平稳过程的谱分析

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,平稳过程的谱分析,1时间函数的能谱密度,设,x,(t)(-,t+,)是时间t的非周期函数，且,，由傅里叶变换理论：,假设x(t)绝对可积，即,且满足狄利克莱条件，那么x(t)的傅里叶变换存在,且在,x,(t)的连续点处,称为F(,)的傅里叶反变换。其中F(,)一般为复值函数，有,x,(t)和F(,)之间有,巴塞瓦尔等式,假设把x(t)看作是通过1电阻上的电流或电压，那么等式左边的积分表示在1电阻上的总能量，故右边的被积函数|F()|2 相应地称为能谱密度，巴塞瓦尔等式即可看作总能量的谱表示式。,记S()=|F()|2,那么上式为：,其中S(,)为偶函数。称S(,)为,x,(t)的能谱密度，,2时间函数的功率谱密度,上面假定 ，即,x,(t)的总能量有限，在实际问题中，大多数函数的总能量都是无限的，因而不能满足傅里叶变换条件，在工程技术中通常研究,x,(t)在(-,t+,)上的,平均功率,，即,及其谱表示。,设上式极限存在，作一截尾函数,x,T,(,t,),那么,x,T,(t)满足傅里叶变换条件，于是有,由巴塞瓦尔等式有,两边同除以2T，得,x,(t)在(-TtT)上的平均功率为,令T，并假定积分与极限运算可以交换顺序，那么,称上式左边为平均功率。记,则称 为x(t)的功率谱密度,，,称,为x(t)的平均功率的谱表示。,3随机过程的平均功率与功率谱密度,以上讨论的是普通时间函数的频谱分析，对于随机过程X(t), - t +可作类似的分析。,设X(t)是均方连续随机过程，作截尾随机过程,因为X,T,(t)均方可积，故存在傅氏变换，于是,利用巴塞瓦尔等式有,因为X(t)是随机过程，故上式两边都是随机变量，因此平均功率这时不仅要对时间区间-T，T取平均，还要求概率意义下对随机变量的平均，于是有,上式就是随机过程X(t)的平均功率和功率谱密度关系的,表示式。,定义1,：设X(t),-t0, mn，分母无实根。,功率谱密度与自相关函数之间的关系,它们统称为,维纳一辛钦公式,。,作变量替代，,，可以得到：,证：,定理 设X(t), -,t0,0, 求过程的功率谱密度。,例2:谱密度,求平稳过程X(t)的自相关函数和均方值,解: .,利用上例及傅氏变换的线性性质,于是,均方值为,例3: 平稳过程的自相关函数为Rx()=e-a|Cos0 ,其中a0, 0为常数，求谱密度Sx()。,解:,例4: 平稳过程的自相关函数为,求其功率谱密度Sx()。,解:,其它，,例5: 求随机相位正弦波过程,X(,t,) =cos(,0,t,+),的谱密度。,解：自相关函数,谱密度,白噪声,1) 理想白噪声,一均值为零、功率谱密度在整个频率轴上为正常数，即,的平稳过程 N (t) , 我们称之为白噪声过程，或简称白噪声。,白噪声的自相关函数为：,2) 限带白噪声,假设噪声在一个有限频带上有正常数的功率谱密度，而在此频带之外为零，那么称为限带白噪声。,低通型限带白噪声,带通型限带白噪声,其它，,复平稳过程的功率谱密度,设Z(t)为复平稳过程，其自相关函数为R,Z,(,), 定义,Z(t)的功率谱密度为,从而，,性质：S,Z,(,)是实值的，即,3.3,6, 若X(t)与Y(t)不相关，分别有非零均值 则,3.4. 线性系统中的平稳过程,1. 线性时不变系统的根本概念,L,x(t),y(t),输出,输入,系统,:,:,:,y,x,L,线性性,：对任意数 以及任意两个输入 有,利用,函数，将,x(t)表示为,从而，,时不变,脉冲响应函数,2. 随机过程通过线性系统,L,X(t),Y(t),我们考虑下面的问题：给定一个线性时不变系统，如果它的,输入是一个平稳过程,，那么,它的输出是否也是一个平稳过程呢,？如果是，那么两者之间是什么关系呢？假设这个,系统是稳定的（ ）,定理,设输入是为平稳过程，则输出也是,平稳过程，而且与平稳相关，并有：,证明：（）证明的平稳性,例设有白噪声电压X(t)，其自相关函数,将它加到RC电路中，求：,1输出的自相关函数；,2输出的平均功率；,3输入与输出的互相关函数。,解：1由题意知,其中,2输出的平均功率为,3,方法二：采用频域方法,谢谢,