高考数学一轮 知识点各个击破 第七章 立体几何课件 文 新人教A版

质量铸就品牌 品质赢得未来,第二节 空间几何体的表面积和体积,基,础,知,识,要,打,牢,高,频,考,点,要,通,关,高,分,障,碍,要,破,除,解,题,训,练,要,高,效,目录,5,省通用（文）,质量铸就品牌 品质赢得未来,第三节 空间点、直线、平面间的位置关系,基,础,知,识,要,打,牢,高,频,考,点,要,通,关,高,分,障,碍,要,破,除,解,题,训,练,要,高,效,目录,5,省通用（文）,质量铸就品牌 品质赢得未来,第四节 直线、平面平行的判定及性质,基,础,知,识,要,打,牢,高,频,考,点,要,通,关,高,分,障,碍,要,破,除,解,题,训,练,要,高,效,目录,5,省通用（文）,质量铸就品牌 品质赢得未来,第五节 直线、平面垂直的判定与性质,基,础,知,识,要,打,牢,高,频,考,点,要,通,关,高,分,障,碍,要,破,除,解,题,训,练,要,高,效,目录,5,省通用（文）,质量铸就品牌 品质赢得未来,目录,5,省通用（文）,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,5,省通用（文）,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,高考数学一轮 知识点各个击破 第七章 立体几何课件 文 新人教A版,第七章立 体 几 何,知识能否忆起,一、多面体的结构特征,多面体,结构特征,棱柱,有两个面,，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都,_,棱锥,有一个面是,，而其余各面都是有一个,_,的三角形,棱台,棱锥被平行于,的平面所截，,和,之间的部分,互相平行,平行且相等,公共,顶点,底面,截面,底面,多边形,二、旋转体的形成,几何体,旋转图形,旋转轴,圆柱,矩形,所在的直线,圆锥,直角三角形,所在的直线,圆台,直角梯形,所在的直线,球,半圆,所在的直线,三、简单组合体,简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体,任一边,一条直角边,垂直于底边的腰,直径,四、平行投影与直观图,空间几何体的直观图常用,画法来画，其规则是：,(1),原图形中,x,轴、,y,轴、,z,轴两两垂直，直观图中，,x,轴、,y,轴的夹角为,45(,或,135),，,z,轴与,x,轴和,y,轴所在平面,(2),原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍,_,平行于,x,轴和,z,轴的线段在直观图中保持原长度,，平行于,y,轴的线段长度在直观图中,斜二测,垂直,平行于坐,标轴,不变,变为原来的一半,五、三视图,动漫演示更形象,见配套课件,几何体的三视图包括,、,、,，分别是从几何体的,、,、,观察几何体画出的轮廓线,正视图,侧视图,俯视图,正前方,正左方,正上方,超链接,小题能否全取,1,(,教材习题改编,),以下关于几何体的三视图的论述中，正,确的是,(,),A,球的三视图总是三个全等的圆,B,正方体的三视图总是三个全等的正方形,C,水平放置的正四面体的三视图都是正三角形,D,水平放置的圆台的俯视图是一个圆,解析：,B,中正方体的放置方向不明，不正确,C,中三视图不全是正三角形,D,中俯视图是一个圆环,答案：,A,2,(2012,杭州模拟,),用任意一个平面截一个几何体，各,个截面都是圆面，则这个几何体一定是,(,),A,圆柱,B,圆锥,C,球体,D,圆柱、圆锥、球体的组合体,解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面,答案：,C,3,下列三种叙述，其中正确的有,(,),用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；,两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；,有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台,A,0,个,B,1,个,C,2,个,D,3,个,答案：,A,解析：中的平面不一定平行于底面，故错可用下图反例检验，故不正确,4,(,教材习题改编,),利用斜二测画法得到的：,正方形的直观图一定是菱形；,菱形的直观图一定是菱形；,三角形的直观图一定是三角形,以上结论正确的是,_,解析：中其直观图是一般的平行四边形，菱形的直观图不一定是菱形，正确,答案：,5,一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视,图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为,_,解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为,.,答案：,1.,正棱柱与正棱锥,(1),底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中,“,正,”,字包含两层含义：侧棱垂直于底面；底面是正多边形,(2),底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中,“,正,”,字包含两层含义：顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体,2,对三视图的认识及三视图画法,(1),空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形,(2),在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线,(3),三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线,3,对斜二测画法的认识及直观图的画法,(1),在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，,“,平行于,x,轴的线段平行性不变，长度不变；平行于,y,轴的线段平行性不变，长度减半,”,空间几何体的结构特征,例,1,(2012,哈师大附中月考,),下列结论正确的是,(,),A,各个面都是三角形的几何体是三棱锥,B,以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥,C,棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥,D,圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线,自主解答,A,错误，如图,1,是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；,B,错误，如图,2,，若,ABC,不是直角三角形，或,ABC,是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；,图,1,图,2,C,错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾,答案,D,解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断,1,(2013,天津质检,),如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称,它为,“,等腰四棱锥,”,，四条侧棱称为它的腰，以下,4,个命题中，假命题是,(,),A,等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等,B,等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或,互补,C,等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆,D,等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上,解析：如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，,其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与,底面所成角相等，即,A,正确；底面四边形,必有一个外接圆，即,C,正确；在高线上可,以找到一个点,O,，使得该点到四棱锥各个,顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即,D,正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补,(,若为正四棱锥则成立,),故仅命题,B,为假命题,答案,:,B,几何体的三视图,例,2,(2012,湖南高考,),某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是,(,),自主解答,根据几何体的三视图知识求解,由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是,C.,答案,C,三视图的长度特征,三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即,“,长对正，宽相等，高平齐,”,注意,画三视图时，要注意虚、实线的区别,2,(1),(2012,莆田模拟,),如图是底面为正方形、一条侧棱垂,直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的,(,),解析：由俯视图排除,B,、,C,；由主视图、侧视图可排除,A.,答案：,D,(2),(2012,济南模拟,),如图，正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的各棱长均为,2,，其正视图如图所,示，则此三棱柱侧视图的面积为,(,),答案：,D,几何体的直观图,例,3,已知,ABC,的直观图,A,B,C,是边长为,a,的正三角形，求原,ABC,的面积,自主解答,建立如图所示的坐标系,xOy,，,A,B,C,的顶点,C,在,y,轴上，,A,B,边在,x,轴上，,OC,为,ABC,的高,把,y,轴绕原点逆时针旋转,45,得,y,轴，,用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的,“,三变、三不变,”,3,如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底,角为,45,，腰和上底均为,1,的等腰梯形，那么原平面图形的面积是,(,),答案：,A,典例,(2012,陕西高考,),将正方体,(,如图,(1),所示,),截去两个三棱锥，得到如图,(2),所示的几何体，则该几何体的侧视图为,(,),尝试解题,还原正方体后，将,D,1,，,D,，,A,三点分别向正方体右侧面作垂线,D,1,A,的射影为,C,1,B,，且为实线，,B,1,C,被遮挡应为虚线,答案,B,1.,因没有区分几何体中的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线，误选,A,、,C.,2.,因为忽视了,B,1,C,被遮挡，误认为无投影，不用画出，误选,D.,3.,对于由几何体画出其三视图时，首先要看清几何体的结构特征，在绘制三视图时，若相邻两几何体的两表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都是用实线画出，被挡住的轮廓线用虚线画出，其次要注意三视图的长、宽、高的要求及排放规则,.,1,若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直,观图可以是,(,),解析：由正视图与俯视图可以将选项,A,、,C,排除；根据侧视图，可以将,D,排除，注意正视图与俯视图中的实线,答案,:,B,2,将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所,示，则该几何体的侧视图为,(,),解析：被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面,(,长方形,),的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项,D,符合,答案,:,D,教师备选题,（给有能力的学生加餐）,1,(2012,北京朝阳二模,),有一个棱长为,1,的正方体，,按任意方向正投影，其投影面积的最大值是,(,),解题训练要高效见“课时跟踪检测（四十）”,答案：,D,2,如图，,ABC,与,ACD,都是,等腰直角三角形，且,AD,DC,2,，,AC,BC,.,平面,ACD,平面,ABC,，如果以平面,AB,C,为水平平面，正视图的观察方向与,AB,垂直，则三棱锥,D,ABC,的三视图的面积和为,_,3,(2012,北京海淀,),已知正三棱柱,ABC,A,B,C,的正视图和,侧视图如图所示，设,ABC,，,A,B,C,的中心分别是,O,，,O,，现将此三棱柱绕直线,OO,旋转，射线,OA,旋转所成的角为,x,弧度,(,x,可以取到任意一个实数,),，对应的俯视图的面积为,S,(,x,),，则函数,S,(,x,),的最大值为,_,；最小正周期为,_,(,说明：,“,三棱柱绕直线,OO,旋转,”,包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，,OA,旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，,OA,旋转所成的角为负角,),知识能否忆起,柱、锥、台和球的侧面积和体积,2,rl,rl,(,r,1,r,2,),l,Sh,r,2,h,Ch,Sh,4,R,2,小题能否全取,1,(,教材习题改编,),侧面都是直角三角形的正三棱锥，底,面边长为,a,时，该三棱锥的全面积是,(,),答案：,A,2,已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为,3,，则这个四,棱锥的外接球的表面积为,(,),A,12 B,36,C,72 D,108,答案：,B,3.,某几何体的俯视图是如图所示的矩,形，正视图是一个底边长为,8,，高,为,5,的等腰三角形，侧视图是一个,底边长为,6,，高为,5,的等腰三角形，,则该几何体的体积为,(,),A,24 B,80,C,64 D,240,答案：,B,4,(,教材习题改编,),表面积为,3,的圆锥，它的侧面展开图,是一个半圆，则该圆锥的底面直径为,_,解析：设圆锥的母线为,l,，圆锥底面半径为,r,，,则,rl,r,2,3,，,l,2,r,.,解得,r,1,，即直径为,2.,答案：,2,5.,某几何体的三视图如图所示，,其中正视图是腰长为,2,的等腰,三角形，侧视图是半径为,1,的,半圆，则该几何体的表面积,是,_,1.,几何体的侧面积和全面积：,几何体侧面积是指,(,各个,),侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行,2,求体积时应注意的几点：,(1),求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决,(2),与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性,3,求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理,(2012,安徽高考,),某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是,_,几何体的表面积,自主解答,由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,(,如图所示,),答案,92,1,以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量,2,多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理,3,旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用,答案,:,D,几何体的体积,例,2,(1),(2012,广东高考,),某几何体的三视图如图所示，它的体积为,(,),A,72,B,48,C,30 D,24,(2),(2012,山东高考,),如图，正方,体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱长为,1,，,E,为线,段,B,1,C,上的一点，则三棱锥,A,DED,1,的,体积为,_,自主解答,(1),由三视图知，该几何体,是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所,示，圆锥的底面半径为,3,，高为,4,，半球的半,径为,3.,本例,(1),中几何体的三视图若变为：,其体积为,_,答案：,24,1,计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,2,注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握,3,等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用,“,等积法,”,可求,“,点到面的距离,”,2,(1),(2012,长春调研,),四棱锥,P,ABCD,的底面,ABCD,为正,方形，且,PD,垂直于底面,ABCD,，,N,为,PB,中点，则三棱锥,P,ANC,与四棱锥,P,ABCD,的体积比为,(,),A,1,2 B,1,3,C,1,4 D,1,8,答案：,C,(2)(2012,浙江模拟,),如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是,(,),答案：,B,与球有关的几何体的表面积与体积问题,例,3,(2012,新课标全国卷,),已知三棱锥,S,ABC,的所有顶点都在球,O,的球面上，,ABC,是边长为,1,的正三角形，,SC,为球,O,的直径，且,SC,2,，则此棱锥的体积为,(,),答案,A,1,解决与球有关的,“,切,”,、,“,接,”,问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系,2,记住几个常用的结论：,(1),正方体的棱长为,a,，球的半径为,R,，,正方体的内切球，则,2,R,a,；,(3),正四面体的外接球与内切球的半径之比为,1,3.,3,(1),(2012,琼州模拟,),一个几何体的三视图如图所示，其,中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为,(,),某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过,“,补形,”,补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略,补形法,.,常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形,.,对于还原补形，主要涉及台体中,“,还台为锥,”,问题,.,1,对称补形,典例,1,(2012,湖北高考,),已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为,(,),答案,B,题后悟道,对称,”,是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发现对称关系对空间想象能力的提高很有帮助,题后悟道,三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，则此几何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求,教师备选题,（给有能力的学生加餐）,1,两球,O,1,和,O,2,在棱长为,1,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的内部，且互相外切，若球,O,1,与过点,A,的正方体的三个面相切，球,O,2,与过点,C,1,的正,方体的三个面相切，则球,O,1,和,O,2,的表面积之,和的最小值为,(,),解题训练要高效见“课时跟踪检测（四十一）”,答案：,A,2,已知某球半径为,R,，则该球内接长方体的表面积的最,大值是,(,),A,8,R,2,B,6,R,2,C,4,R,2,D,2,R,2,答案：,A,3.,右图是一个几何体的三视图,(,侧视图中的,弧线是半圆,),，则该几何体的表面积是,(,),A,20,3,B,24,3,C,20,4,D,24,4,答案：,A,答案：,D,5,(2012,上海高考,),如图，,AD,与,BC,是四面,体,ABCD,中互相垂直的棱，,BC,2.,若,AD,2,c,，且,AB,BD,AC,CD,2,a,，其中,a,，,c,为常数，则四面体,ABCD,的体积的,最大值是,_,知识能否忆起,一、平面的基本性质,名称,图示,文字表示,符号表示,公理,1,如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内,A,l,，,B,l,，且,A,，,B,_,l,Z,名称,图示,文字表示,符号表示,公理,2,过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面,公理,3,如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,P,，且,P,_,_,l,，且,P,l,二、空间直线的位置关系,1,位置关系的分类,相交,一个,平行,没有,没有,没有,2,平行公理,平行于同一条直线的两条直线互相,平行,3,等角定理,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角,4,异面直线所成的角,(,或夹角,),(1),定义：设,a,，,b,是两条异面直线，经过空间中任一点,O,作直线,a,a,，,b,b,，把,a,与,b,所成的,叫做异面直线,a,与,b,所成的角,(2),范围：,_.,相等或互补,锐角,(,或直角,),超链接,动漫演示更形象，见配套课件,三、直线与平面的位置关系,位置关系,图示,符号表示,公共点个数,直线,l,在平面,内,_,_,直线,l,与平面,相交,_,_,直线,l,与平面,平行,_,_,l,无数个,l,A,一个,l,0,个,四、平面与平面的位置关系,位置关系,图示,符号表示,公共点个数,两个平面平行,_,_,两个平面相交,_,l,_,个,(,这些公共点均在交线,l,上,),0,个,无数,小题能否全取,1,(,教材习题改编,),已知,a,，,b,是异面直线，直线,c,平行于,直线,a,，那么,c,与,b,(,),A,异面,B,相交,C,不可能平行,D,不可能相交,解析：由已知直线,c,与,b,可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若,b,c,，则,a,b,.,与,a,，,b,是异面直线相矛盾,答案：,C,2,(2013,东北三校联考,),下列命题正确的个数为,(,),经过三点确定一个平面；,梯形可以确定一个平面；,两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；,如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合,A,0 B,1,C,2 D,3,解析：错误，正确,答案：,C,3,已知空间中有三条线段,AB,，,BC,和,CD,，且,ABC,BCD,，那么直线,AB,与,CD,的位置关系是,(,),A,AB,CD,B,AB,与,CD,异面,C,AB,与,CD,相交,D,AB,CD,或,AB,与,CD,异面或,AB,与,CD,相交,解析：若三条线段共面，如果,AB,，,BC,，,CD,构成等腰三角形，则直线,AB,与,CD,相交，否则直线,AB,与,CD,平行；若不共面，则直线,AB,与,CD,是异面直线,答案：,D,4,(,教材习题改编,),如图所示，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别是,AB,，,AD,的中点，则异面直线,B,1,C,与,EF,所成的角的大小为,_,解析：连接,B,1,D,1,，,D,1,C,，,则,B,1,D,1,EF,，,故,D,1,B,1,C,为所求，又,B,1,D,1,B,1,C,D,1,C,，,D,1,B,1,C,60.,答案：,60,5,(,教材习题改编,),平行六面体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中既与,AB,共面又与,CC,1,共面的棱的条数为,_,解析：如图，与,AB,和,CC,1,都相交的,棱有,BC,；与,AB,相交且与,CC,1,平行,的棱有,AA,1,，,BB,1,；与,AB,平行且与,CC,1,相交的棱有,CD,，,C,1,D,1,，故符合,条件的棱共有,5,条,答案：,5,1.,三个公理的作用,(1),公理,1,的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内,(2),公理,2,的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件,(3),公理,3,的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线,2,异面直线的有关问题,(1),判定方法：反证法；利,用结论即过平面外一点与平面内一,点的直线与平面内不过该点的直线,是异面直线，如图,(2),所成的角的求法：平移法,平面的基本性质及应用,例,1,(2012,湘潭模拟,),如图所示，,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,AB,的中点，,F,为,A,1,A,的中点，,求证：,CE,，,D,1,F,，,DA,三线共点,本例条件不变试证明,E,，,C,，,D,1,，,F,四点共面,1,证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上,2,证明点或线共面问题一般有以下两种途径：首先由所给条件中的部分线,(,或点,),确定一个平面，然后再证其余线,(,或点,),均在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合,1,(1),(2013,江西模拟,),在空间中，下列命题正确的是,(,),A,对边相等的四边形一定是平面图形,B,四边相等的四边形一定是平面图形,C,有一组对边平行的四边形一定是平面图形,D,有一组对角相等的四边形一定是平面图形,(2),对于四面体,ABCD,，下列命题正确的是,_(,写出所有正确命题的编号,),相对棱,AB,与,CD,所在直线异面；,由顶点,A,作四面体的高，其垂足是,BCD,三条高线的交点；,若分别作,ABC,和,ABD,的边,AB,上的高，则这两条高所在的直线异面；,分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点,解析：,(1),由,“,两平行直线确定一个平面,”,知,C,正确,(2),由四面体的概念可知，,AB,与,CD,所在的,直线为异面直线，故正确；,由顶点,A,作四面体的高，只有当四面体,ABCD,的对棱互相垂直时，其垂足是,BCD,的三条高线的交点，故错误；当,DA,DB,，,CA,CB,时，这两条高线共面，故错误；设,AB,，,BC,，,CD,，,DA,的中点依次为,E,，,F,，,M,，,N,，易证四边形,EFMN,为平行四边形，所以,EM,与,FN,相交于一点，易证另一组对棱也过它们的交点，故正确,答案：,(1)C,(2),异面直线的判定,例,2,(2012,金华模拟,),在图中，,G,，,N,，,M,，,H,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH,，,MN,是异面直线的图形有,_,(,填上所有正确答案的序号,),自主解答,图中，直线,GH,MN,；,图中，,G,，,H,，,N,三点共面，但,M,面,GHN,，,因此直线,GH,与,MN,异面；,图中，连接,MG,，,GM,HN,，,因此,GH,与,MN,共面；,图中，,G,，,M,，,N,共面，但,H,面,GMN,，,因此,GH,与,MN,异面,所以图中,GH,与,MN,异面,答案,1,异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到,2,客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线,2,已知,m,，,n,，,l,为不同的直线，,，,为不同的平面，有,下面四个命题：,m,，,n,为异面直线，过空间任一点,P,，一定能作一条直线,l,与,m,，,n,都相交,m,，,n,为异面直线，过空间任一点,P,，一定存在一个与直线,m,，,n,都平行的平面,，,l,，,m,，,n,，,m,，,n,与,l,都斜交，则,m,与,n,一定不垂直；,m,，,n,是,内两相交直线，则,与,相交的充要条件是,m,，,n,至少有一条与,相交,则四个结论中正确的个数为,(,),A,1,B,2,C,3 D,4,解析：错误，因为过直线,m,存在一个与直线,n,平行的平面，当点,P,在这个平面内且不在直线,m,上时，就不满足结论；错误，因为过直线,m,存在一个与直线,n,平行的平面，当点,P,在这个平面内时， 就不满足结论；正确，否则，若,m,n,，在直线,m,上取一点作直线,a,l,，由,，得,a,n,.,从而有,n,，则,n,l,；正确,答案：,B,例,3,(2012,大纲全国卷,),已知正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别为,BB,1,，,CC,1,的中点，那么异面直线,AE,与,D,1,F,所成角的余弦值为,_,异面直线所成角,求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下：,(1),一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角；,(2),二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；,(3),三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角,答案：,B,典例,(2012,浙江高考,),设,l,是直线，,，,是两个不同的平面,(,),A,若,l,，,l,，则,B,若,l,，,l,，则,C,若,，,l,，则,l,D,若,，,l,，则,l,常规解法,设,a,，若直线,l,a,，且,l,，,l,，则,l,，,l,，因此,不一定平行于,，故,A,错误；由于,l,，故在,内存在直线,l,l,.,又因为,l,.,所以,l,，故,，所以,B,正确；若,，在,内作交线的垂线,l,，则,l,，此时,l,在平面,内，因此,C,错误；已知,，若,a,，,l,a,，且,l,不在平面,，,内，则,l,且,l,，因此,D,错误,答案,B,(1),构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误,(2),对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断,巧思妙解,借助于长方体模型解决本题：,对于,A,，如图，,与,可相交；,对于,B,，如图，不论,在何位置，都有,；,对于,C,，如图，,l,可与,平行或,l,内；,对于,D,，如图，,l,或,l,或,l,.,(2012,大连二模,),平面,外有两条直线,m,和,n,，如果,m,和,n,在平面,内的射影分别是直线,m,1,和直线,n,1,，给出下列四个命题：,m,1,n,1,m,n,；,m,n,m,1,n,1,；,m,1,与,n,1,相交,m,与,n,相交或重合；,m,1,与,n,1,平行,m,与,n,平行或重合,其中不正确的命题个数是,(,),A,1,B,2,C,3 D,4,.,解析：如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中,AD,1,，,AB,1,，,B,1,C,在底面上,的射影分别是,A,1,D,1,，,A,1,B,1,，,B,1,C,1,.,A,1,D,1,A,1,B,1,，但,AD,1,不垂直,AB,1,，,故不正确；又,AD,1,B,1,C,，但,A,1,D,1,B,1,C,1,，故也不正确；若,m,1,与,n,1,相交，则,m,与,n,还可以异面，不正确；若,m,1,与,n,1,平行，,m,与,n,可以平行，也可以异面，不正确,答案：,D,教师备选题,（给有能力的学生加餐）,1,(2012,襄阳模拟,),关于直线,a,，,b,，,l,以及平面,M,，,N,，下面命题中正确的是,(,),A,若,a,M,，,b,M,，则,a,b,B,若,a,M,，,b,a,，则,b,M,C,若,a,M,，,a,N,，则,M,N,D,若,a,M,，,b,M,且,l,a,，,l,b,，则,l,M,解题训练要高效见“课时跟踪检测（四十二）”,解析：同平行于一个平面的两条直线可平行也可相交或异面，故,A,错,a,M,，,b,a,时，,b,与,M,的位置关系不确定，,B,错；当,a,b,时，,l,a,，,l,b,，,l,不一定垂直于,M,，故,D,错误,答案：,C,2,(2012,蚌埠模拟,),如图在四面体,OABC,中，,OA,，,OB,，,OC,两两垂直，且,OB,OC,3,，,OA,4.,给出如下判断：,存在点,D,(,O,点除外,),，使得四面体,DABC,有三个面是直角三角形；,存在点,D,，使得点,O,在四面体,DABC,外接球的球面上；,存在唯一的点,D,使得,OD,平面,ABC,；,存在的点,D,，使得四面体,DABC,是正棱锥；,存在无数个点,D,，使得,AD,与,BC,垂直且相等,其中正确命题的序号是,_(,把你认为正确命题的序号填上,),解析：作,OH,平面,ABC,于,H,并延长至,D,，使,OH,HD,，则四面体,DABC,与四面体,OABC,全等，故正确；,在以,O,，,A,，,B,，,C,确定的球上，显然存在点,D,满足条件，故正确；,过,O,做平面,ABC,的垂线，在垂线上取四面体,OABC,右上方外的点,D,，显然,OD,平面,ABC,，故不正确；,ABC,不是正三角形，以,ABC,为底面没有正棱锥,取,BC,的中点,O,1,，在平面,AOO,1,内取,D,，使,BC,BD,CD,3,且,AD,5,，则四面体是以,BCD,为底的正棱锥，这样的,D,点存在，所以正确,BC,垂直于所作的平面,AOO,1,，在平面,AOO,1,内以,A,为圆心，以,BC,为半径作圆，圆周上任一点满足条件，所以这样的,D,点有无数个，故正确,答案：,3,(2012,西安模拟,),在三棱锥,P,ABC,中，,PA,底面,ABC,，,AC,BC,，,PA,AC,BC,，则直线,PC,与,AB,所成角的大小是,_,答案：,60,知识能否忆起,一、直线与平面平行,1,判定定理,文字语言,图形语言,符号语言,判定定理,平面外一条直线与此,的一条直线平行，则直线与此平面平行,a,平面内,a,b,b,a,2,性质定理,文字语言,图形语言,符号语言,性质定理,一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线,_,a,b,平行,a,a,b,二、平面与平面平行,1,判定定理,文字语言,图形语言,符号语言,判定定理,一个平面内的两条,与另一个平面平行，则这两个平面平行,相交直线,a,b,a,b,P,a,b,文字语言,图形语言,符号语言,性质定理,如果两个平行平面同时和第三个平面,，那么它们的,平行,a,b,相交,交线,a,b,2,性质定理,1,(,教材习题改编,),下列条件中，能作为两平面平行的充,分条件的是,(,),A,一个平面内的一条直线平行于另一个平面,B,一个平面内的两条直线平行于另一个平面,C,一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,D,一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,解析：由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故,D,正确,小题能否全取,答案：,D,2,已知直线,a,，,b,，平面,，则以下三个命题：,若,a,b,，,b,，则,a,；,若,a,b,，,a,，则,b,；,若,a,，,b,，则,a,b,.,其中真命题的个数是,(,),A,0,B,1,C,2 D,3,解析：对于命题，若,a,b,，,b,，则应有,a,或,a,，所以不正确；,对于命题，若,a,b,，,a,，则应有,b,或,b,，因此也不正确；,对于命题，若,a,，,b,，则应有,a,b,或,a,与,b,相交或,a,与,b,异面，因此也不正确,答案：,A,3,(,教材习题改编,),若一直线上有相异三个点,A,，,B,，,C,到平面,的距离相等，那么直线,l,与平面,的位置关系是,(,),A,l,B,l,C,l,与,相交且不垂直,D,l,或,l,解析：由于,l,上有三个相异点到平面,的距离相等，则,l,与,可以平行，,l,时也成立,答案：,D,4,平面,平面,，,a,，,b,，则直线,a,，,b,的位置关,系是,_,解析：由,可知，,a,，,b,的位置关系是平行或异面,答案：平行或异面,5,(2013,衡阳质检,),在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,是,DD,1,的中点，则,BD,1,与平面,ACE,的位置关系为,_,解析：如图,连接,AC,，,BD,交于,O,点，连结,OE,，因,为,OE,BD,1,，而,OE,平面,ACE,，,BD,1,平面,ACE,，所以,BD,1,平面,ACE,.,答案：平行,1.,平行问题的转化关系：,2,在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从,“,低维,”,到,“,高维,”,的转化，即从,“,线线平行,”,到,“,线面平行,”,，再到,“,面面平行,”,；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于,“,模式化,”,3,辅助线,(,面,),是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用,线面平行、面面平行的基本问题,例,1,(2011,福建高考,),如图，正方,体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,2,，点,E,为,AD,的中点，点,F,在,CD,上若,EF,平面,AB,1,C,，则线段,EF,的长度等于,_,本例条件变为,“,E,是,AD,中点，,F,，,G,，,H,，,N,分别是,AA,1,，,A,1,D,1,，,DD,1,与,D,1,C,1,的中点，若,M,在四边形,EFGH,及其内部运动,”,，则,M,满足什么条件时，有,MN,平面,A,1,C,1,CA,.,解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：,(1),判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视,(2),结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断,(3),举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确,1,(1),(2012,浙江高三调研,),已知直线,l,平面,，,P,，那,么过点,P,且平行于直线,l,的直线,(,),A,只有一条，不在平面,内,B,有无数条，不一定在平面,内,C,只有一条，且在平面,内,D,有无数条，一定在平面,内,解析：由直线,l,与点,P,可确定一个平面,，且平面,，,有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为,m,，因为,l,，所以,l,m,，故过点,P,且平行于直线,l,的直线只有一条，且在平面,内,答案：,C,(2),(2012,潍坊模拟,),已知,m,，,n,，,l,1,，,l,2,表示直线，,，,表示平面若,m,，,n,，,l,1,，,l,2,，,l,1,l,2,M,，则,的一个充分条件是,(,),A,m,且,l,1,B,m,且,n,C,m,且,n,l,2,D,m,l,1,且,n,l,2,解析：由定理,“,如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行,”,可得，由选项,D,可推知,.,答案：,D,直线与平面平行的判定与性质,例,2,(2012,辽宁高考,),如图，直三棱柱,ABC,A,B,C,，,BAC,90,，,AB,AC,，,AA,1,，点,M,，,N,分别为,A,B,和,B,C,的中点,(1),证明：,MN,平面,A,ACC,；,自主解答,(1),证明：,法一：,连接,AB,、,AC,，因为点,M,，,N,分别,是,A,B,和,B,C,的中点，,所以点,M,为,AB,的中点,又因为点,N,为,B,C,的中点，,所以,MN,AC,.,又,MN,平面,A,ACC,，,AC,平面,A,ACC,，,因此,MN,平面,A,ACC,.,法二：,取,A,B,的中点,P,.,连接,MP,.,而点,M,，,N,分别为,AB,与,B,C,的,中点，所以,MP,AA,，,PN,A,C,.,所以,MP,平面,A,ACC,，,PN,平,面,A,ACC,.,又,MP,PN,P,，,因此平面,MPN,平面,A,ACC,.,而,MN,平面,MPN,，,因此,MN,平面,A,ACC,.,利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线,2,(2012,淄博模拟,),如图，在棱长为,2,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,，,F,分别是,BD,，,BB,1,的中点,(1),求证：,EF,平面,A,1,B,1,CD,；,(2),求证：,EF,AD,1,.,(2),ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,是正方体，,AD,1,A,1,D,，,AD,1,A,1,B,1,.,又,A,1,D,A,1,B,1,A,1,，,AD,1,平面,A,1,B,1,D,.,AD,1,B,1,D,.,又由,(1),知，,EF,B,1,D,，,EF,AD,1,.,平面与平面平行的判定与性质,例,3,如图，已知,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,是棱长为,3,的正方体，点,E,在,AA,1,上，点,F,在,CC,1,上，,G,在,BB,1,上，且,AE,FC,1,B,1,G,1,，,H,是,B,1,C,1,的中点,(1),求证：,E,，,B,，,F,，,D,1,四点共面；,(2),求证：平面,A,1,GH,平面,BED,1,F,.,常用的判断面面平行的方法,(1),利用面面平行的判定定理；,(2),面面平行的传递性,(,，,),；,(3),利用线面垂直的性质,(,l,，,l,),3,(2012,北京东城二模,),如图，矩,形,AMND,所在的平面与直角梯,形,MBCN,所在的平面互相垂直，,MB,NC,，,MN,MB,.,(1),求证：平面,AMB,平面,DNC,；,(2),若,MC,CB,，求证：,BC,AC,.,证明：,(1),因为,MB,NC,，,MB,平面,DNC,，,NC,平面,DNC,，,所以,MB,平面,DNC,.,又因为四边形,AMND,为矩形，所以,MA,DN,.,又,MA,平面,DNC,，,DN,平面,DNC,.,所以,MA,平面,DNC,.,又,MA,MB,M,，且,MA,，,MB,平面,AMB,，,所以平面,AMB,平面,DNC,.,(2),因为四边形,AMND,是矩形，,所以,AM,MN,.,因为平面,AMND,平面,MBCN,，且平面,AMND,平面,MBCN,MN,，,所以,AM,平面,MBCN,.,因为,BC,平面,MBCN,，,所以,AM,BC,.,因为,MC,BC,，,MC,AM,M,，,所以,BC,平面,AMC,.,因为,AC,平面,AMC,，,所以,BC,AC,.,立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的