空间直角坐标系及坐标运算

第,6,课时 空间直角坐标系、,空间向量及其运算,1,空间直角坐标系及有关概念,(1),空间直角坐标系：以空间一点,O,为原点，建立三条两两垂直的数轴：,x,轴，,y,轴，,z,轴这时建立了空间直角坐标系,Oxyz,，其中点,O,叫做,x,轴，,y,轴，,z,轴统称,由坐标轴确定的平面叫做,基础知识梳理,原点,坐标轴,坐标平面,(2),空间一点,M,的坐标为有序实数组,(,x,，,y,，,z,),，记作,M,(,x,，,y,，,z,),，其中,x,叫做点,M,的,，,y,叫做点,M,的,，,z,叫做点,M,的,基础知识梳理,横坐标,竖坐标,纵坐标,2,空间向量的有关定理,(1),共线向量定理：对空间任意两个向量,a,，,b,(,b,0),，,a,b,的充要条件是存在实数,，使得,a,b,.,(2),共面向量定理：如果两个向量,a,，,b,不共线，那么向量,c,与向量,a,，,b,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对,(,x,，,y,),，使,c,xa,yb,.,基础知识梳理,基础知识梳理,思考？,若,a,与,b,确定平面为,，则表示,c,的有向线段与,的关系是怎样的？,【,思考,提示,】,可能与,平行，也可能在,内,(3),空间向量基本定理：如果三个向量,a,，,b,，,c,不共面，那么对空间任一向量,p,，存在有序实数组,x,，,y,，,z,，使得,p,xa,yb,zc,.,其中，,a,，,b,，,c,叫做空间的一个,基础知识梳理,基底,3,空间向量的数量积及运算律,(1),数量积及相关概念,两向量的夹角,基础知识梳理,AOB,两向量的数量积,已知空间两个非零向量,a,，,b,，则,|,a,|,b,|cos,a,，,b,叫做,a,，,b,的数量积，记作,a,b,，即,a,b,|,a,|,b,|cos,a,，,b,(2),数量积的运算律,结合律：,(,a,),b,(,a,b,),；,交换律：,a,b,b,a,；,分配律：,a,(,b,c,),a,b,a,c,.,基础知识梳理,4,空间向量坐标表示及应用,(1),数量积的坐标运算,若,a,(,a,1,，,a,2,，,a,3,),，,b,(,b,1,，,b,2,，,b,3,),，则,a,b,.,(2),共线与垂直的坐标表示,设,a,(,a,1,，,a,2,，,a,3,),，,b,(,b,1,，,b,2,，,b,3,),，则,a,b,a,b,a,1,b,1,，,a,2,b,2,，,a,3,b,3,，,a,b,a,b,0,a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3,0(,a,，,b,均为非零向量,),基础知识梳理,a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3,基础知识梳理,答案,：,D,三基能力强化,2,(,教材习题改编,),若,a,(2,x,1,3),，,b,(1,，,2,y,9),，如果,a,与,b,为共线向量，则,(,),三基能力强化,答案,：,C,三基能力强化,答案,：,B,4,已知向量,a,(1,1,0),，,b,(,1,0,2),，且,ka,b,与,2,a,b,互相垂直，则,k,的值是,_,三基能力强化,答案,：,1,三基能力强化,用已知向量表示未知向量，以及进行向量表达式的化简时，一定要注意结合实际图形，以图形为指导是解题的关键，同时注意首尾相接的向量的和向量的化简方法，以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则，避免出现方向错误,课堂互动讲练,考点一,空间向量的线性运算,课堂互动讲练,例,1,【,思路点拨,】,利用空间向量的加法法则及基本定理,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,互动探究,应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面,1,证明空间任意三点共线的方法,对空间三点,P,，,A,，,B,可通过证明下列结论成立来证明三点共线,课堂互动讲练,考点二,共线向量定理、共面向量定理的应用,课堂互动讲练,2,证明空间四点共面的方法,对空间四点,P,，,M,，,A,，,B,可通过证明下列结论成立来证明四点共面,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,例,2,已知,A,、,B,、,M,三点不共线，对于平面,ABM,外的任一点,O,，确定在下列各条件下，点,P,是否与,A,、,B,、,M,一定共面？,课堂互动讲练,【,思路点拨,】,先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的条件,课堂互动讲练,3,(,1),(,1),1,，,B,与,P,、,A,、,M,共面，,即,P,与,A,、,B,、,M,共面,4,(,1),(,1),21,，,P,与,A,、,B,、,M,不共面,课堂互动讲练,课堂互动讲练,空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似，只是多出一个坐标，与平面向量的坐标运算作一些对比可以较容易地掌握空间向量的坐标运算问题,课堂互动讲练,考点三,空间向量的坐标运算,课堂互动讲练,例,3,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,空间中的两个向量的数量积是平面向量中两向量的数量积的延伸和推广，工具性特别强，可借助向量的数量积解决两直线的平行与垂直问题，求解空间角和空间距离问题向量的数量积的坐标表示即数量积的代数化，可以将数量积的运算转化为代数运算，使运算简化,课堂互动讲练,考点四,利用空间向量证明线面平行与垂直,课堂互动讲练,例,4,(,解题示范,)(,本题满分,12,分,),如图所示，直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,，底面,ABC,中，,CA,CB,1,，,BCA,90,，棱,AA,1,2,，,M,，,N,分别是,A,1,B,1,，,A,1,A,的中点,(1),求,BN,的长；,(2),求异面直线,BA,1,与,CB,1,所成角的余弦值；,(3),求证：,A,1,B,C,1,M,.,课堂互动讲练,【,解,】,如图所示，以,C,为原点建立空间直角坐标系,C,xyz,.,(1),依题意得,B,(0,1,0),，,N,(1,0,1),课堂互动讲练,课堂互动讲练,【,名师点评,】,(1),利用空间两点间的距离公式求,BN,的长；,课堂互动讲练,课堂互动讲练,高考检阅,(1),求证：面,PAC,面,PCD,；,(2),在棱,PD,上是否存在一点,E,，使,CE,面,PAB,？若存在，请确定,E,点的位置；若不存在，请说明理由,课堂互动讲练,解,：,(1),证明：设,PA,1,，由题意,PA,BC,1,，,AD,2.,PA,面,ABCD,，,PB,与面,ABCD,所成的角为,PBA,45. 2,分,AB,1,，,由,ABC,BAD,90,，,课堂互动讲练,又,PA,CD,，,PA,AC,A,，,CD,面,PAC,，,CD,面,PCD,，,面,PAC,面,PCD,. 6,分,(2),分别以,AB,、,AD,、,AP,为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系,令,P,(0,0,1),，,C,(1,1,0),，,D,(0,2,0),，,7,分,课堂互动讲练,E,是,PD,的中点，,存在,E,点使,CE,面,PAB,，,此时,E,为,PD,的中点,12,分,课堂互动讲练,1,点共线问题,共线向量定理：对空间任意两个向量,a,，,b,(,b,0),，,a,b,的充要条件是存在实数,使,a,b,.,规律方法总结,2,点共面问题,点共面问题,可以转化为向量共面问题：,如果两个向量,a,，,b,不共线，则向量,p,与向量,a,，,b,共面的充要条件是，存在实数对,(,x,，,y,),，使,p,xa,yb,.,规律方法总结,所以要证明,P,，,M,，,A,，,B,四点共面，关键是寻找有序实数对,(,x,，,y,),满足上述的两个关系式,规律方法总结,证明面面平行，只要证明两个平面的法向量共线即可,规律方法总结,随堂即时巩固,点击进入,课时活页训练,点击进入,