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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,图形,文字语言,(,读法,),符号语言,A,a,点在直线上,点在直线外,点在平面内,点在平面外,一：,空间中,点与线,、,点与面,的位置关系,A,a,线与平面的关系用子集符号,二、平面的基本性质,公理,1,：,若一条直线的,两点,在一个平面内，则这条直线上,所有的点,都在这个平面内,即,:,这条直线在这个平面内。,作用,:,用于判定,线在面内,即,:,A,a,且,B,a,AB,a,A,B,推论,1.,一条直线和直线外一点确定一个平面。,推论,2.,两条相交直线确定一个平面。,推论,3.,两条平行直线确定一个平面。,公理,2.,不共线的三点确定一个平面,.,a,A,C,B,公理,3,：,若两个不重合平面有,一个公共点,，则它们有且只有,一条过该点的公共直线。,即,:,P,a,且,P,b,a,I,b=,l,且,P,l,P,a,P,b,a,I,b=,l,P,l,作用,:,用于证明,点在线上或多点共线,.,圆的周长公式,圆的面积公式,=2,r,S=,r,2,弧长的计算公式,扇形面积计算公式,n是角度数,四,.,面积,与体积,.,直观图的面积等于原图形面积的四分之根二,三视图要点,:,长对正,宽相等,高平齐,空间几何体的表面积和体积,圆柱的表面积,：,圆锥的表面积,：,圆台的表面积,：,球的表面积,：,柱体的体积：,锥体的体积：,台体的体积：,球的体积：,面积,体积,直棱柱的外接球,正方体的内切球半径等于边长的一半,长方体与正方体的外接球球心在体对角线交点处也为中点处,总结,:,直棱柱外接球球心在上下底面外接圆圆心连线的中点处,以直三棱柱为例,等边三角形外接圆圆心在中心,半径等于边长的三分之根三,直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点处，半径等于斜边的一半,锥体的外接球,圆锥的外接球,正棱椎的外接球,一般锥体外接球球心在,:,过底面外接圆圆心与底面垂直直线上,然后再构造直角三角形,P,A,B,C,M,O,P,A,M,D,E,O,D,法,1.,勾股定理法,正四面体的,外接球半径,A,B,C,D,O,A,B,C,D,O,正四面体外接球的半径,正方体外接球的半径,法,2.,补成正方体,求棱锥外接球半径常见的补形有：,正四面体常补成正方体；,三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；,三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；,侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱,总结,平行,垂直,定理总结,:,1.,平行于同一直线的两条直线平行,(,平行线的传递性,),2.,若一个角的两边与另外一个角的两边分别平行则这两个角相等或互补,(,等角定理,),3.,如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行,(,线面平行的判定定理,),4.,两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面,(,可以用来证明线面平行也是面面平行的性质定理,),5.,如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的平面与已知平面相交那么这条直线与交线平行,(,线面平行的性质定理,),6.,如果一条直线与两个相交的平面都平行，那么这条直,线与交线平行。,7.,如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，,那么这两个平面平行,(,面面平行判定定理,),8.,如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条,相交直线分别平行，那么这两个平面平行。,9.,如果两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两个平,面平行。,10.,如果两个平面都平行于第三个平面那么这两个平面平行。,11.,如果两个平面平行且都与第三个平面相交则交线平行。,12.,如果两个平面平行，且其中一个平面与一条直线,垂直，则另一个平面与这条直线也垂直。,13.,垂直于同一平面的两条直线平行,13.,如果两个平面平行，则其中一个平面内的所有点到另一个平面的距离相等。,14.,夹在两个平行平面间的平行线段相等,15.,如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。,16.,如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直,(,线面,垂直的定定理,),。,17.,如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面,18.,如果一条直线与一个平面,垂直则这条直线与平面内任何一条直线垂直,(,线面垂直的性质定理,),19.,如果一个平面过另一个平面的,垂线则这两个平面垂直,(,面面垂直定定理也是线面垂直的性质,),20.,经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行。,经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。,经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直。,经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直。,经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。,经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行。,经过直线外一点，,有无数条直线,和已知直线垂直。,经过直线外一点，,只有一个,平面和已知直线垂直,三,垂线定理及逆定理,:,如果平面内一条直线与平面的一条斜线 的射影,垂直则这条直线和这条斜线,垂直,如果平面内一条直线与平面的一条斜线,垂直则这 条直线与这条,斜线的射影,垂直,在下列条件下，判断三棱锥,P-ABC,的顶点,P,在底面,ABC,内的射影位置,1,、三条侧棱相等,2,、侧棱与底面所成的角相等,3,、侧面与底面所成的角相等,4,、顶点,P,到,ABC,的三边距离相等,5,、三条侧棱两两垂直,6,、相对棱互相垂直,7,、三个侧面两两垂直,外心,外心,内心,内心,垂心,垂心,垂心,空间中的角,a,b,b,m,b,a,A,B,P,0,0,0,时,倾斜角是锐角；当,k0,时,倾,斜角是钝角，当,k=0,时，倾斜角等于,0,)(,如何变化,),注意,:,任何一条直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率,直线与方程,名称,已知条件,方程,说明,斜截式,斜率,k,纵截距,b,y=kx+b,不包括,y,轴和平行于,y,轴的直线,点斜式,点,P,1,(x,1,y,1,),斜率,k,y-y,1,=k(x-x,1,),不包括,y,轴和平行于,y,轴的直线,两点式,点,P,1,(x,1,y,1,),和,P,2,(x,2,y,2,),不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线,截距式,横截距,a,纵坐标,b,x/a +y/b =1,不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线,一般式,Ax+By+C=0,A,、,B,不同时为,0,=,4.,直线方程,l,1,y=k,1,x+b,1,l,2,y=k,2,x+b,2,l,1,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,l,2,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,l,1,与,l,2,组成的方程组,平行,k,1,=k,2,且,b,1,b,2,无解,重合,k,1,=k,2,且,b,1,=b,2,有无数多解,相交,k,1,k,2,有唯一解,垂直,k,1,k,2,=-1,A,1,A,2,+B,1,B,2,=0,有唯一解,5.,位置关系判定方法：,当直线不平行于坐标轴时（要特别注意这个限制条件）,6.,若点,P（x,0,，y,0,）,在直线,Ax+By+C=0,上，则有,Ax,0,+By,0,+C=0；,若点,P（x,0,，y,0,）,不在直线,Ax+By+C=0,上，则有,Ax,0,+By,0,+C0，,此时到直线的距离：,平行直线,Ax+By+C,1,=0,与,Ax+By+C,2,=0,之间的距离为,在运用公式时，一定要把,x、y,前面的系数化成相等。,.,8.,两点之间距离公式,:,9.(1),若一条直线过一点设成点斜式,但要注意斜不存时,(2),若知直线的斜率则设成斜,但要但要注意斜不存在时,(3),若和截距有关直线一般设成截距式但要注意平行于,x,轴,直于,x,轴,和 过原点的直线,(,特别是截距相等,截距相反,截距绝对值相等,截距是几倍时,),(4),看到比式想斜率，看到平方之和想距离,看到直线方程中还有第三个字母则过定点,(3),过直线,l,1,：A,1,x+B,1,y+C,1,=0，l,2,：A,2,x+B,2,y+C,2,=0,交点的直线系方程为：,A,1,x+B,1,y+C,1,+（A,2,x+B,2,y+C,2,）=0,（R）(,除,l,2,外)。,(1),与直线,Ax+By+C=0,平行的直线方程为,Ax+By+m=0,(2),与直线,Ax+By+C=0,垂直的直线方程为,Bx-Ay+m=0,10.,直线系方程,11.,对称,1,点关于点对称,(,利用中点坐标公式知二求一,),2,线关于点对称,(1),设所求直线上任意一点为,(x,y),利用中点坐标公式求出它关于点的对称点往已知直线代入,(2),利用所求直线与已知是平行的从而设出直线方程利用点到直线距离相等,3,点关于线对称 （利用中点在对称轴上、垂直）,4.,线关于线对称,(,分为平行与相交,),例,1.,已知点,A(5,8),，,B(-4,，,1),，试求,A,点,关于,B,点的对称点,C,的坐标。,点关于点对称,解题要点,：中点公式的运用,A,C,B,x,y,O,C(-13,，,-6),-4=,5+x,2,1=,8+y,2,解,:,设,C(x,y),则,得,x=-13,y=-6,例,2.,求直线,l,1,:,3x-y-4=0,关于点,P(2,-1),对称的,直线,l,2,的方程。,线关于点对称,解题要点,：,法一：,l,2,上的任意一点的,对称点在,l,1,上,;,法二：,l,1,/ l,2,且,P,到两直线等距。,解 ：设,A(x,，,y),为,L,2,上任意一点,则,A,关于,P,的对称点,A,在,L,1,上,3(4-x)-(-2-y)-4=0,即直线,l,2,的方程为,3x-y-10=0,A,L,2,L,1,Y,X,O,P,A,例,3.,已知点,A,的坐标为,(-4,4),，直线,l,的方,程为,3x+y-2=0,求点,A,关于直线,l,的,对称点,A,的坐标。,点关于直线对称,解题要点,：,k k,AA,= -1,AA,中点在,l,上,A,A,Y,X,O,(x,，,y),(2,，,6),-3,y-4,x-(-4),=-1,3,-4+x,2,+,4+y,2,-2=0,解：设,A,（,x,y),（,L,为对称轴）,例,4.,试求直线,l,1,:x-y+2=0,关于直线,l,2,:x-y+1=0,对称的直线,l,的方程。,线关于线对称,L,2,L,1,L,解：设,L,方程为,x-y+m=0,则 与 距离等于 与 距离,L,1,L,2,L,2,L,建立等量关系，解方程求,m,x,o,y,例,5.,试求直线,l,1,:x-y-2=0,关于直线,l,2,:3x-y+3=0,对称的直线,l,的方程。,L,1,L,2,L,x-y-2=0,3x-y+3=0,P,L,：,7x+y+17=0,y,X,O,解：,P(,，,),-,5,2,-,9,2,得,在 上任取一点,Q(2,0),求其关于 的对称点,Q(x,y),L,1,L,2,Q(2,0),Q(x,y),3,y-0,x-2,=-1,3,y+0,2,+3=0,则,X+2,2,求出,Q,点坐标后，两点式求,L,方程。,解题要点,：,(,先判断两直线位置关系,),（,1,）若两直线相交，先求交点,P,方法一,:,再在 上取一点,Q,求其对称点得另一点,Q,两点式求,L,方程,方法二,:,过交点设出直线方程,再在直线 取一点,利用点到直线距离相等,L,1,求 关于 的对称直线,L,的方程的方法,L,1,L,2,则 与 距离等于 与 距离,L,1,L,2,L,2,L,建立等量关系，解方程求,m,(2),若,，设,L,方程为,x-y+m=0,L,1,L,2,L,2,常见的对称点结论,1.,点 关于原点的对称点为,;,2.,点 关于点 的对称点为,;,3.,点 关于,x,轴的对称点为,;,4.,点 关于,y,轴的对称点为,;,5.,点 关于,y=x,的对称点为,;,6.,点 关于,y= -x,的对称点为,;,(-a,-b),(2m-a,2n-b),(a,-b),(b,a),(-b,-a),(-a,b),1.,直线关于原点的对称直线的方程为,:,2.,直线关于,x,轴的对称直线的方程为,:,3.,直线关于,y,轴的对称直线的方程为,:,4.,直线关于直线,y=x,的对称直线的方程为,:,5.,直线关于直线,y= -x,的对称直线的,方程为,（八）圆的标准方程：,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,圆心（,a,b,）,半径,r,0,圆的一般方程：,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0(D,2,+E,2,-4F,0),圆心（,-D/2,-E/2,）,r=,圆的,（九）点与圆的位置关系,设圆,C(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,，点,M(x,0,，,y,0,),到圆心的距离为,d,，则有：,(1)d,r,点,M,在圆外；,(2)d=r,点,M,在圆上；,(3)d,r,点,M,在圆内,（十）直线与圆的位置关系,设圆,C(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,，直线,L,的方程,Ax+By+C=0,，圆心,(a,，,b),到直线,L,的距离为,d,判别式为,，则有：,(1)d,r,直线与圆相交；,(2)d=r,直线与圆相切,:,(3)d,r,直线与圆相离，即几何特征；,弦长公式：,或,(1),0,直线与圆相交；,(2)=0,直线与圆相切；,(3),0,直线与圆相离， 即代数特征，,（十一）圆与圆的位置关系,设圆,C,1,：,(x-a),2,+(y-b),2,=R,2,（,R,0,）和圆,C,2,：,(x-m),2,+(y-n),2,=r,2,(r,0),且设两圆圆心距为,d,，则有：,(1),d,R+r,两圆外离；,(2),d=R+r,两圆外切；,(3),R-r,d,R,r,两圆相交,(4),d= R-r,两圆内切,(5),d,R-r,两圆内含；,（十二）圆的切线和圆系方程,1,过圆上一点的切线方程：圆,x,2,+y,2,=r,2,，圆上一点为,(x,0,，,y,0,),，则过此点的切线方程为,x,0,x+y,0,y=r,2,(,课本命题,),2,圆系方程：,设圆,C,1,x,2,+y,2,+D,1,x+E,1,y+F,1,=0,和圆,C,2,x,2,+y,2,+D,2,x+E,2,y+F,2,=0,若两圆相交，则过交点的圆系方程为,x,2,+y,2,+D,1,x+E,1,y+F,1,+,（,x,2,+y,2,+D,2,x+E,2,y+F,2,）,=0(,为参数，圆系中不包括圆,C,2,，,=-1,为两圆的公共弦所在直线方程,),设圆,Cx,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,与直线,l,：,Ax+By+C=0,，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(,为参数,),
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