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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 直线和圆的方程,全章学习成果反馈,答案,1.D,k,MN,=,=,解得,a=,10,即,M,(-2,10),N,(10,4),所以,|MN|=,=,6,故选,D,.,一、单项选择题,:,本题共,8,小题,每小题,5,分,共,40,分,.,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,.,1.,已知过点,M,(-2,a,),N,(,a,4),的直线的斜率为,-,则,|MN|=,(,),A.10B.180C.6,D.6,2,.2022,北师大实验中学高二期中,“,a=,1”,是,“,直线,x,+,ay,-1,=,0,与直线,ax,-,y,+1,=,0,相互垂直,”,的,(,),A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要,条件,答案,2.A,因为,1,a,+,a,(-1),=,0,所以对任意的,a,R,直线,x,+,ay,-1,=,0,与直线,ax,-,y,+1,=,0,相互垂直,.,所以,“,a=,1”,是,“,直线,x,+,ay,-1,=,0,与直线,ax,-,y,+1,=,0,相互垂直,”,的充分不必要条件,.,故选,A,.,3,.,圆,C,:,x,2,+,y,2,-,ax,+2,=,0,与直线,l,相切于点,A,(3,1),则直线,l,的方程为,(,),A,.,2,x,-,y,-5,=,0B,.x,-2,y,-1,=,0,C,.x,-,y,-2,=,0,D,.x,+,y,-4,=,0,答案,3.D,由已知条件,得,3,2,+1,2,-3,a,+2,=,0,解得,a=,4,则圆,C,:,x,2,+,y,2,-4,x,+2,=,0,的圆心为,C,(2,0),则直线,l,的方程,为,y,-1,=,(,x,-3),=,-,x,+3,即,x,+,y,-4,=,0,.,4,.2021,四川绵阳东辰国际学校高二期末,已知圆,M,:,x,2,+,y,2,-2,ay=,0(,a,0),截直线,x,+,y=,0,所得线段的长度为,2,则圆,M,与圆,N,:,x,2,+,y,2,-6,x,-12,y,-4,=,0,的位置关系是,(,),A.,内切,B.,外切,C.,相交,D.,相离,答案,4.A,圆,M,的圆心为,M,(0,a,),半径为,r,1,=a,a,0,圆心,M,(0,a,),到直线,x,+,y=,0,的距离为,所以,(,),2,+(,),2,=a,2,a=,2,所以,M,(0,2),r,1,=,2,.,圆,N,的圆心为,N,(3,6),半径,r,2,=,7,|MN|=,5,=r,2,-,r,1,所以圆,M,与圆,N,内切,.,故选,A,.,5,.2022,山东平邑高二期中,过直线,y=,2,x,-3,上的点作圆,C,:,x,2,+,y,2,-4,x,+6,y,+12,=,0,的切线,则切线长的最小值为,(,),A.,B.,C.2,D.,答案,5.D,在直线,y=,2,x,-3,上任取一点,P,(,x,y,),过点,P,作圆,C,的切线,设切点为,A.,圆,x,2,+,y,2,-4,x,+6,y,+12,=,0,即,(,x,-2),2,+(,y,+3),2,=,1,圆心为,C,(2,-3),半径为,r=,1,.,切线长,|PA|=,=,又,|PC|,min,=,=,所以切线长的最小值为,=,.,6,.,若过定点,M,(-1,0),且斜率为,k,的直线与圆,C,:,x,2,+4,x,+,y,2,-5,=,0,在第一象限有交点,则实数,k,的取值范围是,(,),A.(0,),B,.(-,0),C.(0,)D,.,(0,5,),答案,6.A,圆,C,的方程,x,2,+4,x,+,y,2,-5,=,0,化为,(,x,+2),2,+,y,2,=,9,圆,C,与,x,轴正半轴交于点,A,(1,0,),与,y,轴正半轴交于点,B,(0,),如图所示,.,因为过定点,M,(-1,0),且斜率为,k,的直线与圆,C,:,x,2,+4,x,+,y,2,-5,=,0,在第一象限有交点,所以,k,MA,kk,MB,所以,0,k,.,7,.2022,浙江绍兴鲁迅中学高二上期中,如图,在直角坐标系中,三角形,ABC,的顶点坐标分别,为,A,(0,),B,(-1,0),C,(1, 0),O,为原点,从,O,点出发的光线先经,AC,上的点,P,1,反射到边,AB,上,再由,AB,上,的,点,P,2,反射回到,BC,边上的点,P,3,停止,则直线,OP,1,的斜率的范围为,(,),A.,2,B.,3,C,.,3,D.,2,答案,7.A,因为入射角等于反射角,所以把,ABC,以,AC,为轴进行翻折,使点,B,落到,B,再以,AB,为轴,把,ACB,进行翻折,使点,C,落到,C,如图,.,由,光的反射原理,若,k,OC,则光线反射到边,AC,后不会反射到边,AB,上,所以光线,OP,1,的斜率满足,k,OB,k,OC,.,因为,A,(0,),B,(-1,0),C,(1,0),所以,|AB|=,=,2,|AC|=,=,2,|,BC|=,1-(-1),=,2,所以,ABC,是等边三角形,.,由翻折可得,B,(2,),C,(1,2,),所以直线,OB,的斜率,k,OB,=,直线,OC,的斜率,k,OC,=,2,所以直线,OP,1,的斜率的范围为,2,.,8,.,已知圆,C,1,:(,x,-1),2,+(,y,+1),2,=,1,圆,C,2,:(,x,-4),2,+(,y,-5),2,=,9,点,M,N,分别是圆,C,1,圆,C,2,上的动点,P,为,x,轴上的动点,则,|PN|,-,|PM|,的最大值是,(,),A.2,+4,B.9,C.7,D.2,+2,答案,8.B,易知圆,C,1,:(,x,-1),2,+(,y,+1),2,=,1,的圆心,C,1,(1,-1),半径为,1,圆,C,2,:(,x,-4),2,+(,y,-5),2,=,9,的圆心,C,2,(4,5),半径为,3,.,要使,|PN|,-,|PM|,最大,则需,|PN|,最大,且,|PM|,最小,.,又,|PN|,的最大值为,|PC,2,|,+3,|PM|,的最小值为,|PC,1,|,-1,故,|PN|,-,|PM|,的最大值是,(,|PC,2,|,+3)-(,|PC,1,|,-1),=|PC,2,|,-,|PC,1,|,+4,.,因为点,C,2,(4,5),关于,x,轴的对称点为,C,2,(4,-5),|PC,2,|,-,|PC,1,|=|PC,2,|,-,|PC,1,|,|C,1,C,2,|=,=,5,故,|PC,2,|,-,|PC,1,|,+4,的最大值为,5+4,=,9,故选,B,.,二、多项选择题,:,本题共,4,小题,每小题,5,分,共,20,分,.,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,.,全部选对的得,5,分,部分选对的得,2,分,有选错的得,0,分,.,9.,已知直线,l,1,:,x,+,ay,-,a=,0,和直线,l,2,:,ax,-(2,a,-3),y,-1,=,0,则,(,),A,.,直线,l,2,过定点,(,),B,.,若,l,1,l,2,则,a=,1,或,-3,C,.,若,l,1,l,2,则,a=,0,或,2,D,.,当,a,0,时,l,1,始终不过第三,象限,答案,9.ACD,易知,l,2,:,a,(,x,-2,y,)+3,y,-1,=,0,过定点,(,),A,正确,;,当,a=,1,时,l,1,与,l,2,重合,故,B,错误,;,由,1,a,+,a,(3-2,a,),=,0,得,a=,0,或,2,故,C,正确,;,当,a,0,时,直线,l,1,:,y=,x,+1,始终过点,(0,1),斜率为负,不会过第三象限,故,D,正确,.,故选,ACD,.,10,.2022,吉林一中高一期中,设有一组圆,C,k,:(,x,-2,k,+1),2,+(,y,-,k,),2,=,1,则,(,),A.,这组圆的半径均为,1,B.,直线,2,x,-,y,+2,=,0,平分所有圆,C,k,的面积,C.,直线,2,x,-3,y,+1,=,0,被圆,C,k,截得的弦长相等,D.,存在一个圆,C,k,与,x,轴和,y,轴均,相切,答案,10.AD,A,由圆,C,k,:(x-2,k,+1),2,+(y-,k,),2,=1,可得圆心坐标,C,k,(2,k,-1,k,),半径为,1.,B,把点,(2,k,-1,k,),代入,2x-y+2=0,得,2(2,k,-1)-,k,+2=3,k,=0,不恒成立,即直线,2x-y+2=0,不恒过圆心,.,C,D,若存在一个圆,C,k,与,x,轴和,y,轴均相切,则,|2,k,-1|=|,k,|=1,解得,k,=1.,11,.2022,华东师范大学第二附属中学月考,数学家欧拉在,1765,年提出定理,:,三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上,这条直线被后人称为三角形的,“,欧拉线,”,.,在平面直角坐标系中作,ABC,|AB|=|AC|=,4,点,B,(-1,3),点,C,(4,-2),且其,“,欧拉线,”,与圆,M,:(,x,-3),2,+,y,2,=r,2,相切,则,(,),A.,圆,M,上的点到直线,x,-,y,+3,=,0,的最大距离为,3,B.,圆,M,上的点到直线,x,-,y,+3,=,0,的最小距离为,2,C.,圆,M,上到直线,BC,的距离为,的点有且仅有,2,个,D.,圆,(,x,-,a,-1),2,+(,y,-,a,),2,=,8,与圆,M,有公共点,则,a,的范围是,1-2,1+2,答案,11.BD,由题意,可得示意图如图所示,因为,ABC,为等腰三角形且,|AB|=|AC|,知外心、重心在,BC,的垂直平分线,FH,上,由,“,欧拉线,”,的定义知,FH,即为,“,欧拉线,”,.,线段,BC,的中点为,(,),k,BC,=,-1,所以直线,FH,:,y=x,-1,.,而圆,M,与直线,FH,相切,所以,r=,=,所以圆,M,:(,x,-3),2,+,y,2,=,2,所以圆心,M,到直线,x,-,y,+3,=,0,的距离,d=,=,3,圆,M,上的点到直线,x,-,y,+3,=,0,的距离的范围为,2,4,故,A,错误,B,正确,;,易知直线,BC,:,x,+,y,-2,=,0,则圆心,M,到直线,BC,的距离为,所以圆,M,上到直线,BC,的距离为,的点有,4,个,故,C,错误,;,圆,(,x,-,a,-1),2,+(,y,-,a,),2,=,8,与圆,M,有公共点,即,3,所以,1-2,a,1+2,故,D,正确,.,故选,BD,.,12,.,如图,已知点,A,(2,0),B,(1,1),C,(-1,1),D,(-2,0),是以,OD,为直径的圆上的一段圆弧,是以,BC,为直径的圆上的一段圆弧,是以,OA,为直径的圆上的一段圆弧,三段圆弧构成曲线,则,(,),A,.,曲线,与,x,轴围成的面积等于,B,.,与,的公切线的方程为,x,+,y,-1-,=,0,C,.,所在圆与,所在圆的相交弦所在直线的方程为,x,-,y=,0,D,.,所在圆截直线,y=x,所得弦的弦长为,答案,12.BC,所在圆的方程分别为,(,x,+1),2,+,y,2,=,1,x,2,+(,y,-1),2,=,1,(,x,-1),2,+,y,2,=,1,曲线,与,x,轴围成的图形为一,个半圆,、一个矩形和两个四分之一圆,面积为,+2+2,=,+2,故,A,错误,;,设,与,的公切线的方程为,y=kx,+,b,(,k,0),则,=,=,1,解得,k=,-1,b=,1+,所以,与,的公切线的方程为,y=,-,x,+1+,即,x,+,y,-1,=,0,故,B,正确,;,由,x,2,+(,y,-1),2,=,1,及,(,x,-1),2,+,y,2,=,1,两式相减得,x,-,y=,0,所以所求相交弦所在直线的方程为,x,-,y=,0,故,C,正确,;,所在圆的方程为,(,x,+1),2,+,y,2,=,1,圆心为,(-1,0),圆心到直线,y=x,的距离,d=,=,则所求弦长为,2,=,故,D,错误,.,故选,BC,.,三、填空题,:,本题共,4,小题,每小题,5,分,共,20,分,.,13.,写出一个截两坐标轴所得的弦长相等且半径为,1,的圆的标准方程,:,.,答案,13,.(,x,),2,+(,y,),2,=,1(,答案不唯一,),解析,因为该圆截两坐标轴所得的弦长相等,所以可设圆心坐标为,(,m,m,),由圆的半径为,1,可得,|m|,1,所以可取,m=,则圆的标准方程为,(,x,),2,+(,y,),2,=,1,.,(,其他答案合理均可,.,),14,.,若,O,1,:,x,2,+,y,2,=,5,与,O,2,:(,x,-,m,),2,+,y,2,=,20(,m,R,),相交于,A,B,两点,且两圆在点,A,处的切线互相垂直,则线段,AB,的长是,.,答案,14.4,解析,由题知,O,1,(0,0),O,2,(,m,0),且,|m|,3,.,因为,O,1,A,O,2,A,所以,m,2,=,(,),2,+(2,),2,=,25,所以,m=,5,所以,|AB|=,2,=,4,.,15,.,已知圆,M,:(,x,+,m,),2,+(,y,+1),2,=,1,与圆,N,关于直线,l,:,x,-,y,+3,=,0,对称,且圆,M,上任一点,P,与圆,N,上任一点,Q,之间距离的最小值为,2,-2,则实数,m,的值为,.,答案,15.2,或,6,解析,方法一,设,N,(,x,y,),因为,M,(-,m,-1),圆,M,和圆,N,关于直线,l,对称,所以,解得,所以,N,(-4,-,m,+3),所以,|MN|=,=,.,因为,圆,M,上任一点,P,与圆,N,上任一点,Q,之间距离的最小值为,2,2,所以,2,=,2,2,解得,m=,2,或,6,.,方法二,由圆,M,与圆,N,关于直线,x,-,y,+3,=,0,对称得,圆,M,上的点到直线,x,-,y,+3,=,0,距离,的最小值为,=,1,即圆心,M,(-,m,-1),到直线,x,-,y,+3,=,0,的距离为,1+1,即,=,解得,m=,2,或,m=,6,.,16,.,已知,M,:,x,2,+,y,2,-2,x,-2,y,-2,=,0,直线,l,:2,x,+,y,+2,=,0,P,为,l,上的动点,过点,P,作,M,的切线,PA,PB,切点为,A,B,则,|PM|,|AB|,的最小值是,此时直线,AB,的方程为,.,(,本题第一空,2,分,第二空,3,分,.,),答案,16.4,2,x,+,y,+1,=,0,解析,由,x,2,+,y,2,-2,x,-2,y,-2,=,0,可得,(,x,-1),2,+(,y,-1),2,=,4,则圆心,M,(1,1),半径为,2,如图,连接,AM,BM,四边形,PAMB,的面积为,|PM|,|AB|,要使,|PM|,|AB|,最小,则需四边形,PAMB,的面积最小,即只需,PAM,的面积最小,.S,PAM,=,|PA|,|AM|=|PA|=,=,|PM|,的最小值是圆心,M,到直线,l,的距离,为,d=,=,此时,PM,l,|PA|=,1,四边形,PAMB,的面积为,2,即,|PM|,|AB|,的最小值为,4,.,此时直线,PM,的方程为,x,-2,y,+1,=,0,由,解得,即,P,(-1,0),易知点,P,A,M,B,四点共圆,所以以,PM,为直径的圆的方程为,x,2,+(,y,),2,=,(,),2,即,x,2,+,y,2,-,y,-1,=,0,则直线,AB,的方程为,2,x,+,y,+1,=,0,.,四,、解答题,:,本题共,6,小题,共,70,分,.,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,.,17.(10,分,)2022,山东莒县教育局教学研究室高二期中,已知,ABC,中,A,(-1,0),C,(2,1),角,B,的平分线为,y,轴,.,(1),求点,A,关于,y,轴的对称点,D,的坐标及,BC,边所在直线的方程,;,(2),求,ABC,的外接圆的方程,.,答案,17,.,解析,(1),因为,A,与,D,关于,y,轴对称,所以点,D,(1,0),.,(2,分,),因为角,B,的平分线为,y,轴,所以点,D,(1,0),在直线,BC,上, (3,分,),又,C,(2,1),所以直线,BC,方程为,=,即,x,-,y,-1,=,0,.,(5,分,),(,2),因为角,B,的平分线为,y,轴,所以点,B,在,y,轴上,得,B,(0,-1),.,(6,分,),设,ABC,外接圆的方程为,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F=,0,则有,解得,即,ABC,外接圆的方程为,x,2,+,y,2,-,x,-,y,-2,=,0,.,(10,分,),18,.(12,分,)2022,西南大学附中高二上期中,在平面直角坐标系中,已知圆,C,:,x,2,+,y,2,-8,y,+12,=,0,直线,l,:(3,m,+1),x,+(1-,m,),y,-4,=,0,.,(1),求证,:,直线,l,与圆,C,总有两个不同的交点,;,(2),在,=,0,|,|,最小,过,A,B,两点分别作圆,C,的切线,切线交于点,P,(2,2),这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并求解,.,设圆,C,的圆心为,C,直线,l,与圆,C,交于,A,B,两点,当,时,求直线,l,的方程,.,注,:,如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分,.,答案,18,.,解析,(1),直线,l,:(3,m,+1),x,+(1-,m,),y,-4,=,0,化为,(3,x,-,y,),m,+,x,+,y,-4,=,0,令,解得,所以直线,l,过定点,(1,3),.,(2,分,),又,1+9-24+12,=,-2,0,所以定点,M,(1,3),在圆,C,内,所以直线,l,与圆,C,相交,即直线,l,与圆,C,总有两个不同的交点,.,(5,分,),(,2),将圆的方程化为标准方程,x,2,+(,y,-4),2,=,4,则,C,(0,4),半径,r=,2,.,(6,分,),方案一,选条件,.,因为,=,0,所以,CA,CB,所以在,Rt,ACB,中,|AB|=,2,所以圆心,C,到直线,l,:(3,m,+1),x,+(1-,m,),y,-4,=,0,的距离,d=,=, (9,分,),即,=,解得,m=,-1,所以直线,l,:,x,-,y,+2,=,0,.,(12,分,),方案,二,选条件,.,当直线,l,所过定点,M,(1,3),为弦,AB,的中点时,|,|,最小,此时,CM,AB, (8,分,),又,k,CM,=,=,-1,所以,k,l,=,1,即,=,1,解得,m=,-1,所以直线,l,:,x,-,y,+2,=,0,.,(12,分,),方案三,选条件,.,因为过,A,B,两点分别作圆,C,的切线,切线交于点,P,(2,2),所以,CP,AB, (8,分,),又,k,CP,=,=,-1,所以,k,l,=,1,即,=,1,解得,m=,-1,所以直线,l,:,x,-,y,+2,=,0,.,(12,分,),19,.(12,分,),已知圆,C,:,x,2,+,y,2,+2,x,-4,y,+,m=,0,.,(1),若圆,C,截,x,轴所得弦的弦长等于半径的一半,求,m,的值,;,(2),当,m=,3,时,若圆,C,的切线在,x,轴和,y,轴上的截距相等,求此切线的方程,.,答案,19.,解析,(1),将圆,C,的方程化为标准方程为,(,x,+1),2,+(,y,-2),2,=,5-,m,所以圆,C,的圆心为,C,(-1,2),半径为,r=,.,(2,分,),因为圆,C,截,x,轴所得弦的弦长等于半径的一半,所以,(,),2,+2,2,=r,2,(3,分,),所以,r,2,=,即,5-,m=,解得,m=,.,(5,分,),(,2),当,m=,3,时将圆,C,的方程化为标准方程为,(,x,+1),2,+(,y,-2),2,=,2,其圆心,C,(-1,2),半径,r=,.,(7,分,),当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线的方程为,y=kx,所以圆心到切线的距离为,=,即,k,2,-4,k,-2,=,0,解得,k=,2,所以切线方程为,y=,(2+,),x,或,y=,(2,),x.,(9,分,),当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线的方程为,x,+,y,-,a=,0,所以圆心到切线的距离为,=,即,|a,-1,|=,2,解得,a=,3,或,-1,所以切线方程为,x,+,y,+1,=,0,或,x,+,y,-3,=,0,.,(11,分,),综上所述,所求切线方程为,y=,(2+,),x,或,y=,(2,),x,或,x,+,y,+1,=,0,或,x,+,y,-3,=,0,.,(12,分,),20,.(12,分,)2022,江苏省阜宁中学高二期中,为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全,海事部门在某平台,O,的正东方向设立了两个观测站,A,B,(,点,A,在点,O,、点,B,之间,),它们到平台,O,的距离分别为,3,海里和,12,海里,记海平面上到两观测站的距离,|PA|,|PB|,之比为,的点,P,的轨迹为曲线,E,规定曲线,E,及其内部区域为安全预警区,.,(1),以,O,为坐标原点,AB,所在直线为,x,轴建立平面直角坐标系,(,如图,),求曲线,E,的方程,.,(2),某日在观测站,B,处发现,在该海上平台正南,2,海里的,C,处,有一艘轮船正以,每,小时,10,海里的速度向北偏东,30,方向航行,如果航向不变,该轮船是否会进入安全,预,警区,?,如果不会进入,说明理由,;,如果会进入,求它在安全预警区中的航行时间,.,答案,20,.,解析,(1),设,P,(,x,y,),由题意得,A,(3,0),B,(12,0),=,即,2,|PA|=|PB|,所以,2,=,即,x,2,+,y,2,=,36,所以曲线,E,的方程为,x,2,+,y,2,=,36,.,(4,分,),(2),因为,C,在该海上平台正南,2,海里处,所以,C,(0,-2,),.,因为轮船向北偏东,30,方向航行,所以轮船航行直线,l,的倾斜角为,60,即直线,l,的斜率为,所以轮船航行直线,l,的方程为,y,+2,=,(,x,-0),即,x,-,y,-2,=,0,.,(6,分,),因为,曲线,E,的方程为,x,2,+,y,2,=,36,圆心,O,(0,0),半径为,R=,6,所以圆心,O,到直线,l,的距离,d=,=,0,所以,k,2,.,(5,分,),设,M,(,x,1,y,1,),N,(,x,2,y,2,),得,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=,(6,分,),由,=,26,得,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=,(,k,2,+1),x,1,x,2,+3,k,(,x,1,+,x,2,)+9,=,26,即,k,2,-2,k,+1,=,0,所以,k=,1,与,k,2,不符,所以满足条件的直线不存在,.,(8,分,),MN,中点坐标为,(,)(,k,2,),所以,=,=,+3,.,(10,分,),设,MN,中点,D,为,(,x,D,y,D,),则,x,D,=,y,D,=,+3,=k,将,k=,代入,x,D,=,中,得,(,x,D,),2,+,=,所以中点,D,的轨迹方程为,(,x,),2,+(,y,-3),2,=,.,(12,分,),22,.(12,分,)2022,河南南阳一中高二期中,已知动点,M,与两个定点,O,(0,0),A,(3,0),的距离的比为,动点,M,的轨迹为曲线,C.,(1),求曲线,C,的方程,并说明其形状,;,(2),过直线,x=,3,上的动点,P,(3,p,)(,p,0),作曲线,C,的两条切线,PQ,PR,(,Q,R,为切点,),N,为弦,QR,的中点,直线,l,:3,x,+4,y=,6,分别与,x,轴、,y,轴交于点,E,F,求,NEF,的面积,S,的取值范围,.,答案,22.,解析,(1),设,M,(,x,y,),由,=,得,=,化简得,x,2,+,y,2,+2,x,-3,=,0,即,(,x,+1),2,+,y,2,=,4,.,故曲线,C,的方程为,(,x,+1),2,+,y,2,=,4,曲线,C,是以,(-1,0),为圆心,以,2,为半径的圆,.,(3,分,),图,1,(2),由题意知,PQ,PR,与圆相切,Q,R,为切点,则,DQ,PQ,DR,PR,则,D,R,P,Q,四点共圆,Q,R,在以,DP,为直径的圆上,(,如图,1),.,设,D,(-1,0),又,P,(3,p,)(,p,0),则,DP,的中点为,(1,),|DP|=,.,以线段,DP,为直径的圆的方程为,(,x,-1),2,+(,y,),2,=,(,),2,整理得,x,2,+,y,2,-2,x,-,py,-3,=,0,., (5,分,),又,Q,R,在曲线,C,:,x,2,+,y,2,+2,x,-3,=,0,上,-,得,4,x,+,py=,0,所以切点弦,QR,所在直线的方程为,4,x,+,py=,0,(6,分,),则,QR,恒过坐标原点,O,(0,0),.,(7,分,),由,对称性可知,QR,的中点,N,在,x,轴上当且仅当点,P,在,x,轴上,因为,p,0,点,P,不在,x,轴上,则点,N,也不在,x,轴上,所以点,N,与,D,O,均不重合,.,图,2,因为,N,为弦,QR,的中点,所以,DN,QR,即,DN,ON,(,如图,2),所以点,N,在以,OD,为直径的圆上,圆心为,G,(,0),半径,r=,.,因为直线,3,x,+4,y=,6,分别与,x,轴、,y,轴交于点,E,F,所以,E,(2,0),F,(0,),|EF|=,.,圆心,G,(,0),到直线,3,x,+4,y,-6,=,0,的距离,d=,=,.,(10,分,),设,NEF,的边,EF,上的高为,h,则点,N,到直线,3,x,+4,y=,6,的距离为,h,则,h,的最小值为,d,-,r=,=,1,h,的最大值为,d,+,r=,=,2,.,则,S,min,=,1,=,S,max,=,2,=,.,因此,NEF,的面积,S,的取值范围是,.,(12,分,),
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