第2章-离散时间信号分析(5.17修改)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 离散时间信号分析,第,2,章 离散时间信号分析,2.1,离散时间信号,-,序列,2.2,采样定理及其实现,2.3,离散时间信号的相关分析,2.4,离散时间信号的,Z,域分析,2.5,离散系统的描述与分析,2.6,物理可实现系统,2.1.1,序列,、,几种常用序列,2.1.2,序列的运算,2.1,离散时间信号,-,序列,一序列,1,信号及其分类,(1),信号,信号是,传递信息的函数,，它可表示成,一 个或几个独立变量的函数。,如，,f(x); f(t); f(x,y),等。,(2),连续时间信号与模拟信号,在连续时间范围内定义的信号，幅值为,连续,的信号称为模拟信号，连续时间信号与模拟信号常常通用。,(3),离散时间信号与数字信号,时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都,离散化,的信号称作为数字信号。,n,x(,-2),x,(-1),x,(0),x,(1),x,(2),x,(n),-2,-1,0,1,2,2,序列,离散时间信号又称作,序列,。通常，离散时间信号的间隔为,T,，,且是均匀的，故应该用,x,(nT,）,表示在,nT,的值,由于,x,(nT,),存在存储器中，加之非实时处理，可以用,x,(n),表示,x,(nT,),，,即第,n,个离散时间点的值，这样,x,(n),就表示一序列数，即序列：,x,(n),。,为了方便，通常用,x,(n),表示,序列,x,(n,),。,序列的三种形式,二几种常用序列,1,单位抽样序列,(,单位冲激,),1,-2,-1,0,1,2,n,1,-2,-1,0,1,m,n,时移性,比例性,抽样性,注意：,用单位抽样序列表示任意序列,任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和.,例,:,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,x,(n),n,位移加权和,n,0,n,0,n,0,(n+3),(n-2),(n-6),2,单位阶跃序列,u,（,n,）,.,0,1,2,3,-1,n,u(n),3,矩形序列,4,单边指数序列,5,正弦型序列,其中，,0,为数字频率。,6,复指数序列,7,序列的周期性,如果存在一个最小的正整数,N,，,满足,x,(n)=,x,(n+N),，,则序列,x,(n),为周期,性序列，,N,为周期。,注意：周期序列的定义与模拟信号的定义不同，即周期序列的自变量,n,和周期,N,只能取整数。正是这一区别，使得某些模拟周期信号，离散化以后就不一定是周期序列。,N,称为序列的周期，为任意正整数。,正弦序列周期性的判别,正弦序列是周期的,离散点（时刻）,nT,上的正弦值,区别,:,1,序列相加,两序列的和是指同序号,(n),的序列值逐项对应相加得一新序列。,2.1.2,序列的运算,例：,x,(n),1,1/2,1/4,1/8,n,-2,-1,0,1,2,y(n),1,2,3,1/2,1/4,-2,-1,0,1,2,n,-2,-1,0,1,2,1/4,3/2,3/2,9/4,25/8,Z(n),.,2,序列相乘,是指同序号,(n),的序列值逐项对应相乘。,3,序列移位,当,m,为正时，,x,(n-m),表示依次右移,m,位；,x,(n+m),表示依次左移,m,位。它是向右或向左移动了一段距离。,-1,0,1,2,x,(n),1,1/2,1/4,1/8,.,-2,n,例：,1/2,1/4,1/8,1,x,(n+1),n,0,-1,-2,1,4,翻褶,(,折迭,),如果有,x,(n),，则,x,(-n),是以,n=0,为对称轴将,x,(n),加以翻褶的序列。其物理意义是：若,x(n),是存入计算机存储器中的数，则,x(-n),表示到着取数。,例：,.,-2,-1,0,1,2,1/8,1/4,1/2,1,x,(-n),n,-1,0,1,2,x,(n),1,1/2,1/4,1/8,.,-2,n,5,尺度变换,（,1,） 抽取：,x(n),x(mn,), m,为正整数。,例如，,m=2,，,x(2n),，,相当于两个点,取一点；以此类推。,x,(2n),1,3,1/4,-1,0,1,n,x,(n),1,2,3,1/2,1/4,-2,-1,0,1,2,n,（,2,）插值：,x(n) x(n/m), m,为正整数。,例如，,m=2,，,x(n/2),，,相当于两个点,之间插一个点；以此 类推。通常，插值用,I,倍表示，即插入（,I-1,）,个值。,x,(n),1,2,1/2,-1,0,1,n,x,(n/2),1,2,1/2,-2,-1,0,1,2,n,。,。,6,序列的,离散卷积,卷积和计算分四步：,折迭,(,翻褶,),，,位移，相乘，相加。,2.2,连续时间信号的取样,2.2.1,取样器与取样,1.,取样器,P(t),T,2.,实际取样与理想取样,0,t,实际取样：,t,p(t),0,t,T,p(t),为脉冲序列,理想取样,：,t,（冲激序列）,t,2.2.2,取样定理,1,预备知识,（,1,）冲激信号及其取样特性,定义：,t,(1),0,取样特性：,(2),频域卷积定理,若,(3),冲激函数序列的傅氏变换,.,.,0,T,t,1,2,0,冲激序列的傅氏变换仍为冲激序列。,2,抽样信号的频谱,*,可见，该频谱为周期性信号，其,周期为,0 ,h,为最高频率分量,3.,取样定理,由上图可知，用一截止频率为 的,低通滤器对 滤波可以得,因此，要想抽样后能不失真的还原出,原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信,号最高频率分量。即 这就是奈,奎斯特取样定理。,2.2.3,频率混叠,如果信号的最高频率 超过 ，如下图所示。（,1,）在,频域,里，各次调制频谱就会发生相互重叠。一些频率的幅值与原始情况不同，于是不能分开和恢复信号的这些部分。,（,2,）在,时域,解释频率混叠现象,(,教材,P71),为减少频率混叠，可采用两种方法,(1),对于频域衰减较快的信号，可以用提高,采样频率,的方法来解决。但是，提高采样频率可能会导致,频率分辨率,降低。,(2),对于频域衰减较慢的信号，可以采用抗混叠滤波器来解决。即在采样前，先将信号,x(t,),通过一个截止频率为,fm,的抗混叠滤波器，将不需要的高频成分滤掉。,2.2.4,采样方式,实时采样,:,当数字化一开始，信号波形的第一个采样点就被采入并被数字化，然后，经过一个采样间隔，再采入第二个样本，一直将整个信号波形数字化后存入波形存储器。,优点,：,(1),适用于任何形式的信号波形,(2),易于波形显示。,缺点：时间分辨率差。,等效时间采样,可以实现很高的数字化转换效率。,它要求信号波形可以重复产生。,2.3,离散时间信号的相关分析,2.3.1,离散时间信号的自相关函数,2.3.2,离散时间信号的互相关函数,2.3.1,离散时间信号的自相关函数,1.,定义,自相关函数 定义为,它反映了信号 和其自身作了一段延迟之后的 的相似程度。,能量信号 自身的能量,功率信号 的自相关函数定义为,周期信号 ，周期为,N,，则其自相关函数为,即：周期信号的自相关函数也是周期信号，且与原信号周期相同。,2.,性质（略，见教材）,2.3.2,离散时间信号的互相关函数,1.,定义,设想,x(n,),和,y(n,),为两个能量有限的确定信号，则互相关函数 定义为,功率信号 与 的自相关函数定义为,周期信号 ，周期为,N,，则其自相关函数为,即：周期信号的自相关函数也是周期信号，且与原信号周期相同。,2,性质（略，见教材）,2.4,离散时间信号的,Z,域分析,Z,变换的定义与收敛域,Z,反变换,Z,变换的基本性质和定理,信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。,一,.,时域,分析法,1.,连续时间信号与系统：,信号的时域运算，时域分解，经典时域,分析法，近代时域分析法，卷积积分。,2.,离散时间信号与系统：,序列的变换与运算，卷积和，差分方程,的求解。,二,.,变换域,分析法,1.,连续时间信号与系统：,信号与系统的频域分析、复频域,分析。,2.,离散时间信号与系统：,Z,变换，,DFT(FFT),。,Z,变换可将差分方程转化为代数方程。,2.4.1,Z,变换的定义及收敛域,一,.Z,变换定义：,序列的,Z,变换定义如下：,*实际上，将,x,(n),展为,z,-1,的幂级数。,二,.,收敛域,1.,定义,:,对于任意给定序列，能,使,收敛的所有,z,值的集合称作,X(,z),的收敛域,.,2.,收敛条件：,X(z),收敛的充要条件是,绝对可和。,不同的,x,(,n,),的,z,变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的,z,变换，故在确定,z,变换时，必须指明收敛域。,3.,一些序列的收敛域,(1).,预备知识,阿贝尔定理,:,如果级数 ，在,收敛,那么,满足,0,|z|z,+,|,的,z,级数必绝对收,敛。,|z,+,|,为最大收敛半径。,同样,对于级数 ，满足,的,z,，,级数必绝对收敛。,|z_|,为最小收敛半径。,0,n,2,n,1,n,(,n),.,.,.,(2).,有限长序列,x,(n),n,0,n,1,.,.,1,.,（,3,） 右边序列,*第一项为有限长序列，第二项为,z,的负幂级数,收敛域,第一项为有限长序列,其收敛域为0,|z|;,第二项为,z,的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为,R,x-,|z|;,两者都收敛的域亦为,R,x-,|z|;,R,x-,为,最小,收敛半径。,(4),因果序列,它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔,定理可知收敛域为：,(5),左边序列,x,(n),0,n,n,2,第二项为有限长序列,其收敛域,;,第一项为,z,的正幂次级数，根,据阿贝尔定理,其收敛域为,;,为,最大,收敛半径,.,双边序列,指,n,为任意值时,x,(,n),皆有值的序列，即,左,边序列,和右,边序列之和。,(6),双边序列,0,n,x,第二项为左边序列，其收敛域为：,第一项为右边序列,(,因果,),其收敛域为：,当,R,x-,R,x+,时，其收敛域为,总结,任何,z,变换表达式必须同时表示收敛域；,x,(,n,),的收敛域（,ROC,）,为,z,平面以原点为中心的,圆环,；,ROC,内,不包含任何极点,（以极点为边界），但可允许零点存在；,有限长,序列的,ROC,为,整个,z,平面,（,可能除去,z,= 0,和,z,=,）；,右边序列,的,ROC,为 的,圆外,；,其中因果序列的,ROC,必定包含,在内；,左边序列,的,ROC,为 的,圆内,;,n,2,|z|,时，这是无穷,递缩,等比级数，收敛。,收敛域：,*收敛域一定在模,最小,的极点所在的圆内。,求序列,的,Z,变换及收敛域。,例：,有限长序列,收敛域为除了,0,和,的整个,平面,8,个零点,7,阶极点,一阶极点,2.4.2 Z,反变换,一,.,定义,：,已知,X(z),及其收敛域,反过来求序列,x,(,n),的变换称作,Z,反变换。,常用的方法有三种：围线积分法（留数法）、部分分式法和长除法。,z,逆变换的围线积分表示,得,z,逆变换公式,用留数定理求围线积分。,1.,留数法,由留数定理可知,：,为,c,内的第,k,个极点， 为,c,外的第,m,个极点，,Res ,表示极点处的留数。,二,.,求,Z,反变换的方法,2,、当,Z,r,为,l,阶,(,多重,),极点时的留数：,留数的求法：,1,、当,Z,r,为,一,阶极点时的留数：,例,2-4,已知,解,:,1,）当,n,=-1,时,不会构成极点，所以这时,C,内只有一个一阶极点因此,，求,z,反变换。,2）,当,n-2,时，,X(z)z,n-1,中的,z,n+1,构成,n+1,阶极点。,因此,C,内有极点：,z,=1/4(,一阶,),z=0,为,(n+1),阶极点；而在,C,外仅有,z=4(,一阶,),这个极点,:,2.,部分分式法,有理式：数字和字符经有限次加、减、乘、除运算,所得的式子。,有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。,部分分式：把,x,的一个实系数的真分式分解成几个分式,的和，使各分式具有 或,的形式 ，其中,x,2,+A,x,+B,是实数范围内的不可约,多项式，而且,k,是正整数。这时称各分式为原分式的,“,部分分式,”,。,通常，,X(z),可表示成有理分式形式：,因此，,X(z),可以展成以下部分分式形式,其中，,MN,时，才存在,B,n,；,Z,k,为,X(z),的各单极点，,Z,i,为,X(z),的一个,r,阶极点。而系数,A,k,，,C,k,分别为：,求逆,z,变换的步骤,的z反,变换,。,例2-,5,利用部分分式法，求,解：,3.,幂级数展开法,(,长除法,),因为,x,(n),的,Z,变换为,Z,-1,的幂级数，即,所以在给定的收敛域内，把,X(z),展为幂级数，其系数就是序列,x,(,n),。,如收敛域为,|,z|,R,x+,，,x(n),为因果序列，则,X(z),展成,Z,的负幂级数。,若收敛域,|,Z|,R,x-, x(n),必为左边序列，主要展成,Z,的正幂级数。,例,2-6,试用长除法求的,z,反变换。,解,:,收敛域为环状，极点,z=1/4,对应因果序,列，极点,z=4,对应左边序列,(,双边序列,),双边序列可,分解,为因果序列和左边序列。,应先展成,部分分式,再做除法。,4-Z,),4Z+Z + Z + Z + Z +,2,4,1,3,1,16,4,5,1,64,.,16 Z,16 Z - 4 Z,2,4,Z,4 Z - Z,Z,Z - Z, Z, Z - Z, Z,2,2,3,3,3,1,4,1,4,1,4,4,4,4,1,16,5,5,1,16,.,.,Z-,),Z,1,4,1+ Z + Z + Z,1,4,-1,1,16,-2,1,64,-3,.,Z- ,1,4,1,4,1,4,- Z,1,16,-1, Z,1,16,-1, Z,1,16,-1,- Z,1,64,-2, Z,1,64,-2, Z,1,64,-2,- Z,1,256,-3, Z,1,256,-3,.,Z,变换的基本性质和定理,省略（附录,D,）,2.5,离散系统的描述与分析,2.5.1,离散系统的数学模型,T.,x,(,n),(,n),离散时间系统：就是将输入序列变换为所要求的输出序列的系统。,T.,表示这种运算关系。,y(n,)=,Tx(n,),离散线性移不变系统,(1),线性离散系统的特点,即系统满足,齐次性,和,叠加性,设系统具有：,那么该系统就是线性系统,。,(2),移不变,离散,系统,的特点,如果,T,x,(n,)=,y(n,),，,则,T,x,(n-m,)=,y(n-m,),，,满足这样性质的系统称作移不变系统。,即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。,(3),线性,移不变,离散,系统,的特点,单位冲激,(,采样,),响应,:,指输入为单位冲激序列时系统的输出，用,h(n,),表示。,当系统是,线性移不变离散系统,时，其输出可以用输入与单位冲激响应的卷积和，即,2.5.2,差分方程的描述,离散时间线性,移不变系统,(,n),y(n),离散变量,n,的函数,x,(n,),及其位移函数,x,(n-m,),线性叠加而构成的方程,.,一,.,表示法,常系数：,a,0,a,1,a,N,; b,0,b,1,b,M,均是常数（不含,n,）,.,线性：,y(n-k),，,x(,n-m),各项只有一次幂,不含它们的乘积项。,1.一个,常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由,边界条件,（初始）所决定。,2.,我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。,注意：,1系指系统的输入与输出的运算关系的表述方法。,2差分方程可直接得到系统结构。,例：,y(n)=b,0,x,(n)-,a,1,y(n-1),用,表示相加器；,用,表示乘法器；,用 表示一位延时单元。,二,系统结构,x,(n),b,0,-,a,1,y(n-1),y(n),-,a,1,y(n-1),b,0,x,(n)-a,1,y(n-1),b,0,x,(n),例：差分方程,y(n)= b,0,x,(n)-a,1,y(n-1),表示的系统结构为：,三,解法,时域：迭代法，时域经典法，卷积和法,;,变换域：,Z,变换法,2.5.3,离散卷积的描述,任何一个信号都可以由单位序列的线性组合表示，即,当将此序列输入到线性移不变系统时，其输出为,考虑线性移不变系统满足齐次性和叠加性，则,线性性质：齐次性和叠加性,移不变性,上式表示系统的输出序列和输入序列之间存在卷积和的关系，称为离散卷积，记为,2.5.4,离散状态方程描述,要分析系统首先要用适当的数学式来描述系统的工作状态。,描述系统的方法可以分为,两类,：,1,输入输出描述法,2,状态变量描述法,前面对系统的分析着眼于系统的激励和系统的激励和系统的响应之间的关系，现在需要对,系统内部的变量,加以研究，这就需要借助,状态变量法,研究系统。,采用状态变量分析系统的主要优点,(1),便于研究系统,内部的,一些物理量在信号转换过程中的变化。,(2),这种方法适合分析,多输入多输出系统,。,(3),有时，不需要知道全部输出，只需,定性,的分析系统是否稳定，状态变量可以作为,关键参数,来研究。,(4),离散系统的状态方程都是一阶差分方程，便于采用数值解法，为使用,计算机分析,系统提供了有效途径。,1,、离散系统状态方程的建立,对于一个离散线性移不变系统，其状态方程表为一阶,联立差分程组的形式，即状态方程为：,输出方程为,：,表示成,矢量方程,形式，则有，,状态方程,为：,输出方程为：,其中：,列写离散系统状态方程的方法,(1),根据系统的差分方程确定系统的状态方程,对于离散系统通常用下列,k,阶差分方程描述：,定义用算子符号“,E,”,表示超前一个单位时间的运算，则上式表示成算子形式为：,其中，,1/,E,表示单位延时,传输算子为：,选延时单位输出作为状态变量，则有,表示成矢量方程形式为：,其中,（,2,）根据给定系统的方框图建立状态方程,给定离散系统的方框图，很容易建立系统的状态方程，只要取延时单元的输出作为状态变量即可,。,例,2.5.2,给定离散系统的方框图如图,2.5.5,所示，列出系统的状态方程。,解,由方框图可知，其中有两个延时单元，因而可以设置两个状态变量，分别为 和,表示成矢量方程形式分别为,这样状态方程和输出方程分别为：,2.,离散系统状态方程的求解,(1),矢量差分方程的时域解,离散时间系统的状态方程和输出方程的一般形式如下：,给定： 为输入激励函数；,为初始条件。,将式中的,n,依次用,0,，,1,，,2.,等值反复代入，一直到所需的数值,n,，则最终可以推导出,状态变量,的,时域解：,式中第一项称为,零输入分量,，它仅由初始状态决定而与输入激励无关,第二项称为,零状态分量,，它仅由零输入激励决定而与初始状态无关。,由上面公式可知公式与矩阵 相联系， 称为离散系统的状态转移矩阵，它决定了系统的自由运动情况。,可记,状态转移矩阵,为,则状态变量解可记为,在求得状态矢量后，输出矢量 为：,在求状态变量和输出矢量时，都需要计算状态转移矩阵 。利用,凯利,-,哈密顿,定理有,分别用,A,的特征值代入上式，解联立方程即可求出系数,(2),离散系统状态方程的,Z,变换解,离散时间的状态方程和输出方程为,对上式求,Z,变换，则,对上式整理为,取其反变换即得时域表示式如下：,其状态转移矩阵即为,2.6,物理可实现系统,因果性和稳定性是保证系统物理可实现的重要条件,2.6.1,因果系统,某时刻的,输出,只,取决于此刻,以及,以前时刻,的输入的系统称作因果系统。,实际系统一般是因果系统；,y(n)=,x,(-n),是非因果系统,因,n0,时的输入,;,对于模拟系统，如果是非因果系统，则不可实现。但对于数字系统，利用存储器的存储性能，有些非因果系统可以实现，有些可近似实现，只是系统输出有延时。,线性移不变因果系统的,充要条件,为,h(n)=0,，,n 0,。,2.6.2,稳定系统,有界的输入产生有界的输出系统。,线性移不变稳定系统的充要条件是,结论：因果稳定的线性移不变系统的单位抽样响应是因果的（单边的）且是绝对可和的。,