恒定流动量方程

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,第三章 一元流体动力学基础,第十三节 恒定流动量方程,第十三节,恒定流动量方程,动量定律：,作用于物体的冲量，等于物体的动量增量。,即：,恒定流动量方程主要作用是解决作用力问题，,特别是流体与固体之间的总作用力。,1,现以,恒定总流,的一段为例，取,1,和,2,两个渐变流断面间的流体为,研究对象,，两断面间流段,1-2,在,dt,时间后移动到,1-2,。,1.,动量方程的推导,A,1,1,1,v,1,dt,A,2,2,2,v,2,dt,2,（,3-13-1,）,方程是以断面平均流速模型建立的，实际的流速是不均匀分布的，以动量修正系数,a,0,修正。,a,0,定义为实际动量和按照平均流速计算的动量的比值。即：,工程计算中取,a,0,=1,。,动量方程式改写为：,（,3-13-2,）,这就是,恒定流动量方程式,。,a,0,取决于断面流速分布的不均匀性。不均匀性越大，,a,0,越大，一般取,a,0,=1.05,3,将,物质系统,的动量定理应用于,流体,时，动量定理的表述形式是：对于恒定流动，所取,流体段（简称流段，它是由流体构成的）,的动量在单位时间内的变化，等于单位时间内流出该流段所占,空间,的流体动量与流进的流体动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之和，即外力之和。,（,3-13-2,）,2.,公式说明：,4,控制体,：是空间的一个固定不变的区域，是根据问题的需要所选择的固定的空间体积。它的边界面称为控制面,系统与控制体,系统,：是一团确定不变的流体质点的集合。,系统外的一切称为外界。,5,将,物质系统,的动量定理应用于,流体,时，动量定理的表述形式是：对于恒定流动，所取,流体段（简称流段，它是由流体构成的）,的动量在单位时间内的变化，等于单位时间内流出该流段所占,空间,的流体动量与流进的流体动量之差；该变化率等于流段受到的表面力与质量力之和，即外力之和。,动量定理本身的描述是针对特定的物质系统,（拉格朗日法）,而言的，是,拉格朗日的描述方法，,而公式中“流进”和“流出”的流体不属于同一系统，这种表述是,欧拉法,的。,在流体力学中，,控制体,是在对流动规律的拉格朗日描述转换到欧拉描述时所出现的概念，是,欧拉法,所采用的概念。,（,3-13-2,）,2.,公式说明：,6,3.,适用条件,：,恒定流,过水断面为均匀流或渐变流过水断面,无支流的汇入与分出。,如图所示的一分叉,管路，,动量方程式应为：,v,3,1,1,2,2,3,3,Q,3,Q,1,Q,2,v,1,v,2,（,3-13-2,）,7,对于不可压缩流体，,1,=,2,=,和连续性方程,Q,1,=,Q,2,，其恒定流动能量方程为：,（,3-13-3,）,在直角坐标系中的分量式为：,（,3-13-4,）,工程计算中，通常取,a,01,=,a,02,=,1,8,动量方程是一个,矢量方程,。应首先选择和在图上标明坐标系。注意外力、速度的方向问题，它们与坐标方向一致时为正，反之为负。,全面分析作用于控制体的,所有外力,。,动量方程式中的动量差是指流出控制体的动量减去流入控制体的动量，两者不能颠倒 。,动量修正系数,在计算要求精度不高时，常取,1,。,动量方程中的各项物理量的,单位要一致,。统一采用国际单位制中的,m,、,kg,、,N,(,kN,),和,s,。若力的单位为,kN,，,取,1,，若力的单位为,N,，则,取,1000,。,4.,应用动量方程,应注意的问题：,（,3-13-2,）,9,两端断面上的水总压力,P,1,、,P,2,。,边界的摩擦力,T,（,可忽略）。,控制体的重力,G,。,固体边界给控制体水流的总作用力,R,。,在各轴的投影,作用于控制体的所有外力,10,根据动量方程可求出固体边界给控制体液流（即壁面对流体）的总作用力,R,，而求解问题中往往需要确定流体作用在壁面上的力,R,，这两个力按牛顿第三定理,R, =,R,。,11,5.,应用动量方程式解决问题的步骤：,（）取控制体；,（,3,）正确分析受力，未知力设定方向；,（,2,）建立坐标系,以计算简便为原则,（）流出和流进控制体的动量差：,(,下游断面的动量,),(,上游断面的动量,),1,1,2,2,F,P1,F,P2,F,R,F,G,动量方程解决的是固体壁面和流体之间相互作用的整体作用力，应使控制体既包含待求作用力的固壁，又不含其他的未知作用力的固壁,（,5,）联立动量方程求解。,12,6.,动量方程式在实际工程中的应用,弯管内水流对管壁的作用力,管轴,水平放置,管轴竖直,放置,13,例,3-15,水在直径为,10cm,的,60,水平弯管中，以,5m/s,的流速流,动。弯管前端的压强为,0.1at(9807Pa),。如不计水头损失，也不考虑重力作用，求水流对弯管,1-2,的作用力。（弯管水平放置）,解,（,1,）确定控制体。,取控制体为,1-2,断面间弯管占有的空间；,（,2,）选择坐标系。,如图所示；,x,y,z,60,A,1,A,2,v,2,v,1,1,1,2,2,x,轴为弯管进口前管道的轴线,x,y,平面为水平面,14,（,3,）控制体内流体受力分析。,由于不考虑重力，质量力为零，表面力包括：,断面,1,上：,P,1,=,p,1,A,1,；,断面,2,上：,P,2,=,p,2,A,2,；,其余表面：弯管内表面的作用力设为 ，其投影与,x,轴成,角。,未知压强,p,2,应用能量方程：,由于,Z,1,=Z,2,，,v,1,=,v,2,=,v,，可得：,x,y,z,R,60,A,1,A,2,v,2,v,1,1,1,2,2,可求出在,x,、,y,轴上的分力,15,（,4,）流出和流进控制体的动量差：,x,y,z,R,60,A,1,A,2,v,2,v,1,1,1,2,2,由于断面面积不变,v,1,=,v,2,=5m/s,（,5,）联立动量方程得：,16,也即：,17,联立求解，得：,（,6,）由于水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力大小相等方向相反。,因此水流对弯管的作用力,F,为：,F,=272N,，方向与,R,相反。,18,【,例,】,一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角 ，直径由,d,A,200 mm,变为,d,B,150 mm,，在流量 时，压强,，求水流对,AB,段 弯管的作用力。不计弯管段的水头损失。,（弯管水平放置）,解：,B,19,B,20,【,例,】,如图所示，夹角呈,60,的分岔管水流射入大气，干管及管的轴线处于同一水平面上。已知,v,2,=,v,3,=10m/s,，,d,1,200mm,，,d,2,120mm,，,d,3,100mm,，忽略水头损失，试求水流对分岔管的作用力分量,F,x,、,F,y,。,解,（,1,）确定控制体。,取过流断面,1-1,、,2-2,、,3-3,及管壁所围成的空间为控制体；,（,2,）选择坐标系，如图所示；,21,（,3,）控制体内流体受力分析。,过流断面,1-1,上的压力,P,1,；,过流断面,2-2,和,3-3,上的压力,P,2,P,3,0,；,分岔管对水流的作用力,F,x,、,F,y,；,（,4,）列动量方程,x,，,y,轴方向的投影式,22,以分岔管轴心线为基准线，列,1,、,2,断面伯努利方程,23,将各量代入动量方程，得弯管对水流的作用力,水流对分岔管的作用力,方向与,ox,轴方向相同,方向与,oy,轴方向相反,24,【,例,】,有一沿铅垂放置的弯管如图所示，弯头转角为,90,，起始断面,1-1,与终止断面,2-2,间的轴线长度,L,为,3.14m,，两断面中心高差,z,为,2m,，已知断面,1-1,中心处压强,p,1,为,117.6kPa,，两断面之间水头损失为,0.1m,，管径,d,为,0.2m,。试求当管中流量,Q,为,0.06m,3,/s,时，水流对弯头的作用力。,解,（,1,）确定控制体。,取控制体为,1-1,2-2,断面间弯管占有的空间；,（,2,）选择坐标系，如图所示；,O,x,z,25,（,3,）求管中流速和,断面,2-2,中心处压强,p,2,以断面,2-2,为基准面，对断面,1-1,与,2-2,写能量方程,于是,R,Z,Z,将,代入上式,得,26,重力：弯头内水重,作用于断面,1-1,与,2-2,上的总压力,R,Z,Z,（,4,）受力分析,令管壁对水体的作用力在水平和铅垂方向的分力为 及 ，,27,（,5,）对弯头内水流沿,x,、,z,方向分别写动量方程式,沿,x,方向动量方程为,沿,z,方向动量方程为,得,得,R,Z,Z,28,管壁对水流的总作用力,作用力,R,与水平轴,x,的夹角,水流对管壁的作用力与,R,大小相等，,方向相反。,R,Z,Z,29,第三章 一元流体动力学基础,第一节 描述流体运动的两种方法,第二节 恒定流和非恒定动流动,第三节 流线和迹线,第四节 一元流动模型,第五节 连续性方程,第六节 恒定元流能量方程,第七节 过流断面的压强分布,第八节 恒定总流能量方程式,第九节 能量方程的应用,第十节 总水头线和测压管水头线,第十三节 恒定流动量方程,30,动量方程与能量方程的异同,建立的条件都是恒定流，要求断面为渐变流过水断面。,能量方程无向量性，不需要投影，动量方程是向量方程，要在选定正向的坐标轴上投影。,应用能量方程式时，两渐变流断面之间的长度没有限制，视需要而定，应用动量方程式时，两渐变流端断面之间的急变流段尽量短些，这样其间的摩擦力可以不计。,应用能量方程时要全面考虑流段上的所有水头损失，应用动量方程时，要全面分析作用于控制体上的所有外力。,31,复习思考题,1,什么是流线？什么是迹线？流线与迹线的区别是什么？,2,什么是恒定流动？什么是非恒定流动？,3,何谓渐变流，渐变流有哪些重要性质？引入渐变流概念，对研究流体运动有什么实际意义？,4,动能修正系数及动量修正系数的物理意义是什么？,5,说明总流伯努利方程各项的物理意义和几何意义。,6,结合公式推导，说明总流动量方程适用条件。,32,