初等因子的定义

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,初等因子的定义,一次因式的方幂一样的必须按出现的次数计算,把矩阵 的每个次数大于零的不变因子,称为,A,的初等因子,.,分解成互不一样的一次因式方幂的乘积，所有这些,一、,初等因子的定义,2,9个,那么A的初等因子有7个，它们是,例1、假设12级复矩阵A的不变因子是:,3, 设n级矩阵A的不变因子为：,将 分解成互不相同的一次因式,二、,初等因子与不变因子的关系,的方幂的乘积:,1、分析,4,则其中对应于 的那些方幂,:,就是A的全部初等因子.,注意到不变因子 满足,从而有,因此有,5,即同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，,方次最高的必出现在 的分解式中，次高的必,出现在 的分解式中.,如此顺推下去，可知属于同一个一次因式的方幂,的初等因子，在不变因子的分解式中出现的位置是,唯一确定的.,6,设级矩阵的全部初等因子为已知.,在全部初等因子中，将同一个一次因式,的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这种初,等因子的个数缺乏n个时，那么在后面补上适当个数,的1，使其凑成,n,个，设所得排列为,7,于是令,则,就是A的不变因子.,8,2、例1、 3级矩阵A的初等因子为：,求A的不变因子.,解：作排列,得A的不变因子为：,9,结论1、假设两个同级数字矩阵有一样的不变因子，,那么它们就有一样的初等因子；,反之，假设它们有一样的初等因子，那么它们就有,结论2,、两个同级数字矩阵相似,可见：初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.,一样的不变因子.,它们有相同的初等因子.,3、性质,10,1,、,(,引理1,),若多项式 都与,互素，那么,三、,初等因子的求法,证：令,显然，,11,由于,故,因而,另一方面，由于,可令,其中,又,由,又得,12,同理可得,即,故,13,如果多项式 都与 互素，,2,、,(,引理2,),设,则 与 等价.,14,证：首先，,从而 二阶行列式因子相同.,其次，由引理1，有,从而 的一阶行列式因子相同.,所以， 与 等价.,15,3、(定理9) 设 将特征矩阵 进展,初等变换化成对角形,然后将主对角线上的元素分解成互不一样的一次因,式的方幂的乘积，那么所有这些一次因式的方幂一样,的按出现的次数计算就是A的全部初等因子.,16,证：设 经过初等变换化成对角形,其中 皆为首1多项式，,将 分解成互不相同的一次因式的方幂的乘积:,17,下证，对于每个一样的一次因式的方幂,在 的主对角线上按升幂排列后，得到的新对角,矩阵 与 等价.,此时 就是 的,且所有不为1的 就是A的全部,初等因子.,标准形，,18,为了方便起见，先对 的方幂进行讨论.,于是,且每一个 都与 互素.,如果相邻的一对指数,则在 中将 与 对调位置，,而其余因式保持不动，,令,由引理2,19,与,等价.,20,等价.,然后对 重复上述讨论.,从而 与对角矩阵,21,如此继续进展，直到对角矩阵主对角线上元素所含,的方幂是按逆升幂次排列为止.,再依次对作同样处理.,最后便得到与 等价的对角阵,都是按升幂排列的，,的主对角线上所含每个相同的一次因式的方幂,即为 的标准形.,22,4、例2,、求矩阵A的初等因子,解：对 作初等变换,23,A的初等因子为:,24,四、练习,1、 7阶复矩阵A的不变因子是：,那么A的全部初等因子为 .,2、求以下方阵,的不变因子和初等因子,1,2,25,Thank You,世界触手可与,携手共进，齐创精品工程,26,Thank You !,不尽之处，恳请指正！,