电路教案第4章n

西安电子科技大学电路与系统多媒体室制作,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,许多实际电路，除了电源和电阻外，还常包含,电容,和,电感,元件。这类元件的,VCR,是微分或积分关系，故称其为,动态元件,。含有动态元件的电路称为,动态电路,，描述动态电路的方程是微分方程。,4.1 电容元件,电容,元件,(capacitor),是一种储存电能的元件,它是,实际电容器,的理想化模型。其电路符号如图,(a),所示。,电容上电荷与电压的关系最能反映这种元件的储能。,1,、电容的一般定义,一个二端元件，假设在任一时刻t，其电荷q(t)与电压u(t)之间的关系能用qu平面上的曲线表征，即具有代数关系 f (u，q ) = 0,那么称该元件为电容元件，简称电容。,下一页,前一页,第,4-,1,页,回本章目录,下一页,前一页,第,4-,2,页,回本章目录,电容也分：,时变,和,时不变,的，,线性的,和,非线性的,。,线性时不变电容的外特性,(,库伏特性,),是,q,u,平面上一条过原点的直线，且其斜率,C,不随时间变化，如图,(a),所示。其表达式可写为：,q,(t) =,Cu,(t),其中,C,就是电容元件的值，单位为：,法,拉,(,F,),。对于线性时不变电容，,C,为正实常数。,2,、电容的,VAR(,或,VCR),当电容两端的电压变化时，聚集在电容上的电荷也相应发生变化，这说明连接电容的导线上就有电荷移动，即有电流流过；假设电容上电压不变化，电荷也不变化，即电流为零。这与电阻不同。,假设电容上电压与电流参考方向关联，如图(b)，考虑到 i =dq/dt， q = C u(t)，有,称电容,VAR,的微分形式,4.1 电容元件,对电容伏安关系的微分形式从-到t进展积分，并设u(-)=0，可得,称电容,VAR,的积分形式,设,t=t,0,为初始观察时刻，上式可改写为,称为电容电压在t0时刻的初始值(initial value),或初始状态,(initial state)，它包含了在t0以前电流的“全部历史信息。,一般取t0 =0 。,式中,下一页,前一页,第,4-,3,页,假设电容电压、电流的参考方向非关联，如右图所示。电容VAR表达式可改为,u,与,i,非关联,返回本章目录,4.1 电容元件,当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的,瞬时功率,为：,3,、电容的功率与储能,电容是储能元件，它不消耗能量。当 p(t)0时，说明电容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) 0时，说明电感是在吸收能量，处于充磁状态；当 p(t) 0时，说明电感是在释放能量，处于放磁状态。释放的能量总也不会超过吸收的能量。电感不能产生能量，因此为无源元件。,对上式从-到 t 进展积分，即得t 时刻电感上的储能为：,式中,i,(-),表示电感未充磁时刻的电流值，应有,i,(-) =0,。于是，电感在时刻,t,的储能可简化为：,可见：电感在某一时刻,t,的储能仅取决于此时刻的电流，而与电压无关，且储能 ,0,。,4.2 电感元件,4,、举例,下一页,前一页,第,4-,12,页,返回本章目录,例1 如图(a)电路，电感电压u (t)，L=0.5H，i(0)=0；试求电感上电流i(t) 及在t=1s时的储能wL(1)。,解：,写出,u,(t),的表达式为,当时，,当时，,4.2 电感元件,5,、主要结论,下一页,前一页,第,4-,13,页,返回本章目录,1电感元件是动态元件。,2由电感VAR的微分形式可知：任意时刻，通过电感的电压与该时刻电流的变化率成正比。当电感电压 u为有限值时，其di/dt也为有限值，那么电流i必定是连续函数，此时电感电流是不会跃变的。当电感电流为直流电流时，那么电压 u = 0，即电感对直流相当于短路。,3由电感VAR的积分形式可知：在任意时刻t，电感电流i是此时刻以前的电压作用的结果，它“记载了以前电压的“全部历史。即电感电流具有“记忆电压的作用，故电感也是一个记忆元件。,4电感是一个储能元件，它从外部电路吸收的能量，以磁场能量的形式储存于自身的磁场中。电感L在某一时刻的储能只与该时刻t电感电流有关。,4.2 电感元件,1,、电容串联：,下一页,前一页,第,4-,14,页,返回本章目录,4.3、 电容与电感的串、并联等效,电容串联电流一样，根据电容VAR积分形式,由,KVL,，有,u,=,u,1,+,u,2,+,u,n,分压公式,特例,：两个电容串联，,下一页,前一页,第,4-,15,页,返回本章目录,2,、电容并联：,电容并联电压u一样，根据电容VAR微分形式,由,KCL,，有,i,=,i,1,+,i,2,+,i,n,C,eq,=,C,1,+,C,2,+,C,n,分流公式,4.3、 电容与电感的串、并联等效,3,、电感串联：,下一页,前一页,第,4-,16,页,返回本章目录,电感串联电流一样，根据电感VAR微分形式,由,KVL,，有,u,=,u,1,+,u,2,+,u,n,L,eq,=,L,1,+,L,2,+,L,n,分压公式,4.3、 电容与电感的串、并联等效,4,、电感并联：,下一页,前一页,第,4-,17,页,返回本章目录,电感并联电压u一样，根据电容VAR积分形式,由,KCL,，有,i,=,i,1,+,i,2,+,i,n,分流公式,特例,：两个电感并联，,4.3、 电容与电感的串、并联等效,5,、电容电感串并联两点说明,1电感的串并联与电阻串并联形式一样，而电容的串并联与电导形式一样。,2电感与电容也可以利用-Y等效，但注意：对电容用1/C代入。,下一页,前一页,第,4-,18,页,返回本章目录,4.3、 电容与电感的串、并联等效,下一页,前一页,第,4-,19,页,回本章目录,4.4 耦合电感元件,一、耦合线圈,i,1,(t),11,21,22,12,i,2,(t),耦合电感,(,互感,),是实际互感线圈的理想化模型。工作原理是单个电感的延伸。,图中两个靠近的线圈，线圈,1,有,N,1,匝，线圈,2,有,N,2,匝。,当线圈1中通电流 i1时，在自身中激发磁通11，称自磁通；其中有一局部也通过N2 21，称为互磁通。,在线圈密绕的情况下，穿过各自线圈中每匝的磁通一样，故与两线圈交链的磁链有,11,=N,1,11,=,L,1,i,1,21,=,N,2,21,=,M,21,i,1,11,，,L,1,称线圈,1,的,自磁链,和,自感,；,21,，,M,21,称线圈,1,电流,i,1,对线圈,2,的,互磁链和互感,。,同样，线圈,2,中通电流,i,2,时，有,22,=,N,2,22,=,L,2,i,2,，,12,=N,1,12,=,M,12,i,2,下一页,前一页,第,4-,20,页,回本章目录,工程上，为了描述两线圈的耦合松紧程度，将两线圈互磁链与自磁链之比的几何均值定义为耦合系数,k,，即,将前面的有关式子代入，得：,11,=N,1,11,=,L,1,i,1,，,21,=N,2,21,=,M,21,i,1,22,=N,2,22,=,L,2,i,2,，,12,=N,1,12,=,M,12,i,2,由于,21,11,12, ,22,， 故,0,k,1,，,M,2,L,1,L,2,当,k = 0,时，,M = 0,，两线圈互不影响，称无耦合；,当,k = 1,时，,M,2,= L,1,L,2,，称为全耦合。,对于线性电路，可以证明 M12 = M21 =M，其单位与自感一样，为亨(H)。,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第,4-,21,页,回本章目录,如下图两耦合线圈，都通电流后，其自磁通与互磁通方向一致，称为磁通相助。,二、耦合电感的伏安关系,i,1,(t),i,2,(t),各线圈中的总磁链包含自磁链和互磁链两局部。在磁通相助的情况下，两线圈的总磁链分别为,1 = 11 + 12 = L1 i1+ M i2,2 = 22 + 21 = L2 i2+ M i1,设两线圈电压、电流参考方向关联，那么根据电磁感应定律，有,u,1,(t),u,2,(t),4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第,4-,22,页,回本章目录,i,1,(t),i,2,(t),u,1,(t),u,2,(t),假设改变线圈2的绕向，如下图。那么自磁通与互磁通方向相反，称为磁通相消。,这时，两线圈的总磁链分别为,1,= ,11,-,12,=,L,1,i,1,-,M,i,2,2,= ,22,-,21,=,L,2,i,2,-,M,i,1,两线圈电压为,上分析说明：耦合电感上的电压等于自感电压与互感电压的代数和。在线圈电压、电流参考方向关联的条件下，自感电压取“+；,当磁通相助时，互感电压前取“+；当磁通相消时，互感电压前取“-。,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第,4-,23,页,回本章目录,判断磁通相消还是相助，除与线圈上电流的方向有关外，还与两线圈的相对绕向有关。,实际中，耦合线圈密封，且电路图中不便画出。为此，人们规定一种称为,同名端,的标志。根据同名端和电流的参考方向就可判定磁通相助还是相消。,同名端的规定：当电流从两线圈各自的某端子同时流入(或同时流出)时，假设两线圈产生的磁通相助，那么称这两个端子是耦合电感的同名端，并标记号“或“*。,哪些是同名端？,假设i1从a端流入， i2从c端流入，磁通相助；故a、c为同名端，用“标出。电路模型如右图。,显然，,b,、,d,也是同名端。,a,、,d,为异名端，,b,、,c,也是异名端。,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第,4-,24,页,回本章目录,哪些是同名端？,假设i1从a端流入， i2从c端流入，磁通相消；故a、c为异名端， 而a、d为同名端，用“标出。电路模型如右图。,显然，,b,、,c,也是同名端。,b,、,d,是异名端。,综上所述，在端口电压、电流均取,关联,参考方向的前提下，其,VAR,为：,式中，当两电流同时从同名端流入时，互感电压项前取“+；否那么，两电流同时从异名端同时流入时，互感电压项前取“-。,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第,4-,25,页,回本章目录,例 写出以下互感的伏安关系：,图,(a),关联，故有,解,(1),首先判断端口的电压、电流是否关联。,(2)判断电流是否同时流入同名端。图(a)是。取“+。,解,(1),首先判断端口的电压、电流是否关联。,L,1,上电压、电流关联；而,L,2,上电压、电流非关联，先将其变为关联，如图中指示。,+,-,-,u,2,(2) 电流同时流入异名端。故取“-。,+,+,-,-,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第,4-,26,页,回本章目录,三、耦合电感的,T,形去耦等效电路,当两个耦合电感线圈有一端相连接时：,等效为,等效为,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第,4-,27,页,回本章目录,例,求,ab,端的等效电感。,T,形等效为,T,形等效为,T,形等效为,4.4 耦合电感元件,下一页,前一页,第,4-,28,页,回本章目录,一、理想变压器,变压器是一种利用磁耦合原理实现能量或信号传输的多端电路器件，有着广泛应用。常用,实际变压器,分,空心变压器,和,铁心变压器,两类。本节重点讨论的,理想变压器,是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的理想化抽象，可看成极限情况的互感。,理想变压器可看作是,互感元件,在满足,3,个,理想条件,产生的多端电路元件。,全耦合,，即,k=1,；,自感,L,1,、,L,2, ,，,且,L,1,/L,2,为常数,；,无损耗,。,工程上，满足这,3,个条件是不可能的。理论上，满足这,3,个条件的互感将发生质变。产生一种与互感有着本质区别的一种新元件,理想变压器。,1,、理想条件,4.5 变压器,下一页,前一页,第,4-,29,页,回本章目录,VAR,为,VAR,为,理想变压器的电路模型如下：,对图,(a),电路，可得其瞬时功率为,p,(t) =,u,1,i,1,+,u,2,i,2,=,n,u,2,(,-,1/,n,),i,2,+,u,2,i,2,= 0,该式说明：理想变压器既不消耗能量，也不储存能量，是一个无记忆即时元件。这一点与互感有着本质的不同。理想变压器本质是电压、电流的线性变换器。,注意电路符号,w,(t) = 0,4.5 变压器,下一页,前一页,第,4-,30,页,回本章目录,变阻特性：,如图理想变压器，其,VAR,为,假设次级接负载电阻RL，那么由初级端口看的输入阻抗,由于,R,L,=,理想变压器的阻抗变换作用只改变阻抗的大小，且与同名端无关,。,4.5 变压器,下一页,前一页,第,4-,31,页,回本章目录,自己可以证明一下。,两种等效关系：,4.5 变压器,下一页,前一页,第,4-,32,页,回本章目录,理想变压器的总结：,4.5 变压器,理想变压器不是电感或互感元件，它只有唯一参数,n,，没有,L,1, L,2,M,等参数。,变流、变压性质在直流和交流电路中均成立。,理想变压器是无源、无损耗、非储能、无记忆的元件。,可用作阻抗匹配。,下一页,前一页,第,4-,33,页,回本章目录,假设将两个线圈绕在高导磁率铁磁材料上，那么可使两线圈的耦合系数k接近1，当工作频率不太高时，线圈的损耗可忽略。理想情况下，这种全耦合、无耗的耦合线圈称为全耦合变压器。与理想变压器相比，只有L1、L2为的条件不满足。,二、全耦合变压器,图为全耦合互感线圈。,4.5 变压器,下一页,前一页,第,4-,34,页,回本章目录,由于全耦合,，故,k=1,M,2,= L,1,L,2,，并且,21,= ,11,，,12,= ,22,，,考虑到,11,=N,1,11,=L,1,i,1,，,21,=N,2,21,= M,i,1,，,22,=N,2,22,= L,2,i,2,，,12,=N,1,12,= M,i,2,，,故有,由全耦合得到！,全耦合的性质,4.5 变压器,下一页,前一页,第,4-,35,页,回本章目录,图中全耦合互感线圈，其,VAR,关系为，,故,变压关系与理想变压器一样,(1),(2),4.5 变压器,下一页,前一页,第,4-,36,页,回本章目录,对式,(1),从,-,到,t,积分，并设,i,1,(,-,)=,i,2,(,-,)=0,，得,式中，,是由于存在初级自感,L,1,而出现的，称为,励磁电流,。,是次级电流,i,2,在初级的反映，它与,i,2,之间满足理想变压器的变流关系。,据此，可得到全耦合变压器的电路模型，如图。,可见，它是由理想变压器在其初级并联电感,L,1,构成的。,L,1,常称为励磁电感。,4.5 变压器,下一页,前一页,第,4-,37,页,回本章目录,三、实际铁心变压器模型,对于实际变压器，尽管采用导磁率较高的铁心或磁心，耦合得很紧，但耦合系数总小于1，而且不可防止地有损耗。,初级自感,L,1,= L,m1,+ L,S1,初级漏电感,次级漏电感,初级铜耗,次级铜耗,铁心损耗电导,励磁电感,4.5 变压器,