高等代数矩阵习题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,题型一 求数值型矩阵的逆矩阵,基本方法有：,1.,定义法：设,A,的逆矩阵为,X，,由,AX=E（,或,XA=E），,求出,X,即可。,2.,公式法：,3.,初等变换法：,4.,分块求逆法：若,A,能分成以下类型之一时,当,A,11,，A,22,可逆时，可用分块求逆公式进行计算,例1.设,A,1,，A,2,分别为,m,n,阶矩阵，试求,的逆矩阵。,解：,得,则,即,例2.设,A，B，A+B,都是可逆矩阵，试求：（,A,-1,+B,-1,）,-1,。,解：,（1,）,A,-1,+B,-1,=B,-1,（BA,-1,+E）=B,-1,（BA,-1,+AA,-1,）,= B,-1,（A+B）A,-1,（2,）（,A,-1,+B,-1,）,-1,= B（A+B）,-1,A,题型二,A,为抽象矩阵，讨论,A,的可逆性,1.,证明,A,可逆的方法,（,1,）把已知矩阵等式写为,AB=C,的形式， ,AB=AB=C0,知,A0，,从而可逆；,（,2,）证明,AX=0,只有零解，则,A0，,从而可逆；,（,3,）证明的特征值全不为零即可,。,2.,证明,A,不可逆的方法,（,1,）反证法，假设,A,可逆，再在等式两边乘以,A,-1,，,导出矛盾；,（,2,）直接计算,A=0；,（3）,证明,A,有零的特征值；,（,4,）证明,AX=0,只有非零解，则,A,不可逆。,例1.设,n,阶矩阵,A,满足关系式,A,3,+A,2,-A-E=0，,证明,A,可逆，并求,A,-1,。,解：,由,A,3,+A,2,-A-E=0,可得,A（A,2,-A-E）=E,从而,A（A,2,-A-E）,= ,（A,2,-A-E）, A =1,于是,A0，,故,A,可逆，且,A,-1,=,A,2,-A-E,例2.设,A，B,为,n,阶矩阵，且,E-AB,可逆，证明,E-BA,可逆。,解：,用反证法,设,E-AB,不可逆，则存在,X,0,，,使,（,E-AB）X,=0,即,X= BAX,于是,AX= ABAX,，,令,Y =AX,，,则,Y0,，,否则若,Y=0，,则有,X=BAX=BY=0,，,这与,X,0,矛盾，从而有,Y=ABY, Y 0,即 （,E-AB）Y,=0, Y 0,这与,E-AB,可逆矛盾，故,E-AB,不可逆,题型三 考查矩阵运算的特殊性,矩阵运算不满足交换律,ABBA，,涉及到两个矩阵是否可交换，一般联想到逆矩阵的定义；但矩阵运算满足结合律：,A(BC)=(AB)C，,巧妙地运用结合律往往可以简化计算,。,例1.设,A，B，C,均为,n,阶矩阵，,E,为,n,阶单位矩阵，若,B=E+AB，C=A+CA，,则,B-C,为？,解：由,B=E+AB，C=A+CA，,知,（,E-A）B=E，C（E-A）=A，,可见，,E-A,与,B,互为逆矩阵，于是,B（E-A）=E,从而有 （,B-C）（E-A）=E-A，,而,E-A,可逆，故,B-C=E。,例2.,解：,题型四 解矩阵方程,（1,）含有未知矩阵的等式称为矩阵方程，解矩阵方程的问题，本质上是考查矩阵的运算，特别是乘法和逆运算，因为在解矩阵方程的过程中，应尽量利用矩阵和运算性质先化简，再计算。,（,2,）矩阵方程的基本形式有：,AX=B，XA=B，AXB=C，,若,A,为可逆矩阵时，其解分别为,X=A,-1,B，X=BA,-1,以及,X=A,-1,CB,-1,（,这里要求,B,可逆）。,（,3,）当,A,不可逆时，矩阵方程一般应转化为解线性方程组,。,例1,解：,（若先计算出方程中的 及,A,-1,，,然后再解方程求,X，,则计算过程会十分复杂，为了避免求 及,A,-1，,可用公式,在等式两边同时左乘矩阵,A,进行化简。）,解：,例1,解：,题型五 求矩阵的秩,例1,解：,因为,A,的任一二阶子式,而,A,为非零矩阵，故秩（,A）1，,从而秩（,A）=1,