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第二章 导数与微分,导数和微分不仅是微分学的两个根本概念，也是研,究函数性质的根本方法。,研究函数不仅要了解函数如何随自变量变化而变化,还需要了解当自变量发生一定改变时，因变量相应改变,了多少及其随自变量变化的快慢程度，这就是微分及导,数研究的问题。,中国药科大学 数学教研室 杨访,第一节 导数的概念,本节概要,函数的性质取决于其对应法那么，但仅仅依,据对应法那么并不便于研究和认识函数的函数的,性质。,导数就是函数的变化率，即函数随自变量,变化的快慢程度。利用导数可以方便地对函数,的性质进展研究。,(1),切线问题的古典认识,曲线切线的研究是一个古老的问题，它是导致微分,学产生的源头问题之一。在微积分创立之前，这一问题,一直没有得到完全解决。,古希腊人最初研究的是圆,的切线，通过对圆的切线的认,识将曲线的切线定义为和曲线,只有一个交点的直线。,一. 引例,1. 切线问题,通过对圆锥曲线的研究又将切线的,定义修改为和曲线只有一个交点并位于,曲线一侧的直线是曲线的切线。,近代通过对函数曲线的研究又进,一步认识到，曲线切线确实定是一个,动态的过程，它是常量数学所不能表,述和解决的。只有通过变量数学的研究,才能最终解决曲线的切线问题，而,切线问题的研究和解决又推动和,激发近代数学的形成和开展。,对曲线切线的古典认识,切线,割线,切线,什么线,函数曲线切线引出的问题,切线,通过对函数曲线的研究，曲线切,线的古典定义显得不能满足要求了。,(2),曲线切线的定义,尽管曲线和坐标系及函数有着密切的联系，,但曲线,本身还是独立的几何概念，因此仍有必要用几何方法独,立定义曲线的切线。,从运动和极限的观点看，,曲线切线和相应的割线之间有,着密切联系，曲线切线可看成,是由割线按一定的方式运动所,形成的。于是可将曲线切线定义为,当动点趋于定点时，割线的极限位置。,设有曲线 C 及 C 上一点 M ，另取 C 上一点 N，作,曲线 C 的割线 M N ，当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时，,如果割线 M N 绕点 M 旋转而趋于,极限位置 M T，那么直线 M T 就称为,曲线 C 在点 M 处的切线。,割线的极限位置的含义是：,只要弦长|MN | 0，就有, NMT 0 .,曲线切线的几何定义,函数曲线的切线定义,在直角坐标系中，假设曲线 C 的方程为 y = f( x ).,设有 C 上一定点 M 0 ，其坐标为 M0( x 0 ,y 0 )，另取 C 上,一点 N ，其坐标为 N( x ,y )，那么点 N 沿曲线 C 趋向于,点 M 0 的过程对应于 x x 0 ,割线 M0 N 的极限位置对应于过,点 M 0 ，并以,为斜率的直线 M 0 T .,函数曲线在一点处的切线,从分析角度看，曲线 y = f( x )在点 M( x 0 ,y 0 )处,存在切线对应于函数 f( x )在点 x 0 有有限的斜率值。,假设采用增量记号 x = x - x 0， y = f( x )- f( x 0 ),那么此斜率可表为,由此可见，函数曲线切线问题本质上是函数在某,点的“变化率问题，这与变速直线运动速度问题在,本质上是一样的。,函数曲线切线的分析本质,结果说明,例：设有作变速直线运动的物体，其路程函数为,S = S( t )，t 0 ,T ，,求该物体在时刻 t = t 0 时的速度 V( t 0 ),对非匀速直线运动，由于在同样长的时间段内,物体走过的路程不尽一样，故不能直接利用速度公式,V = S/T 计算其速度。,分析,2. 速度概念,然而，变和不变是相对的，因此可考虑取较短的时,间段，在此时间段内物体可近似看作匀速直线运动，于,是可将变速直线运动局部视作匀速直线运动进展考察。,因此，可借助于平均速度考察物体其在时刻 t = t 0,时的速度 V( t 0 ).,取小时间段 t 0 ,t 0+ t ，在该时间段内物体运动的,平均速度为,解,通过平均速度考察某时刻的速度,由速度函数的连续性，该平均速度是物体在时刻,t = t 0 时的速度V( t 0 )的近似值，且| t |=| t - t 0 |越小，,作为 V( t 0 )的近似值就越准确，故有,然而，不管| t |=| t - t 0 |多么小， 毕竟只是,V( t 0 )的具有某种准确度的近似值，而非准确值。,由于准确与近似是相对的，为求 V( t 0 )的准确值，,只需让 | t | 0 ，于是有,以上讨论不仅求得了变速直线运动物体在某时刻,t 0 的速度表达式，也导出了直线运动速度的一般定义,即速度概念本质上是路程函数变化的“快慢程度，,它反映的不是路程函数 S = S( t )随时间 t 的变化规律，,而是路程函数随时间 t 变化的“变化率的大小。,抽去问题的物理意义，便得一般函数“变化率,的概念：,变化率的概念,结果说明,二. 导数的定义,函数的变化率问题不仅普遍存在，而且具有更深刻,分析意义，它反映了函数变化的剧烈程度。这种函数变,化剧烈程度的量化不仅更深刻地提醒,函数的内在性质，也成为研究函数,性质的工具和方法。,将这一概念抽象成一般数学形,式就是导数。,1. 函数在一点的导数与导函数,设函数 y = f( x )在点 x 0 的某个邻域内有定义，当,自变量 x 在点 x 0 处取得增量 x( x 0 + x 也在该邻域内),时，相应地函数 y 取得增量 y = f( x )- f( x 0 ).,如果 y 与 x 之比当 x 0 时极限存在，那么称,函数 y = f( x )在点 x 0 处可导，并称此极限为函数 f( x ),在点 x 0 处的导数，记为：y | x = x 0 ，即,(1),函数在一点的导数定义,(2),导数记号说明,微积分初创时，诸多数学家投入了微积分的研究，,由于当时科技界尚缺乏统一管理，数学家大都独立从事,研究。对导数这一新概念，早期的研究者们多采用各自,的符号表示，当人们发现有必要对数学记号进展统一时,先行者们已用各自的记号发表了诸多文章和书籍，以至,统一符号后人将难以看懂这些文献。,此外，不同导数记号虽表达同,一概念，但也有一些细微的差异，,应用时各有其利弊。因此这些早,期的导数记号便被保存下来了。,函数 y = f( x )在点 x 0 处可导有时也说成是 f( x )在,点 x 0 具有导数或导数存在，导数记号也可记作：,常用的导数定义形式还有：,不同导数记法虽然形式上不尽一样，但它们在概念,上是一致的，这些记法也都是等价的。,导数记号的几种等价表示形式,对应于极限,在的情形，称函数 y = f( x )在点 x 0 处不可导，但假设,，通常称 f( x )在点 x 0 处的导数为无穷。,这样称呼的原因在于当导数为无穷时，虽然同是导数不,存在，但此时函数性质与导数存在的,情形是类似的。,从几何上看，当导数为无穷时，,曲线仍然有切线，所不同的只是此,时的切线是铅直的而已。,导数不存在与无穷导数,导数为无穷时曲线的切线,如果函数,y = f,(,x,),在开区间,I,内每一点都可导，,就,称函数,f,(,x,),在开区间,I,内可导。,开区间,I,可以是有限区间，也可以是无穷区间。,如,I =,(,a,b,)，,I =,(,-,+,)，,I =,(,a,+,),等,。,(3) 函数在开区间内可导与导函数的概念,函数在开区间内可导,根据函数在开区间内可导的定义，由给定函数,y = f( x )可定义一个与之相关的新函数 导函数。,假设函数 y = f( x )在开区间 I 内可导，将导数定义式,看成是一个对应法那么。按这个法那么，对 x I，极限值,是一个与 x 有关的数，对于不同的 x I，f ( x )总有确,定的值与之对应。,由函数定义，这就构成了一个新函数 y = f ( x )，,称此函数为给定函数 f( x )的导函数。在不至于引起混,淆的情况下，也将导函数 f ( x )称为 f( x )的导数。,导函数的概念,按导函数定义,其间既含 x 又含 x 对,极限过程而言，变量是 x ，,而 x 那么是常数，当极限计算完,成后,x 已不再出现，故 f ( x ),仅是 x 的函数。,导函数定义说明,导函数,f,(,x,),仅是,x,的函数,按导函数定义，函数 f ( x )在点 x 0 处的导数 f ( x 0 ),就是导函数 f ( x )中 x 取 x 0 的情形，故导函数 f ( x ),和导数值 f ( x 0 )之间有如下关系：,从计算角度看，这一关系可理解为，对于给定函数,y = f ( x )，假设要求其在某点 x 0 处的导数 f ( x 0 )，可先,求出导函数 f ( x )的一般形式，再在 f ( x )中代入 x 0 .,对初等函数而言，由于求导函数计算相对方便，,因而此关系实际给出了求初等函数导数值的一般方法。,导函数,f,(,x,),与导数值,f,(,x,0,),的关系,导数概念是复合概念，其定义过程是“构造性的,即先由函数 y = f( x )及自变量 x 的增量 x 确定函数,“平均变化率 y / x，再通过对平均变化率取极限,构造出函数的导数。,导数定义的这种“构造性实际也给出了导数的计,算方法。它可分为三个步骤：,求增量 y = f( x + x )- f( x )；,算比值 y / x ；,取极限,三. 求导数举例,例：设 f( x )= x n，求: f ( a ).,这是个根本初等函数求导数值问题，可考虑先,按定义求导函数表达式，再由导数值与求导函数的关系,计算导数值。,分析,解,按定义计算导数,求增量,y,1. 根据导数定义求基本初等函数导数,算比值,y,/, x,取极限,于是求得,(,x,n,),=,n,x,n,-,1,.,由导数值与导函数的关系，代入,x,=,a,有,f,(,a,),=,(,x,n,),|,x,=,a,=,n,x,n,-,1,|,x,=,a,=,na,n,1,.,以上计算是就幂函数的指数为正整数的情形讨论,的。实际上这一结论对幂指数为一般实数的情形也成,立。由复合函数的求导规那么还可进一步求得,结果说明,例,：,求函数,f,(,x,),=,cos,x,的导数。,于是求得,(,cos,x,),=,-,sin,x,，,x,(,-,+,),.,类似地可求得,(,sin,x,),= cos,x,，,x,(,-,+,),.,解,按定义计算导数,在上述导数计算中用到了三角函数的重要极限。,这一情形是必需注意的，因为 cos x 是最根本的三角,函数，各类三角及反三角函数导数计算都要用到此导,数结果。同时，积分学根本公式又是由导数公式逆转,而来的。因此该极限是微积分计算的一个重要支柱。,重要极限 是在弧度制下导出的，其特,点是形式简单，应用方便。但假设不在弧度制下其形式,就不会如此简洁，相应由此导出的其它结果也会变得,繁杂。,结果说明,重要极限在微积分计算中的作用,在设圆心角在度分秒制下的角度值为 度，在弧,度制下的角度值为 x 弧度，那么由二者的换算关系有, =( 180/ )x，故 x 0 0 .,由于 sin = sin x，故下在度分秒制下有,即下在度分秒制下有,而在弧度制下，( cos x ) = - sin x .,可见，在弧度制下导数计算公式是最简洁的。,例,：,求函数,f,(,x,),=,a,x,(,a ,0,a,1,),的导数。,于是求得,(,a,x,),=,a,x,ln,a,，,x,(,-,+,),.,特殊地，当,a,=,e,时有,(,e,x,),=,e,x,，,x,(,-,+,),.,解,按定义计算导数,例,：,设,f,(,x,),= log,a,x,，,(,a, 0,a,1,),，,求,:,f,(,x,),.,故求得,特殊地，当,a,=,e,时有,解,按定义计算导数,在如果没有极限结果 ，对数函数的,导数就无法求出。相应地，指数函数的导数也无法导,出。而对数函数和指数函数都是根本初等函数。因此,该极限也是微积分计算的又一支柱。,由上计算结果可见，当对数函数及指数函数底数,为 e 时，其相应的导数计算特别简单。对作为运算工,具的对数函数及指数函数而言，关键是利用它们的性,质，取什么样的数为底并不特别重要。因此为计算上,方便，在各类工程计算中大都采用以 e 为底的对数函,数和指数函数。,结果说明,重要极限在微积分计算中的作用,例：试证：, 假设 f( x )是可导奇函数，那么 f ( x )为偶函数；, 假设 f( x )是可导偶函数，那么 f ( x )为奇函数。,这是函数一般性质的证明问题，由于并未给出,f( x )的具体特性，故宜考虑根据导数定义进展讨论。,设 f( x )是奇函数，即有 f( - x )= - f( x )，要证，,f ( -x )= f ( x ).,记 f( x )的可导区间为 I，那么对 x I 有,分析,证,按定义进行证明,验证导数性质,即,f,(,x,),为偶函数,。,设 f( x )是偶函数，即有 f( - x )= f( x )，要证，,f ( -x )= - f ( x ).,记 f( x )的可导区间为 I，那么对 x I 有,即 f ( x )为奇函数。,验证导数性质,单侧导数,导数作为极限是双侧极限的概念，因此通常的导数,可称作双侧导数。,然而，在一些问题中却需要考,虑相应的单侧变化率，如闭区,间端点处的导数问题，分段函,数在分段点处的导数问题等，,因而便产生了所谓单侧导数概念。,(1),单侧导数的概念,2. 单侧导数,C. P. U. Math. Dept.,杨访,(2),单侧导数的定义,设 f( x )在点 x 0 的某个左邻域内有定义，假设极限,存在，那么称此极限,为 f( x )在点 x 0 处的左导数，记作：f -( x 0 ) ，即,设 f( x )在点 x 0 的某个右邻域内有定义，假设极限,存在，那么称此极限,为 f( x )在点 x 0 处的右导数，记作：f +( x 0 ) ，即,(3),单侧导数与双侧导数的关系,由双侧极限与单侧极限的关系知，函数,f,(,x,),在点,x,0,处导数存在的充要条件是：,f,(,x,),在,x,0,处的左、右导数存在并相等，即,f,(,x,0,),存在,f,-,(,x,0,),f,+,(,x,0,),均存在，且,f,-,(,x,0,)=,f,+,(,x,0,),(4),与单侧导数相关的问题,假设函数 f( x )在开区间( a ,b )内可导，且在区间端,点处 f +( a )、 f -( b )都存在，就称 f( x )在闭区间, a ,b 上可导。,假设分段函数在各子段上都是初等函数，那么分段函数,的导数一般应分两局部考虑：,在各子段对应的可导开区间内的按导数公式和导数,规那么求导，而在分段点处那么根据导数定义或分左、右导,数分别计算。,分段函数的导数,函数在闭区间上可导,例,：,设,f,(,x,),=,Max,x,x,2,，,x,(,0,2,),，,问：,f,(,x,),在点,x,=,1,处是否可导？,f,(,x,),是分段函数，,x,=,1,是其分段点，故应按,左右导数考察其在,x,=,1,处的可导性。,由,f,(,x,),的定义可写出其初等函数分段表达式，由,此可作出的图形并作直观分析。,解,考察分段点处的左右导数,写出,f,(,x,),的,分段表达式并作直观分析,分析,给定分段函数的图形,计算,f,(,x,),在,分段点处的左右导数,由直观可见， f( x )在点 x = 1 处不可导，但要说明,这一点还需计算并比较 f( x )在点 x = 1 处的左右导数：,因为 f -( x 0 ) f +( x 0 )，由函数在一点可导的充要,条件知：f( x )在 x = 1 处不可导。,例：设 求: f ( x ).,这是求分段函数导函数问题。,这样的问题应分两局部考虑：,在各子段的可导区间内的导数按,导数公式和导数规那么计算，分段点处,的导数按左、右导数讨论。,该分段函数定义域为( - ,+ )，,分段点为 x = 0，易看出，在分段点的两侧区间( - , 0 ),和( 0 ,+ )内，函数表达式都是初等函数，因而都是可,导的，其导数只需按导数规那么计算。在分段点 x = 0 处,的可导性是未知的，因而需讨论其可导性。,分析,解,按分段函数导数讨论法计算,求,f,(,x,),在,(,-, 0,),和,(,0,+,),内的导数,当,x,(,-,0,),时,，,f,(,x,),=,cos,x,-,1,，,f,(,x,),=,-,sin,x,当,x,(,0,+,),时,，,f,(,x,),=,x,2,，,f,(,x,),=,2,x,分段点,x,= 0,处的左、右导数分别为,由于,f,-,(,0,),=,f,+,(,0,),=,0,，故,f,(,x,),在,x,= 0,处可导,且有,f,(,0,),=,0,.,讨论,f,(,x,),在,x,= 0,处的可导性,于是求得：,四导数的几何意义,由曲线切线的讨论知：,函数 f( x )在一点 x 0 处的导数 f ( x 0 )的几何意义,为曲线 y = f( x )在点 M 0( x 0 ,f( x0 )处切线 MT 的斜率.,设 为切线 MT 与 x 轴正向的交角，那么有,(1),函数曲线的切线斜率,1. 函数在一点导数的几何意义,函数在一点的导数的几何意义,(2),函数曲线的切线方程及法线方程,由导数的几何意义容易写出曲线,y = f,(,x,),在点,M,0,(,x,0,y,0,),处的切线方程与法线方程。,切线方程:,法线方程:,由导数几何意义知，函数在一点的可导性与曲线在,相应点切线的存在性有着对应关系，即假设函数 f( x )在,点 x 0 处可导，那么曲线 y = f( x )在点 M 0( x 0 ,f( x 0 )处,存在切线。,反过来自然会考虑这样,的问题，即假设曲线 y = f( x ),在点 M 0 存在切线，函数,f( x )在点 x 0 是否可导？,2. 函数可导与曲线存在切线的区别和联系,例,：设 试讨论其在点,x,=,0,处的导数及曲线,在原点,O,(,0,0,),处的切线。,由导数定义，在点,x,=,0,处有,故函数,在点,x,=,0,处不可导。,解,考察函数在点,x,=,0,处的导数,考察曲线在原点处的切线,由图可见，尽管函,数在点,x,= 0,处导数不,存在，但曲线在原点处,仍存在铅直的切线。,由此例可知，函数,f,(,x,),在一点,x,=,x,0,处可,导与曲线,y = f,(,x,),在相应,的点,M,0,存在切切线间有,如下关系,：,切线存在,可导或导数,=,由上述讨论还可将导数与曲线的切线方程与法线方,程的关系更一般地写为：,切线方程,：,法线方程,：,y,-,f,(,x,0,),=,f,(,x,0,)(,x,x,0,)，,f,(,x,0,),为有限值,；,x,=,x,0,，,f,(,x,0,)=,.,五函数可导性与连续性的关系,(1),可导与连续的关系分析,连续与可导都是函数在一点取极限时的微观性质，,因而二者之间应是具有某种联系的。,由几何直观易想像，,函数在一点处连续与可,导的关系为：,可导 连续,(2),可导与连续的关系的证明,可导,连续,设,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处可导，即,要证,y,=,f,(,x,0,+,x,)-,f,(,x,0,),0,.,为证,y,0,，需知,y,=,f,(,x,0,+,x,)-,f,(,x,0,),的表达,式。由于条件中的,y,被约束在极限号内不便讨论，故,需先使其摆脱极限号的束缚。,由极限与无穷小的关系有,其中，当,x,0,时,，,(,x,),0 .,即有,y,=,f,(,x,0,),x + ,(,x,),x,，,从而可知，当,x,0,时有，,y,=,f,(,x,0,),x + ,(,x,),x,0,，,即,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处连续。,要说明某命题不成立，只需举反例即可。,反例,：,f,(,x,),=,|,x,|,在点,x,=,0,处连续，但其在该点处不,可导。,综上讨论证得：,连续,可导,可导 连续,
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