计算机数学12

,第十二章 随机事件与概率,后页,首页,前页,第十二章随机事件与概率,后页,首页,前页,根本要求、重点难点,12.1,随机事件及其概率,12.2,古 典 概 型,12.3,事件的运算及概率的加法公式,12.4,条件概率、乘法公式与事件的独立性,12.5,全概公式与逆概公式,12.6,独立试验序列概型,根本要求,掌握数值计算方法。,了解函数插值法及数值积分。,掌握方程,f,(,x,),0,的数值解法及常微分方程的数值解法。,重点难点,重点：,无穷个数的问题,级数。,级数在各种领域的应用及幂级数。,难点：,方程,f,(,x,),0,的数值解法及常微分方程的数值解法。,12.1,随机事件及其概率,粗略地说，在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件(更确切的表达见后面的定义)。 例12.1.1 投掷一枚硬币，“正面朝上这个事件(记作A)是一个随机事件，“正面朝下(记为B)也是一个随机事件(通常有国徽的一面称为正面)。 例12.1.2 投掷两枚硬币，那么,A=“两个都是正面朝上， B=“两个都是正面朝下， C=“一个正面朝上，一个正面朝下。,都是随机事件，且不难看出,D=“至少有一个正面朝上也是随机事件。,例12.1.3 从十个同类产品(其中8个正品，2个次品)中，任意抽取三个。那么，,A=“三个都是次品，B=“至少一个是正品。,均为随机事件，而“,三个都是次品,”和“,至少有一个是正品,”这两个随机事件中，前者是不可能发生的，后者是必定要发生的。我们称不可能发生的事件为不可能事件，记作,；称必定要发生的事件为必然事件，记作,U,。为讨论问题方便起见，将不可能事件,和必然事件,U,也当作随机事件。,当条件组,S,大量重复实现时，事件,A,发生的次数,(,也称为频数,),能够体现出一定的规律性，约占总试验次数的一半。这也可以写成,定义12.1(概率的统计定义 在不变的一组条件下，重复作n次试验。记是n次试验中事件A发生的次数。当试验的次数n很大时，如果频率/n稳定地在某一数值p的附近摆动；而且一般说来，随着试验次数的增多，这种摆动的幅度越变越小，那么称A为随机事件，并称数值p为随机事件A在条件组S下发生的概率，记作P(A) p。,上述定义也可以简单地说成：,频率具有稳定性的事件叫做随机事件，频率的稳定值叫做该随机事件的概率。,我们强调指出，人类的大量实践证明，在实际中遇到的事件，一般都是随机事件，也就是说都是有确定的概率的。以后我们常简称随机事件为事件。由于频率总介于,0,和,1,之间，因而由概率的定义知，对任何随机事件,A,，总有,0,P,(,A,)1,，而对于必然事件,U,和不可能事件,来说，显然有,12.2,古 典 概 型,定义12.2 称一个事件组A1，A2，An为一个等可能完备事件组，如果它具有以下三条性质：,(1) A1，A2，An发生的时机一样(等可能性)；(2) 在任一次试验中，A1，A2，An至少有一个发生(也就是所谓“除此之外，不可能有别的结果)；(3) 在任一次试验中，A1，A2，An至多有一个发生(也就是所谓“它们是相互排斥的) (互不相容性)。,等可能完备事件组也称为等概根本领件组；其中任一事件Ai (i=1，2，n)称为根本领件。,设一试验有n个等可能的根本领件，而事件B恰包含其中的m个根本领件，那么事件B的概率P(B)定义为,12.3,事件的运算及概率的加法公式,12.3.1,事件的包含与相等,定义,12.3,设有事件,A,及,B,，如果,A,发生，那么,B,必发生，就称事件,B,包含事件,A,，并记作：,A,B,或,B,A,。,例如，投掷两枚均匀硬币，令,A,表示“正好一个正面朝上”，,B,表示“至少一个正面朝上”，显然有,A,B,。,如果事件,A,包含事件,B,，同时事件,B,也包含事件,A,，那么就称事件,A,与事件,B,相等，并记作：,A=B,。,12.3.2,事件的和与积,定义12.4,事件“A或B称为事件A与B的和，记作A+B或AB；事件“A且B称为事件A与B的积，记作AB或AB。,定义,12.5,事件“非,A,”,称为,A,的对立事件，记作,A,。,定义,12.6,事件,A,与,B,的差表示,A,发生而,B,不发生的事件，记作,A,-,B,。,12.3.3,事件的互不相容性,定义,12.7,如果事件,A,与,B,不能同时发生，即,AB,，那么称,A,与,B,是互不相容的事件。,12.3.4,概率的加法公式,后页,概率的加法公式,如果事件,A,与,B,互不相容，那么,P,(,A+B,),=P,(,A,),+P,(,B,),。,(12.3.3),公式,(12.3.3),表达了概率的最重要的特性：,可加性。,返回,概率的加法公式,对任意两个随机事件,A,、,B,，有,P,(,A,B,),P,(,A,),P,(,B,),P,(,AB,),返回,12.4,条件概率、乘法公式与事件的独立性,12.4.1,条件概率,定义12.8,如果A、B是条件S下的两个随机事件，P(A)0，那么称在A发生的前提之下B发生的概率为条件概率，记作P(B|A)。,前页,12.4.2,乘法公式,条件概率,P,(,B,|,A,),跟事件的原概率有如下的一般关系：,设条件组,S,下的一个等概完备事件组有,n,个基本事件，,A,由其中的,m,个组成,(m1),，,B,由其中的,l,个组成，,AB,由,k,个基本事件组成。,按条件概率的概念：,上式揭示了事件的原概率,P,(,A,),、,P,(,AB,),与条件概率,P,(,B,|,A,),这三个量之间的关系。通常从两个方面利用这个关系： 一是，已知,P,(,A,),、,P,(,AB,）,求,P,(,B,|,A,),； 二是，已知,P,(,A,),与,P,(,B,|,A,),求,P,(,AB,）,，此时公式改写为,P,(,AB,）,=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),。,这个公式我们称为概率的,乘法公式,。,12.4.3,独立性,定义,12.9,如果两个随机事件,A,、,B,满足,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),，,那么称事件,A,与,B,是相互独立的。,所谓,A,、,B,相互独立，就是一个事件的发生并不影响另一事件发生的概率。,12.5,全概公式与逆概公式,12.5.1,全概公式,定理,12.2,（全概公式）,如果事件组,A,1,，,A,2,，,，,A,n,满足：,(1),A,1,，,A,2,，,，,A,n,互不相容而且,P,(,A,i,),0 (,i,=1,，,2,，,，,n,);,(2),A,1,+,A,2,+,A,n,=,U,(,完全性,),。,那么对任一事件,B,皆有,证,B,BU,B,(,A,1,A,2,+,A,n,),BA,1,BA,2,BA,n,，,且,BA,1,，,BA,2,，,，,BA,n,互不相容，于是有,证毕。,满足,定理,12.2,的条件,(1),和,(2),的事件组,A,1,，,A,2,，,，,A,n,叫做,完备事件组,。,逆概公式,定理,12.3,（逆概公式）,逆概公式亦称为贝叶斯,(Bayes),公式，它在理论上与应用上都十分重要。,龙格库塔公式,在式,y,(,x,i,+1,),y,i,+,h,f,(,x,i,+,h,，,y,(,x,i,+,h,),中，取,的某些特定值所对应的,f,(,x,i,+,h,，,y,(,x,i,+,h,),的近似值的加权平均值，作为,f,(,x,i,+,h,，,y,(,x,i,+,h,),的近似值，再逐次预报,校正，便可以得到各种形式的龙格库塔公式。下面给出四阶龙格,库塔公式：,12.6,独立试验序列概型,设单次试验中，事件A发生的概率为p(0p1)，那么在n次重复试验中，A发生k次的概率为：P(“A发生k次) Ckn pkqnk (q 1p，k 0，1，2，n)，简记为Pn(k)。,证 在n次重复试验中，记B1，B2，Bm为构成事件“A发生k次的那些试验结果，于是有：,(1) “A发生k次 B1+B2+Bm，其中B1+B2+Bm互不相容；,(2) P(B1)=P(B2) P(Bm) pkqnk (q 1p)；,(3) m Ckn。因此得,P(“A发生k次) P(B1+B2+Bm) P(B1)+P(B2)+P(Bm) mpkqnk(q 1p), Cknpkqnk。,证毕。,Thank You !,后页,首页,前页,