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第三章,圆,第,8,节 圆内接正多边形,1,课堂讲解,圆内接正多边形,圆内接正多边形的有关概念,正多边形的,作图,2,课时流程,逐点,导讲练,课堂小结,作业提升,1.,观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形,.,2.,日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体,?,1,知识点,圆内接正多边形,顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.,这个圆叫做该正多边 形的外接圆.,知,1,导,知,1,讲,正,n,边形的各角相等，且每个内角为：,每个外角为：,知,1,讲,如图,在圆内接正六边形,ABCDEF,中，半 径,OC,= 4,OG,丄,BC,，垂足为,G,，求这个正六边形的中 心角、,边长和边心距.,例,1,知,1,讲,解：,连接,OD,.,六边形,ABCDEF,为正六边形，,COD,=,= 60,C,O,D,为等边三角形.,CD,=,OC,=,4,.,在,Rt,COG,中,，,OC,= 4，,CG,=,BC,= 4=2,OG,=,正六边形的中心角为60，边长为4,边心距为,知,1,讲,如图所示，三角形,AOB,是正三角形，以点,O,为圆心，,OA,为半径作,O,，直径,FC,AB,，,AO,，,BO,的延长线分别交,O,于点,D,，,E,，求证：六边形,ABCDEF,为圆内接正六边形,.,例,2,导引：,紧扣正多边形的定义，结合同圆中弧、圆心角的,关系证明,.,知,1,讲,解：,三角形,AOB,是正三角形，,AOB,= ,OAB,= ,OBA,=60,，,OB,=,OA,.,点,B,在,O,上,.,FC,AB,，,FOA,= ,OAB,=60,，,COB,=,OBA,=60.,AOB,= ,BOC,= ,COD,= ,DOE,= ,EOF,=,FOA,=60 .,六边形,ABCDEF,为圆内接正六边形,.,知,1,讲,下列说法不正确的是,(,),A,等边三角形是正多边形,B,各边相等，各角也相等的多边形是正多边形,C,菱形不一定是正多边形,D,各角相等的多边形是正多边形,例,3,导引：,等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当菱形的四个角相等时才是正多边形,(,正方形,),，所以菱形不一定是正多边形；,D,说法不正确,.,答案：,D,D,总,结,知,1,讲,正多边形的识别要从两个角度去看，,一是边都相等；,二是内角都相等,知,1,练,分别求出半径为,6 cm,的圆内接正三角形的边长和边心距,.,1,解：,设正六边形,DFHKGE,的中心为,O,，连接,OH,，,OK,，则,OHK,为等边三角形,由题意可得,OH,HK,BC,2,，,OHK,60,，,S,OHK,HK,OH,sin 60,22,.,又,S,正六边形,6,S,OHK,，,S,正六边形,6,6 .,知,1,练,【,中考,株洲,】,下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是,(,),A,正三角形,B,正方形,C,正五边形,D,正六边形,正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为,(,),A,两角互余,B,两角互补,C,两角互余或互补,D,不能确定,2,3,A,B,知,1,练,一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是,(,),A,1 B,12,C,23 D,2,4,B,知,1,练,【,中考,青岛,】,如图，正六边形,ABCDEF,内接于,O,，若直线,PA,与,O,相切于点,A,，则,PAB,等,于,(,),A,30,B,45,C,150,D,30,或,150,5,A,知,1,练,(,中考,泸州,),以半径为,1,的圆的内接正三角形、正方,形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三,角形的面积是,(,),A. B. C. D.,6,D,知,1,练,(,中考,泸州,),以半径为,1,的圆的内接正三角形、正方,形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三,角形的面积是,(,),A. B. C. D.,6,D,知,1,练,(,中考,随州,),如图，,O,是正五边形,ABCDE,的外接圆，这个正五边形的边长为,a,，半径为,R,，边心距为,r,，则下列关系式错误的是,(,),A,R,2,r,2,a,2,B,a,2,R,sin 36,C,a,2,r,tan 36,D,r,R,cos 36,7,A,3,知识点,正多边形的,作图,知,3,导,利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.,由于正六边形的中心角为60,因此它的边长就是其外接圆,的半径,R,.,所 以，在半径为,R,的圆上，依次截取等于,R,的弦，,就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.,知,3,讲,作一个正三角形，使其半径为,0.9 cm.,例,4,导引：,用量角器画，先求出其中心角；用尺规画，则先考虑等分圆周,.,知,3,讲,解：,作法一：,(1),作半径为,0.9 cm,的,O,；,(2),用量角器画,AOB,BOC,120,；,(3),连接,AB,，,BC,，,CA,.,则,ABC,为所求作的正三角,形，如图所示,知,3,讲,作法二：,(1),作半径为,0.9 cm,的,O,；,(2),作,O,的任一直径,AB,；,(3),分别以,A,，,B,为圆心，以,0.9 cm,为半径作弧，交,O,于点,C,，,F,和,D,，,E,；,(4),连接,AD,，,DE,，,EA,.,则,ADE,为所求作的正三角形，如图所示,总,结,知,3,讲,1.,画圆的内接正,n,边形，实质是找圆的,n,等分点,.,2.,用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数很大时，容易产生较大误差,.,3.,尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只限于作一些特殊的正多边形,.,知,3,讲,用尺规作圆的内接正方形,.,已知：如图，,O,.,求作：正方形,ABCD,内接于,O,.,例,5,知,3,讲,作法：,(1),如图，作两条互相垂直的直径,AC,，,BD,.,(2),顺次连接,AB,，,BC,，,CD,，,DA,.,由作图过程可知，四个中心角都是,90,，,所以,AB,=,BC,=,CD=DA,.,因为,AC,，,BD,都是直径，,所以,ABC,=,BCD,=,CDA,=,DAB=,90.,即四边形,ABCD,为,O,的内接正方形,.,知,3,练,如图，,AD,为,O,的直径，作,O,的内接正三角形,ABC,，甲、乙两人的作法分别如下：,甲：,(1),以,D,为圆心，,OD,长为半径画圆弧，交,O,于,B,，,C,两,点；,(2),连接,AB,，,BC,，,A,C.,ABC,即为所求作的三角形,乙：,(1),作,OD,的中垂线，交,O,于,B,，,C,两点；,(2),连接,AB,，,AC,.,ABC,即为所求作的三角形,对于甲、乙两人的作法，可判断,(,),A,甲对，乙不对,B,甲不对，乙对,C,两人都对,D,两人都不对,1,C,知,3,练,在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形,(,画图工具不限，但要保留画图痕迹,),2,解：,如图所示,(,答案不唯一,),正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做,正多边形,.,把一个圆,n,(,n,3),等分，顺次连接各等分点，就得,到一个正,n,边形,.,我们把这个正,n,边形叫做圆的内,接正,n,边形,.,1,知识小结,一个边长为,2,的正多边形的内角和是其外角和的,2,倍，则这个正多边形的半径是,(,),A,2 B. C,1 D.,2,易错小结,A,易错点：,误认为正多边形的边心距是正多边形的半径,.,错解：,B,诊断：,设正多边形的边数为,n,.,因为正多边形的内角,和为,(,n,2)180,，正多边形的外角和为,360,，根,据题意得,(,n,2)180,3602,，解得,n,6,，故正,多边形为正六边形边长为,2,的正六边形可以分成六,个边长为,2,的正三角形，所以正多边形的半径等于,2.,产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边,形的半径，计算得出错误的结果,，最后导致错,选,B.,
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