MHDwave磁流体力学波动

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,磁流体力学波动,胡友秋,中国科学技术大学地球和空间科学学院,2003.5.26.,一、 引 言,二、 线性波,三、,WKB,波,四、 简单波,五、 激 波,六、 黎曼问题,研究磁流体波动的意义,磁化等离子体运动的主要形态,磁流体力学诞生的标志（,Alfv,n, 1943),等离子体能量传输和转化的重要媒介,等离子体特性的诊断手段,影响空间天气的重要因素,一、 引 言,2. 波动解存在的判据及方程分类,以平面电磁波为例，基本方程及求解过程如下：,判据：可化为波动方程的物理系统存在波动解；,问题：只适合具有单一波动模式的线性系统。,求形如,exp(,ikx,-i,t,),的波动解：,直接从原一阶偏微分方程组出发：,存在非零解（非平凡解）的充分必要条件是,其中,为实数。注意，,即为系数矩阵,A,的本征值。,判据：系数矩阵存在实本征值的系统存在波动解，本征值,即波的相速度。,一阶偏微分方程组分类：双曲型；椭圆型；广义双曲型,小扰动近似小幅度线性波,WKB,近似（几何光学近似）非均匀媒质中的短波（有限幅度线性波）,相似解方法非线性波（有限幅度）,求解边值关系激波和间断,黎曼问题（激波管问题）初始间断分解,数值模拟,磁流体力学波动求解方法,从基本方程（5）出发，令,二、 线性波,小扰动方程,式中,U,为定态，满足,A,(,U/x,) =0.,只保留一级小量,，得,上述方程为变系数线性偏微分方程，一般难以解析求解。对无限均,匀媒质，,A,为常数矩阵，化为常系数线性偏微分方程：,于是，我们可借用,常系数线性偏微分方程分析的现成结论：存在波,动解的条件是,A,存在实本征值,，,每个本征值对应一种波模。,2. 磁流体力学小扰动波的分类, 为何8个方程减至7个？（,B,0,使得,B,x,=,常数，减少1个方程）,A,的本征值：,结论：存在7个波模：分别为熵波（对流结构），前、后向阿尔文波、前、后向慢波和前、后向快波。,WKB,波为,波长远远小于非均匀媒质的变化尺度的波动，即,三、,WKB,波,何谓,WKB,波？,WKB,法,是分析非均匀媒质中波传播问题的最成功的方法之一，创始于1915年。1926年，,Brillouin,Wentzel,和,Kramers,将这个方法引入量子力学求解薛定諤方程，后人称之为,WKB,法。,当用于光波传播时又称为“几何光学方法”。在,WKB,近似下，波,矢,k,和波幅,f,随时空缓慢变化，变化时空尺度与媒质变化的时空尺度相当。将,WKB,解代入原方程，将快变化部分和慢变化部分分开，分别求得：, 相位,S,满足的方程：色散关系和射线方程；, 波幅,f,满足的方程：波能方程。, 媒质本身的动力学方程：含波对流体的反作用,参考书：,1. 叶公节，刘兆汉，电离层波理论，科学出版社，1983，第5章.,2. 涂传诒，日地空间物理学，科学出版社，1988，第2章.,太阳风中的阿尔文脉动,阿尔文波压方程（,Y.C,.,Whang, 1980),阿尔文波串级功率谱方程,（,涂传诒等, 1984),多成分等离子体阿尔文波串级功率谱方程,（,Hu,&,Habbal, 1999),3. 波流相互作用和太阳风加热与加速, 阿尔文波对太阳风的反作用,（1）,通过波压梯度对太阳风实施延伸式加速,（2）通过串级耗散对太阳风实施延伸式加热和加速,（3）波能沿各离子成分的分配由等离子体动力论或,有关经验公式决定, 阿尔文波驱动的太阳风模型：,（1）一维电子质子太阳风模型,Tu, 1987;,Tu,&,Marsch, 1997;,胡友秋等, 1999;,李醒等, 1999.,（2）,一维多成分太阳风模型：重离子优势加热与加速,胡友秋,Habbal, 1999;,胡友秋等, 2000；,束传仲,陈非,涂传诒,2001.,（3）,二维电子质子太阳风模型,Usmanov,et al., 2000;,陈耀,胡友秋, 2001;,胡友秋等, 2003a, 2003b;,李波等, 2003.,四、 简单波,何谓简单波？,形如,的相似解称为简单波,。上式中的,的等值面表示等相面。简单波为有限幅度的非线性波。其中，无限窄的稀疏简单波又称为,中心简单波,。,简单波存在条件,二自变数一阶齐次偏微分方程,系数矩阵与自变数无关,系数矩阵的本征值为实数,前面提到的一维,MHD,方程（5）和（8）式正好满足上述条件，故存在简单波。,将（13）式代入（5）式得以,为自变数的,常微分方程组如下：,2. 简单波基本方程,式中,表示简单波等相面的传播速度，即波的相速度。,由（14）得出如下结论：,（1）有非平凡解的条件要求,为,A,的本征值，因此简单波具有和线性波同样的波模和传播速度，不同的只是简单波为有限幅度非线性波，各处波速可能不同，导致波形发生变化。,（2）,dU,/d,为对应本征值,的右本征矢 ：,上式即为波速为,的,简单波所满足的常微分方程组。,3. 矩阵,A,的右本征矢,v,x,1,0,0,0,0,0,0,v,x,v,Ax,0,0,0,v,x,v,s,1,a,2,v,x,v,f,1,a,2,MHD,简单波的分类,(1) 熵简单波,为纯密度波或熵波，简单波区流速、磁场和压强均连续。熵简单波属于对流结构，接触间断的对流运动属于熵简单波的特例。,(2) 阿尔文波：,对前向阿尔文波有,密度、压强均匀，沿波传播方向的流速（和磁场）也均匀，只是切向流速和切向磁场变化。由上式可导出：,通过坐标系选择，可实现,v,v,A,0,。,于是有,分别对应沿磁场方向和逆磁场方向传播的阿尔文波。,为不可压缩圆偏振波，传播速度均匀，波形不变,切向流速和切向磁场大小不变，同方向旋转,沿磁场传播，,v,和,v,A,反向,；,逆磁场传播， 二者同向,(3) 磁声波：,由,d,/d,0，,不妨取,.,以,为自变数，令,u,=,v,s, ,v,f,四种磁声波的方程可统一写成：, 磁场和流场共面，线偏振,（比较阿尔文波）, 熵均匀，密度、压强和温度同相,（比较激波）, 前向波（,u, 0），,法向流速,v,x,和密度同相，后向波反相, 快波（,u,v,f,），,磁场幅度与密度,同相，慢波,（,u,v,f,）,反相, 法向流速波形随,x,增加,上升部分为稀疏波，下降部分为压缩波。,在以下分析中假定,v,x,0，,沿流动方向（即沿,x,轴正向）传播的波称为前向波。,由法向流速,v,x,、,密度,和切向磁场的波形判断简单波类型的三原则：,流速剖面随,x,下降段为压缩波，上升段为稀疏波；,密度与磁场,幅度,同相变化为快波，反相变化为慢波；,流速与密度同相变化为前向波，反相变化为后向波。,条件：各简单波彼此分离且充分发展,举例： 1 2 3 4 5 6,v,x,|B,|,前向快,压缩波,答案,前向慢压缩波,后向慢压缩波,后向快压缩波,后向快稀疏波,前向慢稀疏波,四、 激波,引 言,有限幅度的压缩简单波经非线性变陡形成的强间断。,不妨设,v,x, 0，,压缩波条件要求,d,v,x,/,dx, 0,，,我们有,激波的产生,波区切向磁场同向：形成快（慢）激波；,即：快压缩波变陡形成快激波,慢压缩波变陡形成慢激波,波区切向磁场反向：形成中间激波（,C.C.,Wu, 1987,1988,1990),前向压缩波,(,d,/,dx, 0),：,磁流体激波研究简史,1. 早期基本理论研究（19501963）,F. De,Haffman,& E. Teller, Magneto-hydrodynamic shocks,Phys. Rev.,8, 692, 1950.,T. E. Anderson,Magnetohydrodynamic,Shock Waves, MIT press, 1963.,从,Rankine,-,Hugoniot,关系出发讨论激波特性和分类，从耗散,MHD,理论出发讨,论激波层结构，从线性理论出发分析激波的稳定性和进化性。,2. 磁流体激波的空间应用研究（19631987）,E. N. Parker,Interplanetary Dynamical Processes, Wiley-,Interscience, 1983.,对行星际空间动力学结构和激波图象的理论预言；对空间激波的直接观测；,无碰撞激波理论；磁场重联中的激波间断；行星际耀斑激波的三维传播特性；激,波的数值模拟研究。,3. 磁流体激波理论的纵深发展（1987）,C. C. Wu, Formation, structure, and stability of MHD intermediate shocks,J.,Geophys,. Res.,95,8149, 1990.,MHD,中间激波的形成和稳定性(,Wu, 1987, 1988, 1990)；,磁流体力学混合激波,（,Hu, 1990, 1992; Lee et al., 1993;,Steinolfson,&,Hundhausen, 1989, 1990)；,多成分、,多物理过程的激波研究；,MHD,黎曼问题；激波算法（激波装配法）研究。,2. 激波分类,质量通量：,动量通量：,切向电场：,能量通量：,激波关系：,备注：,8个因变量为何只留下4个（,，,v,n,，,p,，,B,）,？,由,Ranking-,Hugoniot,关系可知激波共面，减少2个因变量；,由激波坐标系中流速与磁场平行，因变量又减少1个；,由法向磁场连续，,B,n,将以参数形式出现。, 在激波坐标系（,De,Haffman,Teller,坐标系）中,：,给定质量、动量、能量通量和切向电场时(21)-(24)的解：,式中,：,对函数,f,作定性分析（如,f,(0),f,(,),f, f,”,）后可绘出如下,f,v,n,曲线:,1,2,3,4,f,0,v,n,v,4,v,3,v,2,v,1,v,sm,v,fm,v,*,Alfven,点,v,14,为所求的方程（26）的4个根，分别对应亚慢波速、超慢亚阿尔文波速、超阿尔文亚快波速和超快波速。,f=E,f,（,v,n,）,v,sm,:,：,慢波速点,v,fm,:,：,快波速点, 激波条件和激波分类,：,熵增加条件：,激波只能是压缩波；,激波进化的充分必要条件：,在任意给定的入射波作用下，激波阵面的发射波存在并被唯一确定。,Lax,条件：激波阵面发射波的数目为6；,Syrovatskii,条件：6个发射波中应包括4个磁声波和2个阿尔文波。,(,a),满足激波关系的解的总数,A,4,2,12；,(,b),其中满足熵增加条件（即压缩波条件）的只有6个：,1,2：快激波（跨快波速）；,3,4：慢激波（跨慢波速） ；,1,3，,1,4，,2,3，,2,4：中间激波（跨阿尔文波速）。,(,c),中间激波不满足进化条件：,1,3型及,2,4 型：5个发射波；,1,4型：4个发射波；,2,3型：6个发射波，但其中包括5个磁声波和1个阿尔文波。,关于中间激波的新观点（,Wu, 1990),理想,MHD,对中间激波失效，应运用耗散,MHD；,在耗散,MHD,下，,激波为连续解。, 中间激波可通过磁声波（具反向切向磁场）变陡形成。, 在耗散,MHD,下，激波过渡层是有结构的。快、慢激波的过渡,层结构唯一存在；1,4激波层结构存在2个自由参数，,1,3和,2,4激波层存在一个自由参数，自由参数与相应发射波的数目,之和正好是6，满足进化条件；,2,3激波过渡层结构唯一，但,一般是三维的，因此无法将磁声波和阿尔文波方程去耦，无需,满足,Syrovatskii,条件，故此也是进化的。, 对非共面情况，存在时变中间激,波，实现对磁场的旋转，取代,阿尔文旋转间断的作用；后者在耗散,MHD,下是不稳定的。,已知激波参数求解激波,(1) 激波参数,密度比,切向磁场比,气压比,总压比,激波求解：已知上游态、一个激波特性参数和待求激波类型,，,求解激波下游态。通常可给定激波速度，或密度比，或气压比，或总压比，或切向磁场比，最终归结为求解3次代数方程。根据激波类型，从中选择要求的根。,(3) 激波参数空间的激波特性等值线：常在,A,1,空间、,空间或 空间绘出另一个特性参数的等值线。,5. 激波识别,由上、下游流速识别激波类型,1,2快激波：上游超快波速，下游亚快波速、超阿尔文波速；,3,4慢激波：上游超慢波速、亚阿尔文波速，下游亚慢波速；,1,3中间激波：上游超快波速，下游亚阿尔文波速、超慢波速；,1,4中间激波：上游超快波速，下游亚慢波速；,2,3中间激波：上游超阿尔文波速、亚快波速，下游亚阿尔文波速、超慢波速；,2,4中间激波：上游超阿尔文波速、亚快波速，下游亚慢波速。,由流速、密度和磁场波形识别激波类型,举例： 1 2 3 4 5 6,v,x,|B,|,前向快,激波,答案,前向慢激波,后向慢激波,后向快激波,后向中间激波,前向中间激波,6. 激波系统和混合激波,激波系统：由彼此隔离的多个激波构成的系统。,举例：,v,x,|B,|,快激波对,双重激波对,2个前向快激波,2个前向慢激波,混合激波：由不同类型的多个激波相继连接形成的单个激波。,激波之间的连接满足一定规则，快激波必须通过中间激波才能同慢激波相连（胡友秋，1990，1992）。行星际扰动有可能发展成为混合激波，磁场重联中也可能会出现混合激波。,五、 黎曼问题,1. 何谓黎曼问题？,下述定解问题称为黎曼问题：,式中,U,1,和,U,2,为常矢量。,按方程形式分类：, 流体力学黎曼问题，磁流体力学（,MHD）,黎曼问题, 理想,MHD,黎曼问题，耗散,MHD,黎曼问题,2. 黎曼问题举例,激波管问题：长直圆柱管内置一隔板，隔板两侧各填入不同静止流体，即,但密度和压强不同。然后抽走隔板，求激波管内流体状态的时间演化。,激波相互作用问题：两同向传播激波的汇合或两迎面传播的激波的碰撞。,此时，,U,1,表示右面激波的右侧状态，,U,2,表示左面激波的左侧状态。通过,求解对应的黎曼问题，可确定作用产物及其演化。,U,2,U,1,x=,0,x,v,2,v,1,U,2,U,1,U,i,v,2,v,1,U,2,U,1,U,i,激波汇合,激波碰撞,3. 黎曼问题的适定性,Lax,定理,（,Lax, A. D.,Communs,. Pure &,Appl,. Math., 10(1957), 537.),在,U,2,周围存在一个邻域：若,U,1,属于该邻域，则黎曼问题的解存在,，,原间断被分解为由激波、中心简单波和例外间断分隔开的一列中间态；若分解产物也位于该邻域，则解唯一。,（,注：,例外间断包括接触间断、切向间断和旋转间断）,流体力学的黎曼问题适定，即给定,U,1,和,U,2,，,黎曼,问题的解存在、唯一、稳定(,Kotchine, 1926; Liu, 1986)。,MHD,共面黎曼问题的解存在且唯一。,1,胡友秋，荀笑冬，磁流体力学的共面黎曼问题，空间科学学报，,15,(,1995), 91.,2 胡小龙，胡友秋，再论磁流体共面黎曼问题，空间科学学报，,17,(,1997), 119.,MHD,非共面黎曼问题的适定性尚未得到证明。由于磁场的旋转可分别通过前向、后向旋转间断实现，这将导致解不唯一。考虑到旋转间断在耗散,MHD,下是不稳定的，因而解也是不稳定的,。,4.,MHD,共面黎曼问题求解（黎曼分解）,对,MHD,共面黎曼问题，共涉及5个因变量（法向磁场,B,n,作为参,数）和5种波模：前向快波、前向慢波、后向慢波和后向快波。,黎曼问题归结为初始间断对上述5种波模的分解。,我们提出一种三参数迭代法（胡小龙，胡友秋，1997），求解,上述问题，表明上述分解存在且唯一。其中，快（慢）模间断,包括快（慢）激波、快（慢）中心简单波、1,3（,2,4）型,中间激波和快（慢）合成波,（由两个传播速度相同的波组合而成）,。,U,2,U,i,F,S,S,F,J,D,5. 黎曼问题求解的应用, 激波管问题检验激波算法的有效工具, 激波相互作用产物：,已用于研究垂直激波的相互作用（,Hu,&,Habbal,1993)、,快慢激波相互作用（,胡友秋,荀笑冬，,1995,）,以及中间激波相互作用（,胡小龙,胡友秋，1997）。, 行星际脉冲扰动演化趋势：,例如常讨论的速度脉冲、压力,脉冲、温度脉冲、密度脉冲等。通过黎曼分解，可事先判断该,扰动会在行星际空间产生何种形式的扰动结构，从而对扰动传,播数值模拟起到指导和检验的作用。, 广泛用于数值模拟的算法设计：,例如激波装配法、广义,迎风（,upwind）,格式、逐段抛物线（,PPM）,格式、,总变差减少,（,TVD）,格式等，均用到黎曼求解。,