二面角的求法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,二面角的求法,高三一轮复习专题讲座,海阳市第二中学高三数学组 侯振良,前言：,二面角,是高中数学立体几何中,“,三大角,”,之一，是历年高考考查的重点内容。,二面角的求解有很多种不同的方法，在探究其解法的过程中，能同时对学生考察空间作图能力、空间想象能力、逻辑推理能力等，能通过对二面角的考查来考查学生对立体几何中大多数知识的掌握和运用情况。,纵观近几年山东高考和全国高考试卷，二面角成为每年的必考内容。,这里，我们将以,小组互动、探究交流,的学习方式系统地对二面角的各种求法进行研究学习。 。,教学目的：,1,、掌握二面角的定义，掌握二面角的平面角的概念；,2,、,能熟练做出或者证明二面角的平面角，掌握二面角的几种常用求法，能熟练求解二面角；,3,、提高,同学们,的空间思考能力,以及,逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力。,本课分析,：,1,、关键词：二面角、平面角、三垂线、法向量；,2,、,重难点：二面角、平面角的概念是重点；求证（做）平面角、求平面的法向量是难点；,3,、,课型：复习课,4,、,授法：小组探究 展示总结；,5,、方式：,ppt,。,探究准备：,一、忆一忆：,1,、二面角的概念，二面角的平面角的概念，二面角的大小范围；,2,、三垂线定理、平面的法向量。,探究准备：,一、忆一忆：,1,、,二面角的概念，二面角的平面角的概念，二面角的大小范围；,2,、三垂线定理、平面的法向量。,答,：,1,、二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；,平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角,就叫做该二面角的平面角。,二面角的大小范围：,0,0,，,180,0,;,2,、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直；,平面的法向量：,直线,L,垂直平面,，取直线,L,的方向向量，则这个方向向量叫做平面,的法向量。,（,显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量,）,探究准备：,二、想一想：,1,、怎样做出二面角的平面角？,（,要求：小组内交流，确定答案；然后在全班级进行交流。,）,探究准备：,二、想一想：,1,、怎样做出二面角的平面角？,答,：,1,、做二面角的平面角主要有,3,种方法：,（,1,）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的,2,条射线，这,2,条所夹 的角；,（,2,）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与,2,个半平面分别有一条交线，这,2,条交线所成的角；,（,3,）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为,A,）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为,B,）再做棱的垂线，记垂足为,C,，连接,AC,，则,ACB,即为该二面角的平面角,。,A,B,C,探究准备,：,2,、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？,2,、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？,探究准备：,答,：,相等或互补,m,互补,相等,m,探究一：,试一试,：,例1,、如图：在三棱锥,S-ABC,中，,SA,平面,ABC,，,ABBC,DE,垂直平分,SC,分别交,AC,、,SC,于,D,、,E,，且,SA=AB=,a,BC,= a.,求：平面,BDE,和平面,BDC,所成的二面角的大小。,S,A,E,C,B,D,分析,：,1,、根据已知条件提供的数量关系通过计算证明有关线线垂直；,2,、利用已得的垂直关系找出二面角的平面角。,解,：如图：,SA ,平面,ABC,SAAB,，,SAAC,，,SA BD;,于是,SB= = a,又,BC= a,，,SB=BC;,E,为,SC,的中点,，,BESC,又,DESC,故,SC,平面,BDE,可得,BDSC,又,BDSA,BD,平面,SAC,CDE,为平面,BDE,和平面,BDC,所成 二面角的平面角。,ABBC,，,AC= =,= a,在直角三角形,SAC,中，,tanSCA,= =, SCA=30,0,，,CDE=90,0,-SCA=60,0,解毕。,议一议：,刚才的证明过程中，是用什么方法找到二面角的平面角的？,请各小组讨论交流一下。,S,E,C,A,B,D,探究二：,试一试,例二,：如图：直四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,底面,ABCD,是菱形，,AD=AA,1,，,DAB=60,0,F,为棱,AA,1,的中点。,求：平面,BFD,1,与平面,ABCD,所成的二面角的大小。,A,1,D,1,C,1,B,1,A,D,C,B,F,要求,：,1,、各人思考；,2,、小组讨论；,3,、小组交流展示；,4,、总结。,A,1,D,1,C,1,C,B,1,B,D,A,P,F,如图：延长,D,1,F,交,DA,的延长线于点,P,，连接,PB,，则直线,PB,就是平面,BFD,1,与平面,ABCD,的交线。,F,是,AA,1,的中点，,可得,A,也是,PD,的中点，,AP=AB,又,DAB=60,0,且底面,ABCD,是菱形，,可得正三角形,ABD,故,DBA=60,0,P=,ABP=30,0,DBP=90,0,即,PB,DB,；,又因为是直棱柱，,DD,1,PB,PB,面,DD,1,B,故,DBD,1,就是二面角,D,1,-PB-D,的平面角。,显然,BD=AD=DD,1,DBD,1,=45,0,。即为所求,.,解毕。,解法一：,A,1,D,1,C,1,B,1,F,A,D,C,B,P,E,解法二：,如图：延长,D,1,F,交,DA,的延长线于点,P,，连接,PB,，则直线,PB,就是平面,BFD,1,与平面,ABCD,的交线；,因为是直棱柱，所以,AA,1,底面,ABCD,过,A,做,AE,PB,垂足为,E,连接,EF,由三垂线定理可知，,EF,PB,AEF,即为二面角,D,1,-PB-D,的平面角；,同解法一可知，等腰,APB,P=30,0,，,Rt,APB,中，可求得,AE= 1,，（设四棱柱的棱长为,2,）又,AF= 1,AEF=45,0,，即为所求。,思考,：,这种解法同解法一有什么异同？,解法三：,法向量法,：,建系如图：,设这个四棱柱各棱长均为,2.,则,D(0,，,0,，,0,）,D,1,（,0,，,0,，,2,）,B,（1， ，,0,） F（-1， ，1）,=,（-2，0 ，1）,=,（1， ，,-2,）,显然， 就是平面,ABCD,的法向量，再设平面,BDD,1,的一个法向量为向量,=(x,0,y,0,z,0,),。则 且,2x,0,+,0,y,0,-z,0,=0,且,x,0,+,y,0,-2z,0,=0,令x,0,=1,可得z,0,=,2,y,0,=,即,=,（ 1， ，2）,设所求二面角的平面角为,，则COS,=,= ,所以所求二面角大小为45,0,解毕,A,1,D,1,C,1,B,1,A,B,C,D,x,y,z,F,解法四：,A,1,D,1,C,1,B,1,F,C,B,D,A,如图：由题意可知，这是一个直四棱柱 ，,BFD,1,在底面上的射影三角形就是,ABD,故由射影面积关系可得,COS,=,ABD,B,1,（,是所求二面角的平面角）,以下求面积略。,点评：,这种解法叫做,“,射影面积法,”,在选择和填空题中有时候用起来会很好,总一总,：,求二面角的方法你都学会了哪些？每一种方法在使用上要注意什么问题？,请同学们先自己思考，然后小组内交流学习一下。,二面角的几种主要常用的求法：,1,、垂面法,。,见例一和例二的解法一；,2,、三垂线法。,见例二的解法二；,3,、射影面积法。,见例二的解法三；,4,、法向量夹角法。,见例二的解法四。,其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的方法 ，也称为,直接法,；射影面积法和法向量法是没有找出平面角而求之的方法，也称之为,间接法。,这几种方法是现在求二面角的常用的方法，在高考中经常被考查；尤其是向量法，更有着广泛的被考查性，在应用的时候主要注意以下两点：,1,、,合理建系,。,本着,“,左右对称 就地取材,”,的建系原则。,2,、,视图取角,。,由于法向量的取定有人为的因素，其夹角不一定正好是二面角的平面交的大小，我们要视原图形的情况和题意条件进行正确的选择大小，即要么是这个角，要么是它的补角。,点 评,试一试,：,例1,、如图：在三棱锥,S-ABC,中，,SA,平面,ABC,，,ABBC,DE,垂直平分,SC,分别交,AC,、,SC,于,D,、,E,，且,SA=AB=,a,BC,= a.,求：平面,BDE,和平面,BDC,所成的二面角的大小。,S,A,E,C,B,D,请同学们将刚才的例一用其他方法试一下,：,规范训练一,1,、,（本小题为,2007,年山东高考试卷理科,19,题）,如图，在直四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,已知：,DC=DC,1,=2AD=2AB,AD,DC, AB/DC,（,）设,E,是,DC,的中点，求证：,D,1,E /,平面,A,1,BD,；,（,）求二面角,A,1,-BD-C,1,余弦值。,规范训练二：,2,、（本小题为,2008,年山东高考理科试卷,20,题）,如图，已知四棱锥,P-ABCD,，底面,ABCD,为菱形，,PA,平面,ABCD ,ABC =60,0,，,E,、,F,分别是,BC,、,PC,的中点,（,）证明：,AE,PD,；,（,）若,H,为,PD,上的动点，,EH,与平面,PAD,所成最大角的正切值为 ，求二面角,E-AF-C,的余弦值,谢谢大家的合作,祝大家学习进步,再见,