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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第2章 化学中常用的计算方法,矩阵及其基本运算,线性方程组和回归分析,高次方程的求解,插值和拟合,一、矩阵概念,1. 矩阵的定义,简记为,实矩阵: 元素是实数,复矩阵： 元素是复数,例如：,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,.,是一个 矩阵,零矩阵(Zero Matrix):,注意：,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如：,元素全为零的矩阵称为零矩阵，,零矩阵记作 或,.,行矩阵(Row Matrix):,列矩阵(Column Matrix):,方阵(Square Matrix):,只有一行的矩阵,称为行矩阵(或行向量).,只有一列的矩阵,称为列矩阵(或列向量).,例如：,是一个 3 阶方阵.,行数与列数都等于 的矩阵，,称为 阶,方阵,.,也可记作,对角阵(Diagonal Matrix):,方阵，主对角元素不全为零，非主对角元素都为零。,数量矩阵(Scalar Matrix):,方阵，主对角元素全为非零常数k，其余元素全为零。,单位矩阵(Identity Matrix):,记作:,行列式与矩阵的区别:,1. 一个是算式 ，一个是数表,2. 一个行列数相同 , 一个行列数可不同.,3. 对 n 阶方阵可求它的行列式. 记为:,方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零。,系数矩阵,个变量,与,个变量,之间的,关系式,表示从变量,到变量,的,线性变换,.,其中,为常数.,系数矩阵,二、矩阵的基本运算,1. 矩阵相等,矩阵相等:,例：,同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等,2. 矩阵的加减法,设有两个 矩阵 那末矩阵,与 的和记作 ，规定为,加法:,注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,例如：,3. 数与矩阵相乘,数乘:,注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别.,数乘矩阵满足的运算规律：,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,（设 为 矩阵， 为数）,定义：,并把此乘积记作,4. 矩阵与矩阵相乘,设 是一个 矩阵， 是一个,矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积,是一个 矩阵 ，其中,例：,例2：,求AB,故,解:,注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，,两个矩阵才能相乘.,例如:,不存在.,矩阵乘法满足的运算规律：,（其中 为数）,;,矩阵乘法不满足交换律,例 : 设,则,注意：,5. 矩阵的转置,定义,:,把矩阵 的行换成同序数的列得到的,新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,.,例:,转置矩阵满足的运算规律：,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.,说明：,例:,设 为 阶方阵，如果满足 ，即,那末 称为对称阵,.,对称阵:,定义,：由 阶方阵 的元素所构成的行列式，,叫做方阵 的行列式，记作 或,运算规律：:,注：,虽然,但,MatLab 概述与运算基础,Matrix Laboratory,20世纪70年代中期，美国New mexico 大学计算机系主任的Cleve Moler和其同事在美国国家科学基金的资助下研究开发了调用LINPACK和EISPACK子程序库。并于1984年编写了便于使用LINPACK和EISPACK的接口程序，并将该程序取名为MATLAB。由美国 MathWorks 公司推向市场以来，现已成为国际公认的最优秀的工程应用开发环境。,MATLAB功能强大、简单易学、编程效率高，深受广大科技工作者的欢迎。,MatLab 概述与运算基础,2001年初推出了MATLAB6.0(R12)正式版，不仅在数值计算、符号运算和图形处理等功能上进一步加强，而且又增加了一些工具箱。目前MATLAB已拥有数十个工具箱，控制系统工具箱、信号处理工具箱、神经网络工具箱、最优化工具箱、金融工具箱偏微分方程工具箱等 。,MATLAB语言的算法先进，许多功能函数都带有算法的自适应性，且运算速度快捷。,MATLAB编程容易、效率高，调试方便、简单，人机交互性强。,MatLab 概述与运算基础,MATLAB的数值计算功能包括：矩阵运算、多项式和有理分式运算、数据统计分析、数值积分、优化处理等。符号计算可以得到问题的解析解。,MATLAB除了命令行的交互式操作以外，还可以程序方式工作。使用MATLAB可以很容易地实现C或FORTRAN语言的几乎全部功能，包括Windows图形用户界面的设计。,MATLAB提供了两个层次的图形命令：一种是对图形句柄进行的低级图形命令，另一种是建立在低级图形命令之上的高级图形命令。利用MATLAB的高级图形命令可以轻而易举地绘制二维、三维，并可进行图形和坐标的标识、视角和色彩精细控制等操作。,逗号或空格用于分隔某一行的元素，分号用于区分不同的行。除了分号，在输入矩阵时，按Enter键也表示开始一新行。输入矩阵时，严格要求所有行有相同的列。,例 m=1 2 3 4 ；5 6 7 8；9 10 11 12,p=1 1 1 1,2 2 2 2,3 3 3 3,1、矩阵的建立,MatLab,特殊矩阵的建立：,d=eye(m，n) 产生一个m行、n列的单位矩阵,c=ones(m，n) 产生一个m行、n列的元素,全为1的矩阵,b=zeros(m，n) 产生一个m行、n列的零矩阵,a= 产生一个空矩阵，当对一项操作无结,果时，返回空矩阵，空矩阵的大小为零.,MATLAB 程序： 矩阵的建立,m=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12,p=1 1 1 1,2 2 2 2,3 3 3 3,a= ,b=zeros(2,3),c=ones(2,3),d=eye(2,3),e=eye(3,3),2、矩阵中元素的操作,（1）矩阵A的第r行：A（r，：）,（2）矩阵A的第r列：A（：，r）,（4）取矩阵A的第i1i2行、第j1j2列构成新矩阵:A(i1:i2, j1:j2),（5）以逆序提取矩阵A的第i1i2行，构成新矩阵:A(i2:-1：i1，：）,（6）以逆序提取矩阵A的第j1j2列，构成新矩阵:A(:, j2:-1：j1 ）,（7）删除A的第i1i2行，构成新矩阵:A(i1:i2，：)= ,（8）删除A的第j1j2列，构成新矩阵:A(：， j1:j2)= ,（9）将矩阵A和B拼接成新矩阵：A B；A；B,（3）依次提取矩阵A的每一列，将A拉伸为一个列向量：A（：）,MATLAB 程序： 矩阵元素的操作,a=1 2 3;4 5 6;7 8 9,a1=a(2,:),a2=a(:,2),a3=a(:),a4=a(1:2,2:3),a5=a(2:-1:1,:),a6=a(:,3:-1:2),a7=a;a7(1:2,:)=,a8=a;a8(:,1)=,a9=a a2,a10=a;a1,（2）矩阵-矩阵运算,1 元素对元素的运算，同数组-数组运算。,3、矩阵的运算,（1）标量-矩阵运算,同标量-数组运算。,2矩阵运算：,矩阵加法：A+B,矩阵乘法：A*B,方阵的行列式：det（A）,方阵的逆：inv（A）,MATLAB 程序：矩阵元素的操作,a=1 2 3,4 5 6,b=1 2,1 2,1 2,c1=a+a,c2=a*b,c=2 7 3;3 9 4;1 5 3,c3=det(c),c4=inv(c),矩阵的基本运算,转置: AT或A (矩阵的行与列互换),对称矩阵（A=AT）,求逆: A，B均为方阵，如AB=BA，则A是可,逆的，记为B=A-1,矩 阵 解 法,正规方程组 （m=n，方阵）,AX=B,A-1AX=A-1B （ A-1A=In ）,InX=A-1B （ InX=In ）,X=A-1B,例 解：,超定方程组 （ ）,AX=B,(ATA) X=ATB,(ATA)-1 (ATA) X= (ATA)-1 ATB,InX =(ATA)-1 ATB,X= (ATA)-1 ATB,矩 阵 解 法,应用示例：（光谱分析中的多组分测定 ）,A=ECL,A=A1+A2+An,应努力建立条件数小的方程组，避免因解病态方程组造成的误差。,由于方程组的条件数取决于系数矩阵，根据研究体系的特征，选择适当的实验点，是避免产生病态方程组的关键。,如计算分光光度法中当各组分光谱完全相同，将得到无解的奇异矩阵；但假如虽然有差别，可差别很小，则条件数必然很大，则将得到病态方程组。,分光光度法中波长的选择十分重要。,二、 线性方程组和回归分析,克莱姆公式,高斯消去法,矩阵解法,矩阵解法,系数矩阵-A,未知数矩阵-X,常数矩阵-B,矩阵形式：AX=B X=inv(A)*B=AB,一元线性回归及有关计算,一元线性回归 - 二变量间x和y的线性关系,y,x,*,*,*,*,*,线性相关系数的求算,总,变,差,平,方,和,0,S=Q(残差平方和)+U(回归差平方和),三、高次方程的求解,迭代法,三、高次方程的近似求解,对方程f(x) = 0 求近似解，使f(x*)0,设初值x0，按一定规则生成新值x1,依次计算生成数列: x0,x1,x2,x3xn,lim xn =x*, xn-xn-1 ,弦截法,基本原理,迭代通式,收敛指标,牛顿-雷扶生法的基本思想,设 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在 处作泰勒展开,若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线性方程,设 ，令其解为 ，得,这称为f(x)=0的牛顿迭代格式。,牛顿-雷扶生法,切线逼近法,特点：一个初始值；收敛速度快，求根方便,x0=1, x1 = 1- (1-2-5)/(3*1-2) =7,x2=4.7655 x3=3.3487 x4=2.5316 x5=2.1739,x6=2.09788 x7 =2.094552 x8=2.094552,注意点：,1、 收敛标准：,2、 初始值：,3、 可能有多个解,设函数 在区间 上有定义，且已知在点,上的,函数 ，,成立，就称 为 的,插值函数,，点 称为,插,值节点,，包含节点的区间 称为,插值区间,，求插值函数,若存在一简单,使,的方法称为,插值法。,四、插值和拟合,若 是次数不超过 的代数多项式，,其中 为实数，就称 为,插值多项式,，,若 为分段的多项式，就称为,分段插值,.,若 为三角多项式，就称为,三角插值,.,即,相应的插值法称为多项式插值.,从几何上看，插值法就是就曲线 ，使其通过,给定的 个点 ，并用它近似已知曲线,.,见图,对表2-2 的数据，如仅用末两列数据，则只能用线性插值得到正确的结果。,上式中x应为滴定剂体积V, y为对应的电位二次微商值(2E/V2)，这里要求结果为0。,Ve=interp1(x,y,0,method,),0可为数组，method为linear（缺省），nearest(最近邻点插值)，cubic (三次插值)。,polyfit可广泛用于各种拟合,设初始剂量为D0，每次注射剂量为D，注射间隔时间为，给药方案为D0,D,。,血药浓度 应保持在1025 ug/mL之间, 则,D0 =vc2 = 375 mg, D=v(c2-c1)=225 mg,可制定给药方案首次注射375mg，其余每次注射225mg，注射的间隔时间为4小时。,help polyfit,POLYFIT Polynomial curve fitting.,POLYFIT(x,y,n) finds the coefficients of a polynomial p(x) of,degree n that fits the data, p(x(i) = y(i), in a least-squares sense.,p,S = POLYFIT(x,y,n) returns the polynomial coefficients p and a,matrix S for use with POLYVAL to produce error estimates on predictions.,If the errors in the data, y, are independent normal with constant,variance, POLYVAL will produce error bounds which contain at least 50%,of the predictions.,See also POLY, POLYVAL, ROOTS.,
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