二重积分习题

*,习 题 课,二 重 积 分,知识要点,解题技巧,典型例题,1,其中,一、二重积分的概念与性质,是各小闭区域的直径中的最大值,.,几何意义,二重积分,I,表示以,D,为底,柱体的体积,.,z,=,f,(,x,y,),为曲顶,侧面是,（一）二重积分的定义,几何意义与物理意义,定义,1.,平面上有界闭区域,D,上二元有界函数,z,=,f,(,x,y,),的二重积分,2.,当连续函数,以,D,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面的,曲顶,一般情形,知识要点,2,物理意义,3.,xOy,平面上方的曲顶柱体体积,减,xOy,平面下方的曲顶柱体体积,.,若平面薄片占有平面内有界闭区域,D,则它的质量,M,为,:,它的面,密度为连续函数,3,性质,1(,线性运算性质,),为常数,则,(,重积分与定积分有类似的性质,),性质,2,将区域,D,分为两个子域,对积分区域的可加性质,.,（二）二重积分的性质,4,以,1,为高的,性质,3(,几何应用,),若 为,D,的面积,注,既可看成是以,D,为底,柱体体积,.,又可看成是,D,的面积,.,特殊地,性质,4(,比较性质,),则,(,保序性,),5,几何意义,以,m,为高和以,M,为高的,性质,5(,估值性质,),为,D,的面积,则,则曲顶,柱体的体积介于以,D,为底,两个平顶柱体体积之间,.,6,性质,6(,二重积分中值定理,),体体积等于以,D,为底,几何意义,域,D,上连续,为,D,的面积,则在,D,上至少存在一点,使得,则曲顶柱,为高的平顶柱体体积,.,设,f,(,x,y,),在闭区,7,(1),设,f,(,x,y,),在有界闭区域,D,上连续,.,若,D,关于,则,x,轴对称,f,(,x,y,),对,y,为奇函数,即,f,(,x,y,),对,y,为偶函数,即,则,其中,（三）对称区域上奇偶函数的积分性质,8,(2),设,f,(,x,y,),在有界闭区域,D,上连续,.,若,D,关于,则,y,轴对称,f,(,x,y,),对,x,为奇函数,即,f,(,x,y,),对,x,为偶函数,即,则,其中,9,(3),设,f,(,x,y,),在有界闭区域,D,上连续,.,(4),若将,D,分成两部分,10,其中函数,在区间,a,b,上连续,.,二、在直角坐标系中化二重积分为,累次积分,(1),设,f,(,x,y,),在平面有界闭区域,D,上连续,.,先对,y,后对,x,的二次积分,11,其中函数,在区间,c,d,上连续,.,(2),设,f,(,x,y,),在平面有界闭区域,D,上连续,.,先对,x,后对,y,的二次积分,.,12,极坐标系中的面积元素,三、在极坐标系中化二重积分为,累次积分,(1),设,f,(,x,y,),在平面有界平面闭区域,D,上连续,.,其中函数,13,(2),设,f,(,x,y,),在平面有界平面闭区域,D,上连续,.,其中函数,14,极坐标系,下区域的,面积,(3),设,f,(,x,y,),在平面有界平面闭区域,D,上连续,.,其中函数,15,再确定,交换积分次,1.,交换积分次序,:,先依给定的积分次序写出积分域,D,的,不等式,并画,D,的草图;,序后的积分限,;,2.,如被积函数为,圆环域时,或积分域为,圆域、扇形域、,则用极坐标计算,;,解题技巧,16,3.,注意利用对称性质,数中的绝对值符号,.,以便简化计算,;,4.,被积函数中含有绝对值符号时,应,将积分域分割成几个子域,使被积函数在,每个子域中保持同一符号,以消除被积函,17,解,例,计算积分,交换积分次序,.,原式,=,典型例题,1.,交换积分次序,18,计算,解,积分域是圆,故,关于,x,、,y,轴、,故,将被积函数分项积分,:,而,极坐标,又,所以,原式,=,对称,例,直线,2.,利用对称性,19,证,所围立体的体积等于,是连续,的正值函数,所求立体在,xOy,面上的投影区域为,有,:,例,证明,:,20,解,原式,=,用极坐标,.,对称性,积分区域关于,x,轴对称,例,3.,坐标系的选择,21,若函数,f,(,x,y,),在矩形区域,D,:,解,上连续,且,求,f,(,x,y,).,设,两边积分,得,例,22,计算二重积分,D,2,极坐标,例,将,D,分成,D,1,与,D,2,两部分,.,D,1,其中,解,由于,直角坐标,3.,被积函数带绝对值、最大,(,小,),值符号的积分,23,其中,因此,24,其中,选择适当的坐标计算,:,解,原式,=,例,25,其中,选择适当的坐标计算,:,解,原式,=,例,26,例,分析,由被积函数的表达式及积分区域的情况,的公共部分的,面积,.,解,无公共部分,27,例,无公共部分,综上所述,28,解,例,交换二次积分的次序,并把它化为极坐标系下的,二次积分,.,这是无界区域上的二重积分,.,在极坐标下,D,的边界线,故,29,某城市受地理限制呈直角三角形分布,解,试计算该市总的税收收入,.,这是一个二重积分的应用问题,临一条河,.,斜边,和,12km,由于交通关系,城市发展不太平衡,这一点,可从税收状况反映出来,.,若以两直角边为坐标轴建立,直角坐标系,则位于,x,轴和,y,轴上的城市长度各为,16km,且税收情况与地理位置的关系大体为,其中积分区,域,D,围成,.,于是所求总税收收入为,(,万元,).,例,由,x,轴、,y,轴及直线,30,解,其中,先将累次积分表成二重积分,则有,例,于是,31,