土木工程测量第五章 测量误差基本知识

工程测量学,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,土木工程测量第五章 测量误差基本知识,通过前几章的学习，我们掌握了角度、距离和高差的测量方法，对测量过程和结果含有误差也有了一定的感性认识。本章集中讲述有关测量误差的基本知识，包括衡量精度的标准、误差传播定律和直接观测平差。,5 测量误差的基本知识,对未知量进行测量的过程，称为,观测,。测量所获得的数值称为,观测值,。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上表现为,观测值,与其,真实值,(简称为,真值,)之间的差异，这种差异称为,测量误差,或,观测误差,。,5.1,观测误差概述,5.1.1 观测及观测误差,观测,观测值,用L,i,代表观测值，X代表真值，则有,i,=L,i,-X,(5-1),式中,i,就是,观测误差,，通常称为,真误差,，简称误差。,真误差,一般情况下，只要是观测值必然含有误差。,5 测量误差的基本知识,观测误差来源于三个方面：,仪器、工具的精密程度；,观测者视觉鉴别能力和技术水平；,观测时外界条件的好坏。,三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度。观测条件相同的各次观测称为,等精度观测,；观测条件不相同的各次观测，称为,非等精度观测,。,5.1,观测误差概述,5.1.2 观测误差的来源,观测条件,一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至趋近于零。,在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的误差,根据性质不同，观测误差可分为粗差、系统误差和偶然误差三种，即,=,1,+,2,+,3,(5-2),5.1,观测误差概述,5.1.3 观测误差的分类及其处理方法,粗差,是一种大级量的观测误差，例如超限的观测值中往往含有粗差。粗差也包括测量过程中各种失误引起的误差。,产生的原因,：疏忽大意、失职；仪器自身或受外界干扰发生故障等。,含有粗差的观测值都不能使用,。在观测中应尽量避免出现粗差，发现粗差的有效方法是，进行必要的,重复,观测，通过多余观测条件，采用必要而又严密的,检核,、,验算,等。,=,1,+,2,+,3,(5-2),系统误差,在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。,系统误差具有积累性，对测量结果影响很大,。,5.1,观测误差概述,5.1.3 观测误差的分类及其处理方法,在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有：,在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统误差的影响,。如角度测量中盘左、盘右观测，水准测量中限制前后视视距差等。,找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的改正,。如对距离观测值进行尺长改正、温度改正和倾斜改正，对竖直角进行指标差改正等。,将系统误差限制在允许范围内,。有的系统误差既不便计算改正，又不能采用一定的观测方法加以消除，例如，经纬仪照准部管,水准器轴,不垂直于,仪器竖轴,的误差对水平角的影响，对于这类系统误差，则只能按规定的要求对仪器进行精确检校，并在观测中仔细整平将其影响减小到允许范围内。,偶然误差,在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。,5.1,观测误差概述,5.1.3 观测误差的分类及其处理方法,产生偶然误差的原因往往是,不固定的,和,难以控制,的，如观测者的估读误差、照准误差等。不断变化着的温度、风力等外界环境也会产生偶然误差。,粗差,可以发现并被剔除，,系统误差,能够加以改正，而,偶然误差是不可避免,的，,并且是消除不了的,。它在消除了粗差和系统误差的观测值中占主导地位,从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。,例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值180(表5-1),5.1,观测误差概述,5.1.3 观测误差的分类及其处理方法,5.1,观测误差概述,5.1.3 观测误差的分类及其处理方法,从表5-1中可以看出，该组误差的分布表现出如下规律：,小误差比大误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近，最大误差不超过16。,统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：,特性1,在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。(,范围,),特性2,绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。(,绝对值大小,),特性3,绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(,符号,),特性4,当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0，即(,抵偿性,),(5-3),本章此处及以后“ ”表示取括号中下标变量的代数和，即,i,=,(5-3),5.1,观测误差概述,5.1.3 观测误差的分类及其处理方法,用,图示法,可以直观地表示偶然误差的分布情况。用表5-1的数据，以误差大小为横坐标，以频率k/n与区间d的比值为纵坐标，如图5-1所示。这种图称为,频率直方图,。,5.1,观测误差概述,5.1.3 观测误差的分类及其处理方法,可以设想，当误差个数n，同时又无限缩小误差区间d，图5-1中各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线，如图5-2所示。该曲线称为,误差分布曲线,。,其函数式为：,(5-4),即正态分布曲线上任一点的纵坐标y均为横坐标的函数。,标准差,大小反映观测精度的高低，定义为：,(5-5),上式可知，的大小决定于一定条件下偶然误差出现的绝对值的大小。,5.1,观测误差概述,5.1.3 观测误差的分类及其处理方法,在图5-1中各矩形的面积是频率,k/n,。由概率统计可知，频率k/n就是真误差出现在区间,d,上的概率,p(),(图5-2),，记为：,(5-6),式(5-4)和式(5-6)中f()是误差分布的概率的,概率密度函数,，简称,密度函数,。,5.2,衡量观测值精度的标准,在相同观测条件下，对某一量所进行的一组观测，对应着同一种误差分布，因此，这一组中的每一个观测值，都,具有同样的精度,。为了衡量观测值的精度高低，显然可以用前一节方法，,绘出频率直方图或误差分布表加以分析来衡量,。但这样做实际应用十分不便，又缺乏一个简单的关于精度的数值概念。这个数值应该能反映误差分布的,密集,或,离散,程度，即应,反映其离散度的大小,，作为衡量精度的指标。,下面介绍几种常用的衡量精度的指标。,5.2,衡量观测值精度的标准,5.2.1,中 误 差,由式(5-5)定义的,标准差,是衡量精度的一种标准，但那是理论上的表达式。在测量实践中观测次数不可能无限多，因此实际应用中定义,中误差m,作为衡量精度的一种标准,：,(5-7),在式(5-4)中，当=0时，以中误差,m,代替标准差,（图53）,(5-4),5.2,衡量观测值精度的标准,5.2.1,中 误 差,因此在一组观测值中，当小误差比较集中时，,m,1,较小，则曲线形状较陡峭，如图5-3中,f,1,(),，表示该组观测精度较高；,f,2,(),的曲线形状较平缓，其误差分布比较离散，,m,2,较大，表明该组观测精度低。,如果令f()的二阶导数等于0，可求得曲线拐点的横坐标：,=m,也就是说，,中误差的几何意义即为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标,。,=m,(5-8),5.2,衡量观测值精度的标准,5.2.2,相 对 误 差,中误差和真误差都是绝对误差,。,在衡量观测值精度时，单纯用绝对误差有时不能完全表达精度的优劣。例如，分别测量了长度为100m和200m的两段距离，中误差皆为。显然不能认为两段距离测量精度相同。为了客观地反映实际精度，必须引入相对误差的概念。,相对误差K是误差m的绝对值与观测值D的比值,：,(5-9),上式中当,m,为中误差时，K称为,相对中误差,。,在距离测量中还常用往返观测值的相对较差来进行检核。,相对较差,定义为：,(5-10),相对较差是,相对真误差,，它反映往返测量的符合程度。,5.2,衡量观测值精度的标准,5.2.3,极限 误 差和容许误差,极限误差,由偶然误差的特性,1,可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是,极限误差,。标准差或中误差是衡量,观测精度,的指标，它不能代表个别观测值真误差的大小，但从统计意义来讲，它们却存在着一定的联系。根据式(5-4)和式(5-6)有：,表示真误差落在(-，+)内的概率等于。同理可得：,(5-11),(5-12),(5-13),5.2,衡量观测值精度的标准,5.2.3,极限 误 差和容许误差,极限误差,上列三式结果的概率含义是：在一组等精度观测值中，真误差在,范围以外的个数约占误差总数的,32%；,在,2,范围以外的个数约占,4.5%,；在,3,范围以外的个数只占,0.3%,。,绝对值大于,3,的真误差出现的概率很小，因此可以认为,3,是真误差实际出现的,极限,，即3是极限误差：,极限,=3(5-14),极限,=3(5-14),5.2,衡量观测值精度的标准,5.2.3,极限 误 差和容许误差,容许误差,测量实践中，是在极限误差范围内利用容许误差对偶然误差的大小进行数量限制的。在实际应用的测量规范中，,常以,2倍,或,3倍,中误差作为偶然误差的容许值，称为,容许误差,，即,容,=22m(5-15),或,容,=33m(5-16),容,=22m(5-15),容,=33m(5-16),前者要求较严，后者要求较宽。如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。,5.3,误 差 传 播 定 律,前面叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量工作中,通常以中误差作为衡量精度的指标,。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两点间的距离,D,，可以用光电测距仪测量斜距,S,，并用经纬仪测量竖直角,，以函数关系,D=Scos,来推算。显然，在此情况下，,函数D的中误差与观测值S及的中误差之间,，必定有一定的关系。阐述这种函数关系的定律，称为,误差传播定律,。,设有一般函数,Z=f(X,1,X,2,，X,n,)(5-17),式中X,1,、X,2,、，X,n,为可,直接观测,的未知量；,Z,为不便于直接观测的未知量。,其中函数,Z,的中误差为,m,Z,，各独立变量,X,1,、,X,2,，,X,n,对应的观测值中误差分别为,m,1,m,2,m,n,，如果知道了m,z,与m,i,之间的关系，就可由各变量的观测值中误差来推求函数的中误差。,各变量的观测值中误差与函数的中误差之间的关系式，称为误差传播定律,。,Z=f(X,1,X,2,，X,n,)(5-17),5.3,误 差 传 播 定 律,设,x,i,(i=1、2、n)的独立观测值为,l,i,其相应的真误差为,x,i,。由于,x,i,的存在，使函数,Z,亦产生相应的,真误差Z,。将(5-17)取全微分,因误差,x,i,及,Z,都很小，故在上式中，可近似用x,i,及Z代替dx及dz，于是有,式中 为函数,f,对各自变量的偏导数。将,x,i,=l,i,代入各偏导数中，即为确定的常数，设,则上式可写成,Z=f,1,x,1,+f,2,x,2,+f,n,x,n,为了求得函数和观测值之间的,中误差关系式,，设想对各,x,i,进行了,k,次观测，则可写出k个类似上式的关系式,Z=f,1,x,1,+f,2,x,2,+f,n,x,n,5.3,误 差 传 播 定 律,将上式各式等号两边平方后，再相加，得,上式两端各除以k,5.3,误 差 传 播 定 律,设对各,x,i,的观测值,l,i,为彼此独立的观测，则,x,i,x,j,当,ij,时，亦为,偶然误差,。根据偶然误差的特性 4 可知，,上式末项当k时趋近于零,，即,故,根据中误差（标准差）的定义（5-5)，上式可写成,当k为有限值时，可写为,：,5.3,误 差 传 播 定 律,上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：,各观测值是相互独立的变量，而当,l,i,为未知量,x,i,的直接观测值时，可认为各,l,i,之间满足相互独立的条件,。,利用它不难导出表5-2所列简单函数的误差传播定律。,(5-26),5.4,等精度直接观测平差,除了标准实体，自然界中任何单个未知量(如某一角度，某一长度等)的,真值,都是无法确知的，只有通过,重复观测,，才能对其作出,可靠的估计,。在测量中，重复测量的目的还在于,提高,观测成果的,精度,，同时也为了,发现和消除粗差,。,重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含有误差，这就产生了观测值之间的矛盾。为消除矛盾，必须依据一定的数据处理准则，采用适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的调整，给以,适当的改正,，从而求得观测值的,最佳估值,，同时对观测进行,质量评估,。人们把这一数据处理的过程称作,测量平差,。,对一个未知量的直接观测值进行平差，称为,直接观测平差,。据观测条件，有,等精度,直接观测平差和,不等精度,直接观测平差。,平差结果是得到未知量最可靠的估值(,最可靠值,)，最接近其真值,，称为“,最或是值,”。,测量平差,直接观测平差,最或是值,5.4,等精度直接观测平差,在等精度直接观测平差中，,观测值的算术平均值是未知量的,最或是值,。,即x=(l,1,+l,2,+l,n,)/n=l/n(5-27),5.4.1,求 最 或 是 值,x=(l,1,+l,2,+l,n,)/n=l/n(5-27),观测值,与,最或是值之差,，称为“,最或是误差,”，用符号,v,i,(i=1,2,n)来表示。,V,i,=l,i,-x (i=1,2,n)(5-28),将n 个最或是误差v,i,相加，有：,v=l-nx=0(5-29),即最或是误差的总和为0,。式(5-29)可以用作计算中的检核，若v,i,值计算无误，其总和必然为,0,。,显然当观测次数n时,，,v,i,=,i,（真误差）。,V,i,=l,i,-x (i=1,2,n)(5-28),v=l-nx=0(5-29),5.4,等精度直接观测平差,观测值中误差,由于独立观测中单个未知量的,真值X,是无法确知的，因此,真误差,i,也是未知的，所以不能直接应用(5-7)求得,中误差,。但可用有限个等精度观测值,l,i,求出,最或是值,x,后，再按公式(5-28)计算,最或是误差,，用最或是误差,v,i,计算观测值的中误差。公式推导从略。,5.4.2,评 定 精 度,(5-34),式(5-34)是等精度观测中,用最或是误差计算中误差,的公式。,5.4,等精度直接观测平差,最或是值的中误差,设对某量进行,n,次等精度观测，观测值为,l,1,l,2,，l,n,中误差为,m,。,最或是值x,的中误差,M,的计算公式推导如下：,5.4.2,评 定 精 度,根据误差传播定律，有：,(5-35),(5-36),所以,(5-37),顾及式(5-34)，算术平均值的中误差也可表达如下：,(5-38),5.5,不等精度直接观测平差,在对某一未知量进行非等精度观测时，各观测结果的中误差也各不相同，各观测值便具有不同程度的可靠性。在求,未知量的最可靠估值,时，就不能像等精度观测那样简单地取算术平均值，因为较可靠的观测值，应对最后结果产生较大的影响。,不等精度观测值的可靠性，可用称为观测值“,权,”的数值来表示。“,权,”是权衡轻重的意思，观测值的精度愈高，其权愈大。例如，对某一未知量进行了两组不等精度观测，但每组内各观测值是等精度的。设第一组观测了4次，其观测值为,l,1、,l,2、,l,3、,l,4,；,第二组观测了3次，观测值为,l,1,、 l,2,、 l,3,。这些观测值的可靠程度都相同，每组分别取算术平均值作为最后观测结果，即,(5-39),5.5,不等精度直接观测平差,对于观测值L,1,、L,2,来说，彼此是不等精度观测，故最后结果应为：,(5-40),权只有相对意义，起作用的不是其绝对值，而是其比,值，权通常用字母p表示，且恒取正值。,5.5,不等精度直接观测平差,一定的中误差，对应着一个确定的误差分布，即对应着一定的观测条件。观测值的中误差愈小，其值愈可靠，权就愈大。因此，也可根据中误差来定义观测值的权。,5.5.1,权与中误差的关系,设n个不等精度观测观测值的中误差分别为m,1,，m,2,，m,n,，则权可以用下式来定义：,其中,可取为任意正常数,。,(5-42),前面所举的例子，,l,1、,l,2、,l,3、,l,4,和,l,1,、 l,2,、 l,3,是等精度观测，,观测值的中误差为,m，则第1组的,算术平均值L,1,的中误差,m,1,可以根据式(5-37)得：,同理，可得第2组算术平均值L,2,的中误差为：,5.5,不等精度直接观测平差,在式(5-42)中分别代入,m,1,和,m,2,，得：,5.5.1,权与中误差的关系,式中为任意常数。设 =m,2, 则L,1,、L,2,的权为,由上式可知，,权与中误差的平方成反比。任意选择值，可以使权变为便于计算的数值,。,L,1,：,L,2,：,=m,2,p,1,=4 , p,2,=3,5.5,不等精度直接观测平差,5.5.1,权与中误差的关系,例59对某一角度进行了n次观测，求算术平均值的权。,由例59可知，,取一测回角度观测值之权为,1,，则,n,个测回观测值的算术平均值的权为,n,。故角度观测的权与其测回数成正比。在不等精度观测中引入,“权”,的概念，可以建立各观测值之间的精度比值，以便更合理地处理观测数据。,解设一测回角度观测值的中误差为m，由式（537），算术平均值的中误差为Mm/n,1/2,。,由权的定义并设m,2,，则一测回观测值的权为：,p=/m,2,=1,p=/m,2,=1,算术平均值的权为：,p,x,=/(m,2,/n)=n,例如，设每一测回的观测值的中误差为,m,2,，其权为,p,0,，并设,m,2,，则有：p,0,=/m,2,=1（543）,p,0,=/m,2,=1（543）,5.5,不等精度直接观测平差,5.5.1,权与中误差的关系,相应的有中误差的另一表达式：,等于,1,的权称,单位权,，而使权等于1的中误差称,单位中误差,，一般用,m,0,(或)表示。对于中误差为,m,i,的观测值，其权,p,i,为：,(5-44),(5-45),5.5,不等精度直接观测平差,设对同一未知量进行了n次非等精度观测，观测值为l,1,、l,2,、l,n,，其相应的权为p,1,、p,2,、p,n,，,则加权算术平均值L,0,为非等精度观测值的,最或是值,(最可靠值)，其计算公式可写为,5.5.2 加,权平均值与中误差的关系,校核计算式为：,式中v,i,=l,i,-L,0,为最或是误差。,(5-46),或,(5-47),(5-48),由式(5-47)，根据误差传播定律，可得L,0,的中误差M,0,为：,(5-49),式中:m,1，,m,2,m,n,为l,1,l,2,l,n,的中误差。,5.5,不等精度直接观测平差,根据权的定义公式(5-42)和式(5-44),5.5.2 加,权平均值与中误差的关系,p,1,m,1,2,=p,2,m,2,2,=p,n,m,n,2,=m,0,2,(5-50),有(,m,0,为单位权中误差),(5-44),(5-42),所以,(5-49),5.5,不等精度直接观测平差,5.5.2 加,权平均值与中误差的关系,实际上常用最或是误差v,i,=L,0,-l,i,来计算中误差M,0,，与式(5-38)类似，有：,(5-51),(5-52),(5-50),习题与思考题,6、7、8、9、10、11,谢谢,