第四章 参数模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 功率谱估计的现代方法,(,参数模型,),第一节 概述,信号模型,成形滤波器,一、系统描述方法,上述方法存在的问题：,数据量小时，谱估计方差大。因此，要求大数据量,若信号是时变的，但又希望实时处理，上述方法做不到。,因此，应,建立输入输出间的模型。,表现输入输出间的变化规律。,通过模型提取特征参数，以用于模式识别，数据压缩等。,方便短数据处理,用模型参数估计功率谱,信号的现代建模方法,（,Modern modeling method for signal,）是建立在具有最大的不确定性基础上的预测。提出了众多的数学模型,( mathematical models),。,ARMA,、,AR,、,MA,三种模型。,经典信号建模法,（,classical modeling method for signal,）前面已经指出，医学信号处理的目的是提取包含于随机信号中的确定性成分，以便在一定的准确性（最小二乘意义）上进行预测。这就是建立各种各样的确定性数学模型，包括代数、微分、积分、差分方程模型。这是经典的信号建模方法。,建立模型的方法,二、建立参数模型的基本思想,若令：,即将,的零极点互换，则,白噪声,称,为白化滤波器,为信号产生模型,-,正过程,建立信号的模型,-,逆过程,建模的过程就是调整 使输出为白噪声，,建立后，将白噪声通过逆滤波器 后，即可产生统计特性与原信号相同的信号。,互为逆滤波器,建模的难点,模型参数的理解（是否与系统的物理参数有对应关系）,ARMA,、,AR,、,MA,三种模型，实际系统究竟是哪种模型？,根据,Wold,的证明：任何平稳的,ARMA,（自回归移动平均）模型或,MA,模型均可用无限阶或阶数足够的,AR,模型去近似。,因此本章着重介绍,AR,模型的基本原理和方法。,第二节 三种参数模型,1,、,MA,模型,随机信号 由当前的激励 和若干次过去的激励 线性组合产生。,该模型的系统函数是：,表示系统阶数，系统函数只有零点，没有极点，所以该系统一定是稳定的系统，也称为全零点模型，用,MA,（ ）来表示。,2,、,AR,模型,随机信号 由本身的若干次过去值,和当前的激励值 线性组合产生：,该模型的系统函数是,：,p,是系统阶数，系统函数中只有极点，无零点，也称为全极点模型，系统由于极点的原因，要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用,AR(p),来表示。,故：,可见：,A(z),即为白化滤波器,3,、,ARMA,模型,ARMA,是,AR,与,MA,模型的结合：,该模型的系统函数是,：,它既有零点又有极点，所以也称极零点模型，要考虑极零点的分布位置，保证系统的稳定，用,ARMA(p,，,q),表示。,如何用信号流图表示？,第三节 模型的建立,模型参数：,j=1,2,p,；,噪声方差,、信号的零均值处理,、模型的规范化方程,自相关函数自协方差函数,对模型两边同时乘以,x(n-m),，然后求数学期望：,当,m0,时，故：,可由前,p,个,Rx,的值递推得到，且与模型系数有关,当,m,时，,故：,令,m=0,1,2,3,p,，,则有：,称其为,Y-W,规范方程组,。,R,X,求解思路：由,x(n),估计出,R,x,(0),R,x,(1),，,，,R,x,(p),即可求出,p+1,个未知数。,问题：,p=?,【,例,】,已知自回归信号模型,AR,（,3,）为：,式中 是具有方差,=1,的平稳白噪声，求,a.,自相关序列 ，,m,0,，,1,，,2,，,3,，,4,，,5,。,b.,用,a,求出的自相关序列来估计,AR,（,3,）的参数，以及输入白噪声的方差 大小。,解：,a.,已知的模型参数： ,14/24,，,9/24,， ,1/24,。,利用,Y-W,方程，求得：,R,（,0,）,= 4.9377 R,（,1,）,4.3287,R,（,2,）,4.1964 R,（,3,）,3.8654,利用,公式,也可以求出,R,（,4,）,3.6481,，,R,（,5,）,3.4027,，,当然还可以求出无穷多的自相关序列值。,b.,把,a,中求得的自相关序列作为已知值，利用,Y-W,方程，求的估计。,14/24,， ,9/24,， ,1/24,， ,1,可以发现：,对,AR,模型参数是无失真的估计，因为,已知,AR,模型，我们可以得到完全的输出观测值，,因而求得的自相关函数没有失真，当然也就可,以不失真的估计。,设想按如下方法计算：,(1),设,p,，求得,(2),根据作预测：,预测误差为：,预测误差为：,(3),检查预测误差输出是否是白噪声，若是，则阶数,p,确定；,若不是，则,p,增，重复上述步骤。,缺点：计算量太大。,、,L-D,算法,矩阵,x,的,Toplitz,特性：,(1),对角线元素相同,(0);,(2),与对角线平行的线上的元素相同,;,(3),为对称阵,则有：,其中：分别为的倒置向量。,对于,k,阶模型有：,对于,k+1,阶模型有：,这里，令： ，,令其为,0,，则,由模型知：,则：,k=p,时，,L-D,算法的步骤,令,k,=0,，则,令,k,=k+1,3,按式,(5),有：,按式,(6),有：,按式,(4),、,(7),有：,当达到模型阶次时，结束，否则，返回,(2),。,或当达到给定阶次时，结束。,AR,模型的稳定性及其阶次的确定,AR,模型的稳定的充要条件,的极点都在单位圆内。,（,1,）由于矩阵,Rx,的,Toplitz,特性，决定其正定性，必满足上述条件。,（,2,）,模型阶次的确定,前述：递推结束条件： 。但实际计算中，自相关函数不是精确值，而是估计出来的，随着模型阶次升高，参数增多，导致计算误差增大，该条件不可能满足。,模型阶次若选小了，真实谱峰可能丢失；,若选大了，出现虚假谱峰。,常用准则：,(1),最终预测误差（,FPE,）准则：,AR(k),的最终预测误差（,FPE,）定义为：,k,FPE(k),p,(2),信息论准则,从提取观测序列中的最大信息量出发，定义准则函数：,当其取最小值时的,k,值即为最优阶次。,第节模型的应用,谱估计,模型,(1),谱估计曲线平滑,(2),谱分辨率高，对谱峰的跟踪性能好，,但对谱谷的跟踪性能不好。,AR,谱的特点,:,.,特征提取,用模型参数,作为特征向量，用于模式识别。,用模型参数,作为特征向量，用于模式识别。,例：利用肌电进行动作识别,对各种动作产生的肌电建立,p,阶,AR,模型，将,p,个参数看成,p,维空间的点，每种动作对应的点将集中在空间的某个区域。,动作,动作,例：,设已知信号的自相关函数为：,用算法确定此信号的模型及其激励白噪声功率。,信号模型为：,