，,60,，,70,，,80,，则身高与体重之间的模糊关系：,U,V,140,150,160,170,180,40,1,0.8,0.2,0.1,0,50,0.8,01,0.8,0.2,0.1,60,0.2,0.8,1,0.8,0.2,70,0.1,0.2,0.8,1,0.8,80,0,0.1,0.2,0.8,1,模糊关系的运算,模糊关系就是模糊子集，只不过其论域是直积,AB,罢了,模糊关系的运算法则完全服从模糊集合的运算法则,模糊关系的运算,设,R,S,都是,XY,上的模糊关系，则,1),2),模糊关系的运算,3),4),模糊关系的运算,5),模糊矩阵的概念,模糊关系的表示模糊矩阵,经典有限集合上的关系，可以使用矩阵来表示。,若论域,XY,是,有限集,，模糊关系可以表示为模糊矩阵。,模糊矩阵元素表示关系的隶属值。,若论域,XY,是,连续或无限的,，则该论域上的,(,模糊,),关系不能用,(,模糊,),矩阵来表示。,模糊矩阵的定义,如果对于任意,i=1,2,m,j=1,2,n,都有,r,ij,0,1,则称矩阵,R=(,r,ij,),mn,为模糊矩阵。若,r,ij,0,1,则模糊矩阵变成,Boole,矩阵。,模糊矩阵可以表示模糊关系，对于“,A,上的模糊关系”用模糊方阵来表示。,模糊矩阵,Example,设有四种物品，苹果、乒乓球、书、花组成的论域,U,，分别用,x,1,x,2,，,x,n,表示，它们的相似程度可以用模糊关系,R,来表示：,模糊关系与模糊矩阵,如果给定,X,上的模糊关系,I,满足,则称,I,为,X,的“恒等关系”，表示恒等关系,I,的矩阵为单位矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,若给定,XY,上的模糊关系,O,，满足,则称,O,为,XY,的“零关系”，,表示零关系,O,的矩阵为零矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,如果给定,XY,上的模糊关系,E,满足,称,E,为,XY,的“全称关系”，表示全称关系,E,的矩阵为全称矩阵。,模糊关系与模糊矩阵,如果给定,XY,上的模糊关系,R,，定义,称,R,T,为,R,的“倒置关系”,表示模糊关系,R,T,的矩阵为,R,矩阵的转置矩阵。,模糊矩阵的运算及性质,模糊矩阵的关系,设,A,、,B,为模糊矩阵，记,A=(,a,ij,),B=(,b,ij,),，,i=1,2,m,j,=1,2,n,则,(1),相等：,A=B ,对任意,i,j,有,a,ij,=,b,ij,(2),包含：,AB ,对任意,i,j,有,a,ij,b,ij,模糊矩阵的运算,设,A,、,B,为模糊矩阵，记,A=(,a,ij,),B,=(,b,ij,),，,i=1,2,m,j=1,2,n,则,(1),并：,AB (,a,ij,b,ij,),mn,(2),交,:AB (,a,ij,b,ij,),mn,(3),余,:A,c,(1-a,ij,),mn,模糊矩阵的运算,求,模糊矩阵的运算性质,（,1,）幂等律：,AA,A,AA=A;,（,2,）交换律：,AB=BA,AB=BA;,（,3,）结合律：,(AB)C=A(B C),(AB)C=A(BC);,（,4,）吸收律：,A(AB)=A,A(AB)=A;,（,5,）分配律,:,(AB)C=(AC)(BC),(AB)C=(AC)(BC);,模糊矩阵的运算性质,（,6,）,0-1,律：,AO,A,AO,O;,EA=E,EA=A;,（,7,）还原律：,(,A,c,),c,=A;,（,8,）对偶律：,(,AB),c,=,A,c,B,c,(,AB),c,=,A,c,B,c,.,排中律不成立！,A,c,A,E,AA,c,O,注意,模糊矩阵的包含性质,模糊关系的合成,模糊关系的合成,设有三个论域,X,、,Y,、,Z,，,R,1,是,X,到,Y,上的模糊关系，,R,2,是,Y,到,Z,上的模糊关系，则,R,1,与,R,2,的合成,R,1,。,R,2,是,X,到,Z,的一个模糊关系，其隶属函数为,模糊关系的合成,当论域为有限时，模糊关系的合成转化为模糊矩阵的合成，合成运算相当于矩阵的合成运算。,模糊矩阵的合成运算,不满足交换律。,例：设,求,模糊方阵,模糊方阵的幂：,合成运算的性质,性质,1,（结合律）：,性质,2,：,性质,3,（分配律）可以推广到多个：,性质,4,（,0,1,律）：,合成运算的性质,合成运算的交运算的分配律不成立,注意,合成运算的性质,性质,5,：,性质,6,：,模糊矩阵的转置,与线性代数中，模糊矩阵的转置相同。,性质,1,：,性质,2,：,性质,3,：,性质,4,：,性质,5,：,模糊矩阵的,截矩阵,模糊矩阵的,截矩阵,模糊集合,-,截集,模糊矩阵,-,截矩阵,定义：设给定模糊矩阵,R=(,r,ij,),，对任意,0,1,，称,R,=(,r,ij,(),),为,R,的,截矩阵，其中,模糊矩阵的,截矩阵,求模糊矩阵,R,在,=0.5,时的,截矩阵,