第五章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计,学时：12,学习目标,.掌握数字滤波器的类型、性能指标以及数字滤波器设计的基本步骤。,.冲激响应不变法设计IIR数字滤波器的基本原理、实现步骤以及冲激响应不变法的优缺点。,.双线性变换法设计IIR数字滤波器的基本原理、实现步骤以及双线性变换法的优缺点。,.模拟低通滤波器设计IIR数字滤波器（低通、带通、带阻、高通）的基本原理、实现步骤。,.数字低通滤波器设计各类IIR数字滤波器的基本原理、实现步骤。,滤波器,：,对输入信号频率成分进行选择的器件或系统：在某些频率分量通过的同时，抑制另一些频率分量,。,数字滤波器,：是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输 入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。,数字滤波器设计,：构建因果稳定的LTI系统，并使之具有所期望的频率选择特性。,数字滤波器分类,：根据数字滤波器的冲激响应h(n)的形式，数字滤波器可以分成无限长冲激响应滤波器（IIR）和有限长冲激响应滤波器（FIR）。,5.1 滤波器性能指标与设计步骤,5.1.1滤波器概述,按频率选择特性不同，滤波器可以分为低通、高通、带通、带阻等类型。,低通,高通,带通,带阻,由于抽样过程造成,频率特性延拓，数字,滤波器所有的频率特,性位于数字角频率轴,上的02,区间。其,低频频率成分位于,的偶数倍附近，而高,频成分位于的奇数,倍附近。,5.1.2 数字滤波器技术指标,滤波器的特性主要由频率响应表述,其中,称为滤波器的,称为滤波器的,对于相位响应，令,称为滤波器的群延迟响应,当滤波器的群延迟响应,为常数时，称为线性相位滤波器,线性相位滤波器将在下一章讨论,幅度响应,相位响应,理想滤波器对应的时域响应为非因果的，因而实际的滤波器频率特性是用一个具有因果冲激响应的系统函数对理想滤波器频率特性的逼近。,过渡带,通带,通带截止频率,通带容限,阻带,阻带截止频率,通带容限,低通滤波器幅频特性,通带和阻带的衰减情况还可表示为,通带最大衰减,阻带最小衰减,通常,当,时,，,称 为 截止带宽,IIR滤波器设计过程,按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标。,将数字滤波器指标转换成模拟滤波器指标。,设计一个满足设计指标的模拟滤波器系统函数,H,(,s,),逼近此性能指标。,将设计的模拟滤波器系统函数,H,(,s,),转换成数字滤波器系统函数,H,(,z,),。,IIR滤波器设计任务：,用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求,先设计一个模拟滤波器系统函数,H,（,s,），然后转换成数字滤波器系统函数,H,（,z,）,5.1.3 常用模拟滤波器设计方法,1 由幅度平方函数确定系统函数,模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数表示,由于滤波器冲激响应 是实函数，因而有,所以,即为模拟滤波器的系统函数,2 巴特沃斯滤波器,巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数,N为滤波器阶次,为滤波器截止频率,特点：,（1）,处无衰减,即为巴特沃斯低通滤波器的3dB带宽,（2）,即,因此,为通带最大衰减,在,（3）,前（2N1）阶导数为0,具有最平坦幅度特性，,在通带内单调减小，阶次越高，衰减越慢。,（4）,的增加而快速减小。阶次越高，衰减越快。,随着,巴特沃斯滤波器的幅频特性完全由滤波器的阶次决定。,极点,左半s平面极点即为 的极点，因而巴特沃斯低通滤波器的系统函数为,当 时,称为归一化，归一化后的低通滤波器称为原型滤波器。其系统函数为,或,例1,试写出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设,解：三阶巴特沃斯归一化原型滤波器系统函数为,由附表可查出,所以,若令 ，则有,在 频率下,设计中,即可得到所需要的滤波器系统函数,3 根据实际滤波器性能指标设计巴特沃斯滤波器,通带最大衰减,阻带最小衰减,给定,由定义,代入,有,及,可解出,计算结果取整数,求解,若希望通带指标有富裕量,若希望阻带指标有富裕量,例2,试设计一个巴特沃斯模拟低通滤波器，要求在通带频率低于1kHz时，允许幅度误差在1dB以内，在频率大于1.5kHz的阻带内，衰减大于15dB。,解：模拟低通滤波器的指标为,通带最大衰减为,阻带最小衰减为,巴特沃斯低通滤波器阶数为,取N=6，代入,得到,归一化巴特沃斯低通滤波器系统函数为,使数字滤波器对应的时域冲激响应h（n）模仿模拟滤波器的冲激响应h（t）。,5.2 冲激响应不变法,5.2.1变换原理,经过抽样,则在抽样序列的z变换和模拟信号的拉普拉斯变换之间，存在关系,变换过程为从z平面到s平面的映射,冲激响应不变法映射关系,5.2.2 模拟滤波器的数字化方法,设模拟滤波器的系统函数 只有单阶极点，且分母的阶次大于分子的阶次。,滤波器的冲激响应 为,对 求z变换,比较,若 或,和,1. s平面单极点 变换为z平面 的单极点。,S平面的左半平面上,2. 的部分分式系数是 的T倍。,3. 稳定的模拟滤波器变换为稳定的数字滤波器。,例1,设计滤波器时， 都是实数，因此 的极点一定是以共轭形式出现。对于这种共轭极点， 形成二阶的基本节，其模拟滤波器的二阶基本节有两种形式,极点,相应数字滤波器二阶基本节的形式为,1,2,极点,相应数字滤波器二阶基本节的形式为,5.2.3 冲激响应不变法实现步骤,冲激响应不变法设计的数字滤波器具有模拟滤波器的相似特性。,设计过程：,1. 确定数字滤波器性能指标 和 。,2. 数字滤波器指标转换成模拟滤波器指标 和 。,利用,3. 设计模拟滤波器的系统函数 。,4. 模拟滤波器系统函数转换成数字滤波器系统函数。,5.2.4 冲激响应不变法的优点和缺点,优点,：,1. 冲激响应模仿模拟滤波器，时域特性逼进程度好。,2. 模拟角频率和数字角频率之间为线性关系。,3. 转换简单。,缺点,：,频谱混叠现象，只能构成低通和带通滤波器。,解：模拟滤波器系统函数可表示为,例3,设模拟滤波器的系统函数为 ，试利用,冲激响应不变法设计IIR数字滤波器。,所以数字滤波器系统函数为,若令抽样时间T1,为了克服冲激不变法造成的多值映射而产生混叠失真，采用两次映射的方法：,5.3 双线性变换法,5.3.1变换原理,通过上述两次映射，整个s平面上的点与z平面上的点一一对应，消除了多值映射造成的混叠。,1. s平面映射为s,1,平面上 之间的条带区域。,2. s,1,平面上 之间的条带区域映射至z平面。,双线性变换映射关系,5.3.2 模拟滤波器数字化方法,s平面到s1平面的变换关系为,C为常数,可得s平面到s,1,平面的关系为,由s1平面到z平面的关系,可得s平面到z平面的关系为,以及,称为双线性变换,c用来调解模拟频率和数字频率之间的对应关系：,1.在低频频率处模拟滤波器和数字滤波器有较确切的对应关系,由,有,即,于是，s平面和z平面的映射关系成为,以及,2.在某一确定频率处模拟滤波器和数字滤波器有较确切的对应关系,由对应关系 ，若希望有,则对,应有,注意：通过c的选择，仅仅能使模拟滤波器某个频率点及其附近频率与数字滤波器的频率对应，其他点上仍然是非线性关系。,双线性变换产生的频率畸变,线性幅频响应,与 之间的非线性关系,和 之间的线性关系,的非线性幅频响应,预畸变方法：在由数字频率转换至模拟频率过程时，数字频率转换为模拟频率采用,5.3.3 双线性变换法实现步骤,1.确定数字滤波器指标,2.数字滤波器指标转换为模拟滤波器指标,3.设计模拟滤波器，得到,4.模拟滤波器转换为数字滤波器,一般情况下，c取2/T，T取1,例,解：,1.数字滤波器指标： 衰减未要求，由滤波器阶数确定。,例4,已知一阶模拟低通滤波器为 ，其中 为其3dB带宽。用双线性变换法将其转换为数字滤波器 ，并要求其3dB带宽为,通带截止频率,2.频率转换：,3.设计模拟滤波器：,4. 模拟滤波器转换为数字滤波器：,结果：,频率响应为：,满足设计要求,5.4 模拟低通滤波器设计IIR数字滤波器,频率变换法：,将数字滤波器的性能指标先转换为模拟滤波器指标，设计模拟归一化原型滤波器。再根据频率转换关系（低通低通、带通、高通、带阻，模拟数字）设计数字滤波器。,频率变换法的两种方式,变换类型,频率变换关系,S平面变换关系,低通 原型归一化低通,高通 原型归一化低通,带通 原型归一化低通,带阻 原型归一化低通,频率变换关系,表中：,归一化低通模拟滤波器角频率,实际模拟滤波器角频率,实际模拟滤波器系统变量,归一化低通模拟滤波器系统变量,带通及带阻滤波器的带宽,滤波器中心频率,5.4.1模拟低通滤波器转换数字低通滤波器,例54,小结模拟域频率变换法变换过程：,1.数字滤波器指标转换为模拟滤波器指标。(频率转换）,2.设计原型低通滤波器。（根据衰减指标求原型滤波器阶次）,3.原型低通滤波器转换成实际模拟滤波器。（频率转换关系式及3dB截止频率代入原型低通滤波器系统函数）,4.冲激不变法或双线性变换法转换模拟滤波器为数字滤波器。,例54,试用,冲激响应不变法设计一巴特沃斯数字低通滤波器，,要求在通带频率低于,0.2 rad时，允许幅度误差衰减在1dB以内，在频率0.3到之间阻带衰减在15dB。,通带频率 rad/s，,通带最小衰减,p,=1dB；,阻带频率 rad/s，,阻带最大衰减,s,=15dB。,解：,转换为模拟滤波器指标（设采样周期,T=1,）,:,实际模拟低通滤波器指标,数字滤波器的性能指标为,:,通带频率 ，通带最大衰减,；,阻带频率,，阻带最小衰减,。,设计巴特沃斯原型低通滤波器,取N6,即为满足设计要求的巴特沃斯原型滤波器,转换为实际低通滤波器,根据平面对应关系，原型低通滤波器到实际低通滤波器的转换方式为,即是,由巴特沃斯滤波器的设计方法,于是,即为实际低通滤波器的系统函数,转换为数字低通滤波器,将 展开为部分分式并采用冲激不变法,5.4.2模拟低通滤波器转换数字带通滤波器,1.由归一化原型低通滤波器到模拟带通滤波器的转换,归一化原型低通滤波器到模拟带通滤波器的频率转换关系为,其中,带通滤波器的带宽,滤波器中心频率,及,于是,2.由模拟带通滤波器到数字带通滤波器的转换,冲激不变法,分解 成部分分式，转换为数字滤波器,双线性变换法,结合频率变换关系后，有,例55,对于双线性变换法设计数字滤波器特别需要注意频率变化过程中的频率畸变。,试用,双线性变换法设计一个抽样频率为1kHz的巴特沃斯数字带通滤波器。,要求：通带范围从200Hz到250Hz，在此两频率处衰减不大于3,dB，在,100Hz,和,400Hz,频率处衰减不得小于14dB。,解：,由于采用双线性变换法，需要对转换频率进行预畸变,预畸变是由数字域向模拟域的转换，所以需要先将模拟频率转换为数字频率。,转换为模拟频率并预畸变,设计归一化低通滤波器,模拟带通,滤波器指标,归一化原型低通滤波器通带频率为,归一化原型低通滤波器通带频率 ,通带最大衰减为3dB,归一化原型低通滤波器阻带频率为,归一化原型低通滤波器阻带频率,归一化原型低通滤波器阶数为,令 , 。,巴特沃斯原型低通滤波器系统函数为,变换为实际带通通滤波器,数字化,代入,最后有,小结模拟域频率变换法变换过程：,1.数字滤波器指标转换为模拟滤波器指标。(频率转换）,2.设计原型低通滤波器。（根据衰减指标求原型滤波器阶次）,3.原型低通滤波器转换成实际模拟滤波器。（频率转换关系式及3dB截止频率代入原型低通滤波器系统函数）,4.冲激不变法或双线性变换法转换模拟滤波器为数字滤波器。,