勒让德多项式及球函数

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,电子科技大学物理电子学院,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,电子科技大学物理电子学院,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,勒让德多项式及球函数,第十九章 勒让德多项式 球函数,19.1 勒让德方程及其解的表示,19.1.1 勒让德方程 勒让德多项式,在别离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程,19.1.1,在球坐标系下别离变量后得到欧拉型常微分方程,和,球谐函数方程,19.2,(19.1.2)式的解,与半径,无关，故称为,球谐函数,，或简称为,球函数,球谐函数方程进一步别离变量，令,得到关于,的常微分方程,19.1.3,称为,阶,连带勒让德方程.,令,和,把自变数从,换为,，那么方程19.1.3可以化为以下,阶,连,带勒让德方程,形式的,19.1.4,假设所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与,无关，那么,，即有,19.1.5,称为,阶勒让德legendre方程,同样假设记,，,，那么上述方程也可写为以下形式的,阶勒让德方程,(19.1.6),1912 勒让德多项式的表示,1. 勒让德多项式的级数表示,我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解,为,19.1.7,式中,上式具有多项式的形式，故称,为,阶,勒让德多项式,勒让德多项式也称为,第一类勒让德函数,式19.1.7即为勒让德多项式的级数表示,注意到,故可方便地得出前几个勒让德多项式,:,勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真),得到,计算,，这应当等于多项式,的常数项,如,为,即为奇数时，,那么,只含奇,数次幂，不含常数项，所以,19.8,即为偶数时，,那么,含有常数项，即,19.7中,的那一项，所以,19.9,式中记号,而,因此,，,2,勒让德多项式的微分表示,19.1.10,上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯Rodrigues表示式,下面证明表达式(19.1.10)和19.1.7是一样的,【,证明,】,用二项式定理把,展开,把上式对,x,求导,次但凡幂次,的项在,次求导过程中成为零，所以只需保存幂次,的项，即,的项，应取,，并且注意到,因此有,根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有,容易证明微分表示19.1.10也可表示为环路积分形式,19.1.11,为,平面上围绕,并取正方向这叫作,勒让德多项式的,施列夫利积分表示式,点的任一闭合回路，,式19.1.11还可以进一步表为下述拉普拉斯积分,(19.1.12),【,证明,】,取,为圆周，圆心在,，,半径为,在,上有：,并注意到,代入19.1.12得到,这即为,勒让德多项式的拉普拉斯积分表示,从该积分还很容易看出,19.1.13,利用拉普拉斯积分表示19.1.12，还可以证明,，,19.1.14,【,证明,】,回到原来的变量,，,，那么,如从,19.2 勒让德多项式的性质,19.2.1 勒让德多项式的性质,1. 勒让德多项式的零点,对于勒让德多项式的零点，有如下结论：,i,的,个零点都是实的，且在,内；,ii,的零点与,的零点互相别离,2. 奇偶性,根据勒让德多项式的定义式，作代换,容易得到,19.2.1,即当,为偶数时，勒让德多项式,为偶函数，,为奇数时,为奇函数,不同阶的勒让德多项式在区间,上满足,(19.2.2),其中,当,时满足,，,(19.2.3),称为正交性 相等时可求出其模,(19.2.4),下面给出公式19.2.2，及其模(19.2.4)的证明,【证明】 1正交性,勒让德多项式必然满足勒让德方程，故有,两式相减，并在-1,1 区间上对,x,积分，得,因为上面等式左边的积分值为,所以当,时，必然有,根据,成立,2模 利用分部积分法证明,为了分部积分的方便，把上式的,用微分表示给出，那么有,注意到,以,为,级零点，,故其,阶导数,必然以,为一级零点，从而上式已积出局部的值为零,再进展,次分部积分，即得,是,次多项式，其,阶导数也就是最高幂项,的,阶导数为,故,再对上式分部积分一次,容易看出已积出局部以,为零点,至此，分部积分的结果是使,的幂次降低一次，,的幂次升高一次，,且积分乘上一个相应的常数因子,继续分部积分计,次，即得,故勒让德多项式的模为,且有,4. 广义傅里叶级数,在区间 -1,1上的任一连续函数,可展开为勒让德多项式的级数,19.2.5,其中系数,(19.2.6),在实际应用中,经常要作代换,此时勒让德方程的解为,，这时有,(19.2.7),其中系数为,19.2.8,19.2.2.勒让德多项式的应用广义傅氏级数展开,将,函数,按勒让德多项式形式展开.,【解】 根据 19.2.5设,考虑到,，,由(19.2.6)显然有,所以,将函数,展开为勒让德多项式,形式,【解】 用直接展开法,令,，那么由,我们知道：,可设,考虑到勒让德函数的奇偶性，显然,由,项的系数，显然得出,故有,下面我们给出一般性结论：,结论1：设,为正整数，可以证明：,结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，假设需展开的函数,为奇函数，,那么展开式19.2.5系数,假设需展开的函数,为偶函数，那么展开式19.2.5系数,以勒让德多项式为基，在-1,1区间上把,展开为广义傅里叶级数,【,解,】,本例不必应用一般公式 ，事实上，,是三次多项式注意,既非奇函数，也非偶函数，,设它表示为,比较同次幂即得到,由此得到,(,p354-355),19.3 勒让德多项式的生成函数母函数,如图19.2所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为,的正电荷，那么在球内任一点,其球坐标记作,的静电势为,19.3.1,静电势,遵从拉普拉斯方程，且以球坐标系的极轴为对称轴，,因此，,应具有轴对称情况下拉普拉斯方程一般解(19.2.14)的形式，,即,19.3.2,首先不妨研究单位球内的静电势分布在球心,，电势应该是有限的，故必须取,19.3.3,为确定系数,，在上式中令,，并注意到,那么得到,19.3.4,将上式左边在,的邻领域上展为,泰勒级数,19.3.5,比较19.3.4和19.3.5即知,于是19.3.3成为,(19.3.6),假设考虑单位球内、球外的静电势分布，那么有,19.3.7,于19.3.6中代入,，即为,19.3.8,因此,或,叫作勒让德多项式的生成函数或母函数,19.3.2 勒让德多项式的递推公式,根据勒让德多项式的母函数可以导出勒让德多项式的递推公式,先把19.3.6写成,19.3.9,对,求导,对上式两边同乘以,，得,19.3.10,相反，假设对19.3.8两边对,求导,上式两边同乘以,，得,将19.3.8式代入上式左边得到,比较上式两边,项的系数，得另一含导数的,递推公式,将19.3.9代入上式左边,对上式，比较两边的,项的系数，得,即,19.3.11,上式即为,勒让德多项式的一个递推公式,求,【解】,求积分,【解】利用递推公式19.3.11,故有,19.4 连带勒让德函数,19. 5 球函数,1. 球函数方程,根据别离变量法，在球坐标系中将以下亥姆霍兹方程,实施别离变量,(19.5.1),式中,令,，,那么得到由亥姆霍兹方程实施别离变量,所满足的方程,(19.5.2),与拉普拉斯方程别离变量导出的方程欧拉方程19.1.1,(19.5.3),已经有所区别关于(19.5.3)的解在贝塞尔函数局部讨论,而角度局部的解,，满足以下方程,(19.5.4),上式由亥姆霍兹方程实施别离变量所得的方程19.5.4与拉普拉斯方程导出的19.1.2球函数方程具有一样的形式，仍为球函数或球谐函数,球函数方程19.5.4再别离变量，令,得到两组本征值问题,i,19.5.5,本征值为,本征函数为,(ii),(19.5.6),本征值,本征函数,在,区域中求解,，,得到与本征值,相应的本征函数,实际上应由以下两个本征函数之积组成，即为,19.5.7,其中,是变量,相应于本征值,的本征函数；,是变量,相应于本征值,对于确定的,的本征函数,2. 球函数表达式,1复数形式的球函数表达式,为了使得(19.5.7)所表示的函数系构成正交归一系，,必须添加适当常系数，于是定义,(19.5.8),为球谐函数的本征函数相应于本征值,，并称它为球函数球谐函数表达式,上式19.5.8也是复数形式的球函数其中归一化系数,的值后面会给出,线性独立的,阶球函数共有,个,因为对应于,，有一个球函数,；,对应于,那么各有两个球函数即,和,根据,欧拉公式,，,将,复数形式的球函数统一,表示为,19.5.9,在19.5.9之中，独立的,阶球函数仍然是,个,19.5.2 球函数的正交关系和模的公式,1 球函数的正交性,根据,的正交性质,当,时，,根据,的正交性,当,时，,可以得到,的正交性，即当,或,时有,即,19.5.11,例19.5.1 在半径为,球外,求解定解问题,【解】在球坐标系下，定解问题即为,【,解,】,令,代入19.5.22，通过变量别离得到拉普拉斯方程,19.5.22的一系列特解,其中,都是任意常数,通解为,再代入定解条件,19.5.26,利用三角函数和连带勒让德多项式的正交性和归一性，,即可算出19.5.25中的待定系数,谢谢观赏,