定积分应用经典例题

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定积分应用,面积，弧长，,旋转体体积，,旋转曲面表面积,例,1.,求由摆线,的一拱与,x,轴所围平面图形的面积,.,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,求连续曲线段,解,:,的弧长,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,计算由椭圆,所围图形绕,x,轴旋转而,转而成的椭球体的体积,.,解,:,方法,1,利用直角坐标方程,则,(,利用对称性,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法,2,利用椭圆参数方程,则,特别当,b,=,a,时,就得半径为,a,的球体的体积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,求曲线,与,x,轴围成的封闭图形,绕直线,y,3,旋转得的旋转体体积,.,解,:,利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,旋转体的侧面积,设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕,x,轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积,.,取侧面积元素,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,侧面积元素,的线性主部,.,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕,x,轴旋转一周所得旋转体的,不是薄片侧面积,S,的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意,:,侧面积为,例,5.,计算圆,x,轴旋转一周所得的球台的侧面积,S,.,解,:,对曲线弧,应用公式得,当球台高,h,2,R,时,得球的表面积公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设平面图形,A,由,与,所确定,求,图形,A,绕直线,x,2,旋转一周所得旋转体的体积,.,提示：,选,x,为积分变量,.,旋转体的体积为,例,6.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若选,y,为积分变量,则,向量代数及解析几何,数量积，向量积，混合积，,平面，直线，曲线曲面，二次曲面,例,1.,已知向量,的夹角,且,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,相交,求此直线方程,.,的方向向量为,过,A,点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法,1,利用叉积,.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,例,2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法,2,利用所求直线与,L,2,的交点,.,即,故所求直线方程为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入上式,得,由点法式得所求直线方程,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,将曲线,L,化为参数方程表示,.,在曲线,L,上求一点,P,，使得在该点,P,处的切线的方向向量与三个坐标轴正向的夹角都相等。,解,:,根据方程引入参数,t,得所求为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由于切向量与三个坐标轴的夹角都相等，则,设,P,点坐标,曲线在,P,点的切线的切向量,例,4.,求与两平面,x ,4,z =,3,和,2,x y ,5,z,= 1,的交线,提示,:,所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且 过点,(3 , 2 , 5),的直线方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,求过点,( 2 , 1 , 3 ),且与直线,垂直相交的直线方程,.,提示,:,先求二直线交点,P,.,化已知直线方程为参数方程,代入,式,可得交点,最后利用两点式得所求直线方程,的平面的法向量为,故其方程为,过已知点且垂直于已知直线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦,.,提示,:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所求为,思路,:,先求交点,例,7.,求过点,且与两直线,都相交的直线,L,.,提示,:,的方程化为参数方程,设,L,与它们的交点分别为,再写直线方程,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三点共线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,8.,直线,绕,z,轴旋转一周,求此旋转,转曲面的方程,.,提示,:,在,L,上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元微分法,一元微分与多元微分的相同，不同；,求偏导数，全微分（含隐函数的高阶偏导数），方向导数，梯度，散度；,极值（含条件极值），有界闭区域上连续函数的最大值，最小值；,几何应用（曲线的切线，法平面；曲面的切平面，法线）。,例,1.,设,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2,.,设,解法,1,利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对,x,求导,解法,2,利用公式,设,则,两边对,x,求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,设,解,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,设,是曲面,在点,P,(1, 1, 1 ),处,指向外侧的法向量,解,:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数,.,在点,P,处沿,求函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,设函数,(1),求函数在点,M,( 1, 1, 1 ),处沿曲线,在该点切线方向的方向导数,;,(2),求函数在,M,( 1, 1, 1 ),处的,梯度,与,(1),中,切线方向,的夹角,.,2.,求函数 在椭球面,上点 处沿外法线方向的方向导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线,1. (1),在点,解答提示,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数沿,l,的方向导数,M,(1,1,1),处切线的方向向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,例,6.,求曲线,在点,M,( 1,2, 1),处的切线方程与法平面方程,.,切线方程,解法,1,令,则,即,切向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法平面方程,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法,2.,方程组两边对,x,求导,得,曲线在点,M,(1,2, 1),处有,:,切向量,解得,切线方程,即,法平面方程,即,点,M,(1,2, 1),处的,切向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,求曲线,在点,(1,1,1),的切线,解,:,点,(1,1,1),处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线,:,法平面,:,即,与法平面,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知平面上两定点,A,( 1 , 3 ),B,( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点,C,使,ABC,面积,S,最大,.,解答提示,:,设,C,点坐标为,(,x,y,),例,8,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点,C,与,E,重合时,三角形,面积最大,.,点击图中任意点,动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重积分,二重积分，三重积分的计算：换为二次积分，三次积分；,二重积分，三次积分不同坐标系下计算；,计算技巧：对称性应用，重心的应用，交换积分次序，先二后一；,记住,例,1.,计算三重积分,其中,是由,xoy,平面上曲线,所围成的闭区域,.,提示,:,利用柱坐标,绕,x,轴旋转而成的曲面与平面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,计算二重积分,其中,:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解,:,(1),利用对称性,.,围成,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,计算二重积分,在第一象限部分,.,解,:,(1),两部分,则,其中,D,为圆域,把与,D,分成,作辅助线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),提示,:,两部分,说明,:,若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号,.,作辅助线,将,D,分成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分换元法,二重积分换元法,满足,一阶导数连续,;,雅可比行列式,(3),变换,则,定理,:,变换,:,是一一对应的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,设,且,求,提示,:,交换积分顺序后,x,y,互换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5,证明,证,:,左端,=,右端,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成的闭域,.,解,:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,计算由,所围成的闭区域,D,的面积,S,.,解,:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,曲线、曲面积分,第一类曲线、曲面积分计算公式。对称性、重心的应用。,第二类曲线、曲面积分计算公式；,格林公式，高斯公式。注意条件，如不满足条件，可添辅助曲线或曲面；,平面上曲线积分与积分路径无关的四个等价 条件，会求原函数。,例,1.,计算,其中,为球面,被平面 所截的圆周,.,解,:,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考,:,例,1,中,改为,计算,解,:,令,则,圆,的形心在原点,故,如何,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,计算,其中,是球面,利用对称性可知,解,:,显然球心为,半径为,利用重心公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3.,计算,其中,L,为,(1),半径为,a,圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向,;,(2),从点,A,(,a, 0 ),沿,x,轴到点,B,(,a, 0 ).,解,:,(1),取,L,的参数方程为,(2),取,L,的方程为,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,:,把, 分为上下两部分,根据对称性,思考,:,下述解法是否正确,:,例,4.,计算曲面积分,其中, 为球面,外侧在第一和第八卦限部分,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,计算曲面积分,其中,解,:,利用两类曲面积分的联系,有,原式,=,旋转抛物面,介于平面,z=,0,及,z =,2,之间部分的下侧,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式,=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6.,计算,其中,L,为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线,.,解,:,令,设,L,所围区域为,D,由格林公式知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,D,内作圆周,取逆时,针方向,对区域,应用格,记,L,和,l,所围的区域为,林公式,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,7.,设,且都取正向,问下列计算是否正确,?,提示,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,8.,计算,其中,L,为上半,从,O,(0, 0),到,A,(4, 0).,解,:,为了使用格林公式,添加辅助线段,它与,L,所围,原式,圆周,区域为,D ,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,9.,验证,是某个函数的全微分,并求,出这个函数,.,证,:,设,则,由定理,2,可知,存在函数,u,(,x , y,),使,。,。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,10.,设,提示,:,第四节 目录 上页 下页 返回 结束,例,11.,利用,Gauss,公式计算积分,其中, 为锥面,解,:,作辅助面,取上侧,介于,z =,0,及,z = h,之间部分的下侧,.,所围区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用重心公式,注意,机动 目录 上页 下页 返回 结束,