区间估计

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,第三节 区间估计,置信区间定义,正态整体均值的区间估计,正态整体方差的区间估计,小结,引言,前面，我们讨论了参数的点估计,.,它是本质是：用样本,k,阶矩代替总体,k,阶矩，即用样本算得的一个值去估计总体中的未知参数。,但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大,.,区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷,.,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数,N,的估计为,1000,条,.,若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信,N,的真值位于其中,.,这样对鱼数的估计就有把握多了,.,实际上，,N,的真值可能大于,1000,条，也可能小于,1000,条,.,90%,可能性包含鱼数的真实值,也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的,可靠程度,相信它包含真参数值,.,这里所说的“,可靠程度,”是用概率来度量的 ，,称为,置信度,或,置信水平,.,习惯上把置信水平记作,，这里 是一个,很小的正数,.,995,1050,置信水平的大小是根据实际需要选定的,.,例如，通常可取置信水平,=0.95,或,0.9,等,.,根据一个实际样本，由给定的置信水平，我们求出一个尽可能小的区间 ，,使 ，称区间 为,的置信水平为 的置信区间,.,一、 置信区间定义,设 是 一个待估参数，给定,满 足,X,1,X,2, ,X,n,确定的两个统计量,则称区间,是 的置信水平（置信度,),为,的,置信区间,.,和 分别称为,置信下限,和,置信上限,.,若由样本,，,；,这里有两个要求,:,可 见，,对参数 作区间估计，就是要设法找出两个,只依赖于样本的界限,(,构造统计量,).,一旦有了样本，就把 估计在区间 内,.,可靠度与精度是一对矛盾，一般是,在保证可靠度的条件下尽可能提高,精度,.,1.,要求 以很大的可能被包含在区间,内，就是说，概率 要尽可能大,.,即要求估计尽量可靠,.,2.,估计的精度要尽可能的高,.,如要求区间长度,尽可能短，或能体现该要求的其它准则,.,这时必有,二、单个正态总体均值 的区间估计,（一）方差 已知时总体均值的区间估计,0,a,/2,u,a/2,a,/2,-,u,a/2,1,或,2,例,1:,设轴承内环的锻压零件的平均高度,X,服从正态分布,N(,0.4,2,).,现在从中抽取,20,只内环,其平均高度为,32.3,毫米,.,求内环平均高度的置信度为,95%,的置信区间,.,解：,解：,经计算可得,查表得,故所求置信区间为：,（二）方差 未知时总体均值的区间估计,4,0,a,/2,a,/2,-,t,a/2,(,n,-,1),t,a/2,(,n,-,1),解：,这里,，,1-a=0.99 a=0.01 a/2=0.005 n-1=7,经计算得,查表可得,从而,所以,的置信度为,0.99,置信区间是,例,4,有一大批糖果,.,现从中随机地取,16,袋,称得重量,(,以克计,),如下,:,506 508 499 503 504 510 497 512,514 505 493 496 506 502 509 496,设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值 的置信水平为,0.95,的置信区间,.,解：,这里,经计算得,查表可得,于是得到,的,置信水平为,0.95,的置信区间为：,三、单个正态总体方差的区间估计,3,解：,由题意得,查表得,算得：,所求置信区间为,(0.038,0.506),例,6:,设某机床加工的零件长度,今抽查,16,个零件，测得长度（单位：,mm,）如下：,12.15, 12.12, 12.01, 12.08, 12.09, 12.16, 12.03, 12.01, 12.06, 12.13, 12.07, 12.11, 12.08, 12.01, 12.03, 12.06,在置信度为,95%,时，试求总体方差 的置信区间,.,解：,由题意得,经计算得：,查表得：,算得,置信,区间：,四、小结,五,.,两个正态总体均值差,的区间估计,由于样本函数,其中,对于给定的置信度,1-,有,即,置信区间为,解,求得,由于样本函数,解,求得,六,.,两个正态总体方差之比,的区间估计,解,求得,查表得,计算得,3.5,单侧置信区间,解：,此时,于是,