初数1截长补短与倍长中线法

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,AE=2BE,； ,E,是,BC,中点， ,BC=2BE,，,即,AE=BC,；,又四边形,ABCD,是平行四边形，,则,AD=BC=AE,；,（,2,）证明：作,AGAF,，,交,DP,于,G,；（,如图,2,） ,ADBC,， ,ADG=DPC,； ,AEP=EFP=90,， ,PEF+EPF=PEF+AEF=90,，,即,ADG=AEF=FPE,；,又,AE=AD,，,FAE=GAD=90-EAG,， ,AFEAGD,， ,AF=AG,，,即,AFG,是等腰直角三角形，且,EF=DG,； ,FG=2AF,，,且,DF=DG+GF=EF+FG,，,故,DF-EF=2AF,；,（,3,）解：如图,3,，当,EP2BC,时，,DF+EF=2AF,，解法同（,2,） 当,EP,2BC,时，,EF-DF=2AF,解：（,1,）如图,1,，延长,BD,至,E,，,使,BE=AB,，,连接,AE,、,CE,， ,ABD=60,， ,ABE,是等边三角形， ,AE=AB,，,AEB=60,， ,AB=AC,， ,AC=AE,， ,ACE=AEC,， ,ACD=60,， ,ACE-ACD=AEC-AEB,，,即,DCE=DEC,， ,DE=CD,， ,BE=BD+DE=BD+CD,， ,AB=BD+CD,；,故答案为：,AB=BD+CD,；,（,2,）猜想：,AB= (,BD+CD,）理由如下：,如图,2,，过点,A,作,AEAB,交,BD,的延长线于点,E,，连接,CE,，,ABD=45,，,ABE,是等腰直角三角形，,AE=AB,，,AEB=45,，,AB=AC,，,AC=AE,，,ACE=AEC,，,ACD=45,，,ACE-ACD=AEC-AEB,，,即,DCE=DEC,，,DE=CD,，,BE=BD+DE=BD+CD,，,在,RtABE,中，,AB=BEcosABD=,（,BD+CD,）,cos45=,（,BD+CD,），,即,AB=,（,BD+CD,）；,（,3,）如图,3,，过点,A,作,AFBD,于点,F,，延长,BD,到,E,，,使,EF=BF,，连接,AE,、,CE,，,则,AE=AB,（,等腰三角形三线合一）， ,AEB=ABD=,，,AB=AC,， ,AC=AE,， ,ACE=AEC,， ,ACD=,，,ACE-ACD=AEC-AEB,，,即,DCE=DEC,， ,DE=CD,， ,BE=BD+DE=BD+CD,，,在,RtABF,中，,ABcosABD= BE,，,即,ABcos,=,（,BD+CD,）,例,3,、在,RtABC,中，,ACB=90,，,tanBAC=,点,D,在边,AC,上（不与,A,，,C,重合），连接,BD,，,F,为,BD,中点（,1,）若过点,D,作,DEAB,于,E,，连接,CF,、,EF,、,CE,，如图,1,设,CF=kEF,，则,k=_,；（,2,）若将图,1,中的,ADE,绕点,A,旋转，使得,D,、,E,、,B,三点共线，点,F,仍为,BD,中点，如图,2,所示求证：,BE-DE=2CF,；（,3,）若,BC=6,，点,D,在边,AC,的三等分点处，将线段,AD,绕点,A,旋转，点,F,始终为,BD,中点，求线段,CF,长度的最大值,（,1,）,F,为,BD,中点，,DEAB,， ,CF=12BD,，,EF=12BD,， ,CF=EF,， ,k=1,； 故答案为,1,（,2,）如图，过点,C,作,CE,的垂线交,BD,于点,G,，设,BD,与,AC,的交点为,Q,由题意，,tanBAC=,， ,BC/AC=DE/AE=, ,D,、,E,、,B,三点共线， ,AEDB, ,BQC=AQD,，,ACB=90,， ,QBC=EAQ, ,ECA+ACG=90,，,BCG+ACG=90,， ,ECA=BCG, ,BCGACE, ,BC/AC=GB/AE= GB=DE, ,F,是,BD,中点，,F,是,EG,中点,在,RtECG,中，,CF= EG,， ,BE-DE=EG=2CF,；,（,3,）情况,1,：如图，当,AD= AC,时，取,AB,的中点,M,，连接,MF,和,CM,， ,ACB=90,，,tanBAC=,，且,BC=6,，,AC=12,，,AB=,M,为,AB,中点，,CM=,，,AD= AC,，,AD=4.,M,为,AB,中点，,F,为,BD,中点， ,FM= AD=2,如图,4,：当且仅当,M,、,F,、,C,三点共线且,M,在线段,CF,上时,CF,最大， 此时,CF=CM+FM=2+,情况,2,：如图,5,，当,AD= AC,时，取,AB,的中点,M,，连接,MF,和,CM,， 类似于情况,1,，可知,CF,的最大值为,4+,综合情况,1,与情况,2,，可知当点,D,在靠近点,C,的三等分点时，线段,CF,的长度取得最大值为：,4+,故答案为：,4+,二、倍长中线法,中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线”添加辅助线，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造初,全等三角形/相似三角形,，从而运用,全等三角形/相似三角形,的有关知识来解决问题的方法，倍长中线它延续着旋转的思想，它们都是把离散的条件集中起来，构成新的图形，从而产生新的已知条件。,全等三角形-证明线段不等,全等三角形-证明线段相等,A,Q,全等三角形-证明线段倍分,F,延长CD至F,使DF=CD,连接AF,AD=BD,CD=DF,ADF=BDC,ADFBDC,AF=BC,AFBC,CAF+ACB=180, ACB=ABC,ABC+CBE=180,CAF=CBE,又,AC=BE,CAFCBE,CE=CF,CE=2CD,相似三角形-证明线段倍分,A,A,倍长中线-角相等,F,证明：,延长AE到F,使EF=AE,连接BF,AE是ABD的中线,BE=DE,又EF=AE,BEF=AED,BEFDEA（SAS）,AD=BF,ADE=FBE,ADC=ABD+BAD,ABF=ABD+FBE,BAD=BDA=FBD,ADC=ABF,又CD=AB,AD=BF,ADCFBA（SAS）,C=BAE,M,1,2,4,3,延长AE,过D作DMAC交AE延长线于M,M=1,C=2,在DEM与CEA中,M=1,C=2,DE=CE,DEMCEA,DM=CA,又DF=CA,DM=DF,M=3,ABFD,3=4,4=1,AE平分BAC,