项目五轴向拉伸和压缩的讲义课程

95,项目五 轴向拉伸和压缩,工程力学,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,项目五,轴向拉伸和压缩,项目五,轴向拉伸和压缩,课题,5.1,轴向拉伸和压缩的概念,课题,5.2,轴力、轴力图,课题,5.3,拉,(,压,),杆内的应力与圣维南原理,课题,5.4,拉,(,压,),杆的变形,课题,5.5,材料在拉伸和压缩时的力学性能,课题,5.6,许用应力与强度条件,课题,5.7,应力集中与材料疲劳,课题,5.8,拉压杆的超静定问题,课题,5.1,轴向拉伸和压缩的概念,工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。,课题,5.2,轴力、轴力图,1、内力的概念：,内力,：外力作用引起的、构件内部互相之间分布内力系的合力。,(1),假想沿,m-m,横截面将,杆,切开,(2),留下,左半段或右半段,(3),将弃去部分对留下部,分的作用用内力,代替,(4),对留下部分写,平衡,方,程，求出内力的值。,求解内力的方法,截面法,2,、轴力,轴向拉压杆的内力称为,轴力,.,其作用线与杆的轴线重合,用符号,表示。,截面法求轴力：,F,F,m,m,F,F,N,F,F,N,(1),假想沿,m-m,横截面将,杆,切开,(2),留下左半段或右半段,(3),将弃去部分对留下部分,的作用用内力代替,(4),对留下部分写平衡方程,求出内力即轴力的值,轴力的正负号规则,同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。,拉力为正，即引起纵向伸长变形的轴力为正,压力为负,即引起纵向缩短变形的轴力为负,课题,5.3,拉,(,压,),杆内的应力与圣维南原理,应力就是单位面积上的内力,?,1,、应力的概念,应力,受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度，即内力集度。,F,1,F,n,F,3,F,2,(,工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为,“,破坏,”,或,“,失效,”,往往从内力集度最大处开始,。,),应力的国际单位为,N/m,2,（帕斯卡）,1N/m,2,=1Pa,1MPa=10,6,Pa,1N/mm,2,1GPa=10,9,Pa,F,1,F,2,A,D,F,F,Qy,F,Qz,F,N,M,垂直于截面的应力称为,“ 正应力”用 表示,与截面相切的应力称为,“ 切应力”用,表示,2,、拉,(,压,),杆横截面上的应力,在拉（压）杆的,横截面上，,与轴力,F,N,对应的应力是正应力 。,根据连续性假设，横截面上到处都存在着应力。按照,静力学关系,求合力：,观察变形：,几何关系和物理,关系：确定 的分布情况,平面假设,变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于轴线。,横向线,ab,、,cd,仍为直线，且仍垂直于杆轴线，只是分别平行移至,a,b,、,c,d,。,从平面假设可以判断：,（,1,）所有纵向纤维伸长相等,（,2,）因材料均匀，故各纤维受力相等,（,3,）内力均匀分布，各点正应力相等，为常量,外力作用于杆端的方式不同（例如，外力作用在杆件端面的局部或者整个端面），在一般情况下只会影响外力作用处附近横截面上的应力分布情况，而影响范围不大于杆的横向尺寸。,注意上式只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确，而在外力作用点附近的应力情况比较复杂。,圣维南原理：,（7-3）,此最大轴力所在横截面称为危险截面，由此式算得的正应力即危险截面上的正应力，称为,最大工作应力,。,当杆受几个轴向外力作用时，从截面法可求得其最大轴力；对等直杆来讲，将它代入公式 ，即得杆内的最大应力为：,一横截面面积,A,=400mm,2,的等直 杆，其受力如图所示。试求此杆的最大工作应力。,解：此杆的最大轴力为：,最大工作应力为：,例题,一横截面为正方形的砖柱分上下两段，其受力情况、各段长度及横截面尺寸如图所示。已知,F,=50,k,N,，,试求荷载引起的最大工作应力。,解：首先作轴力图。由于此柱为变截面杆，因此要求出每段柱的横截面上的正应力，从而确定全柱的最大工作应力。,例题,例题,最大工作应力为：,例题,最大应力,s,max,与按等截面杆算得的应力,s,0,之比即,应力集中系数,a,：,课题,5.4,拉,(,压,),杆的变形,杆件在轴向拉压时：,沿轴线方向产生伸长或缩短,纵向变形,1,、纵向变形,x,y,C,O,A,B,x,z,线应变,:,当杆沿长度非均匀变形时,A,C,B,x,x,绝对变形,受力物体变形时，一点处沿某一方向微小线段的相对变形,当杆沿长度均匀变形时,纵向线应变,(,无量纲,),，,且伸长时为正，缩短时为负。,实验表明,：,在材料的线弹性范围内，,L,与外力,F,和杆长,L,成正比，与横截面面积,A,成反比。,胡克定律,在材料的线弹性范围内，正应力与纵向线应变呈正比关系。,：,拉抗（压）刚度,当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。,在计算,L,的,L,长度内，,F,N,E,A,均为常数。,2,、横向变形,横向线应变，且拉杆为负，压杆为正,b=b,1,b,泊松比,b,b,1,由于横向线应变与纵向线应变的正负号恒相反，故,试验表明，横向线应变与纵向线应变的比的绝对值为一常数 ，即,课题,5.5,材料在拉伸和压缩时的力学性能,一,.,材料的拉伸和压缩试验,圆截面试样：,l,= 10,d,或,l,= 5,d,(,工作段长度称为标距,),。,矩形截面试样： 或 。,拉伸试样,试验设备 ：,(1),万能试验机：强迫试样变形并测定试样的抗力。,(2),变形仪：将试样的微小变形放大后加以显示的仪器。,圆截面短柱,(,用于测试金属材料的力学性能,),正方形截面短柱,(,用于测试非金属材料的力学性能,),压缩试样,实验装置（万能试验机）,2.,低碳钢试样的拉伸图及低碳钢的力学性能,拉伸图,纵坐标,试样的抗力,F,(,通常称为荷载,),横坐标,试样工作段的伸长量,低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段：,(1),阶段,弹性阶段,变形完全是弹性的，且,l,与,F,成线性关系，即此时材料的力学行为符合胡克定律。,(2),阶段,屈服阶段,在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。,此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成,45,的滑移线,(,，当,=45,时,a,的绝对值最大,),。,(3),阶段,强化阶段,试件的变形主要是塑性变形，且变形过程中不断发生强化，使抗力增加。整个试件的横向尺寸在缩小。,卸载及再加载规律,若在强化阶段卸载，则卸载过程中,F,l,关系为直线。可见在强化阶段中，,l,=,l,e,+,l,p,。,卸载后立即再加载时，,F,l,关系起初基本上仍为直线,(,eb,),，直至当初卸载的荷载,冷作硬化现象,。试样重新受拉时其在线弹性范围内所能承受的最大荷载将增大，而断裂前所能产生的塑性变形则减小。,(4),阶段,局部变形阶段,试样上出现局部收缩,颈缩,，并导致断裂。,低碳钢的应力,应变曲线,(,s,e,曲线,),为消除试件尺寸的影响，将低碳钢试样拉伸图中的纵坐标和横坐标换算为应力,s,和应变,e,，即 ，,其中：,A,试样横截,面的原面积，,l,试样工作段的原长。,低碳钢,s,e,曲线上的特征点：,比例极限,s,p,弹性极限,s,e,屈服极限,s,s,(,屈服的低限,),强度极限,s,b,(,拉伸强度,),Q235,钢的主要强度指标：,s,s,= 240 MPa,，,s,b,= 390 MPa,低碳钢拉伸试件,低碳钢拉伸破坏演示,低碳钢拉伸试件破坏断口,低碳钢的塑性指标：,伸长率,断面收缩率：,A,1,断口处最小横截面面积。,Q235,钢：,y,60%,Q235,钢：,(,通常,d,5%,的材料称为塑性材料,),注意：,(1),低碳钢的,s,s,，,s,b,都还是以相应的抗力除以试样横截面的原面积所得，实际上此时试样直径已显著缩小，因而它们是,名义应力,。,(2),低碳钢的强度极限,s,b,是试样拉伸时最大的名义应力，并非断裂时的应力。,(3),超过屈服阶段后的应变还是以试样工作段的伸长量除以试样的原长而得， 因而是,名义应变,。,(4),伸长率是把拉断后整个工作段的均匀塑性伸长变形和颈缩部分的局部塑性伸长变形都包括在内的一个平均塑性伸长率。标准试样所以规定标距与横截面面积,(,或直径,),之比，原因在此。,思考： 低碳钢的同一圆截面试样上，若同时画有两种标距（,l,= 10,d,和,l,= 5,d,),，试问所得伸长率,d,10,和,d,5,哪一个大？,3.,其他金属材料在拉伸时的力学性能,由,s,e,曲线可见：,材料,锰钢,强铝,退火球墨铸铁,弹性阶段,屈服阶段,强化阶段,局部变形阶段,伸长率,5%,5%,5%,s,p0.2,(,规定非比例伸长应力，屈服强度,),用于无屈服阶段的塑性材料,割线弹性模量,用于基本上无线弹性阶段的脆性材料,脆性材料拉伸时的唯一强度指标：,s,b,基本上就是试样拉断时横截面上的真实应力。,铸铁拉伸破坏试验演示,4.,金属材料在压缩时的力学性能,低碳钢拉、压时的,s,s,基本相同。,低碳钢压缩时,s,-,e,的曲线,低碳钢材料轴向压缩时的试验现象,低碳钢压缩试验演示,铸铁压缩时的,s,b,和,d,均比拉伸时大得多；,不论拉伸和压缩时在较低应力下其力学行为也只近似符合胡克定律。,灰口铸铁压缩时的,s,e,曲线,试样沿着与横截面大致成,50,55,的斜截面发生错动而破坏。,材料依在常温,(,室温,),、静荷载,(,徐加荷载,),下由拉伸试验所得伸长率,d,和断面的收缩率,y,区分为塑性材料和脆性材料。,塑性材料,d,，,y,两数值均较高，例如低碳钢等；脆性材料,d,25%,，例如灰口铸铁等。,铸铁压缩破坏演示,铸铁压缩破坏断口,拉压破坏试件,5.,几种非金属材料的力学性能,(,1,),混凝土压缩时的力学性能,使用标准立方体试块测定,端面润滑时的破坏形式,端面未润滑时的破坏形式,压缩强度,s,b,及破坏形式与端面润滑情况有关。以,s,e,曲线上,s,= 0.4,s,b,的点与原点的连线确定“割线弹性模量”。,混凝土的标号系根据其压缩强度标定，如,C20,混凝土是指经,28,天养护后立方体强度不低于,20 MPa,的混凝土。,压缩强度远大于拉伸强度。,木材的力学性能具有方向性，为各向异性材料。如认为木材任何方面的力学性能均可由顺纹和横纹两个相互垂直方向的力学性能确定，则又可以认为木材是正交异性材料。,松木在顺纹拉伸、压缩和横纹压缩时的,s,e,曲线如图。,(2),木材拉伸和压缩时的力学性能,木材的横纹拉伸强度很低,(,图中未示,),，工程中也避免木材横纹受拉。木材的顺纹拉伸强度受木节等缺陷的影响大。,(3),玻璃钢（玻璃纤维与热固性树脂粘合而成的复合材料）,纤维单向排列的玻璃钢沿纤维方向拉伸时的,s,e,曲线如图中,(c),，纤维增强复合材料所用的纤维尚有碳纤维、硼纤维等。,6.,安全因数和许用应力,拉压杆强度计算时的许用应力 ，式中,s,u,对于塑性材料取屈服极限,s,s,，对脆性材料，取强度极限,s,b,。引入安全因数,n,考虑两方面原因：,(1),材料力学性能、荷载和其他数据的不确定性，以及计算图式、计算公式的近似。,(2),根据构件的重要性等给以一定的安全储备。,塑性材料拉压许用应力相同，脆性材料许用拉应力,s,t,远小于许用压应力,s,c,课题,5.6,许用应力与强度条件,为使杆件在外力作用下不致发生断裂或者显著的永久变形（即塑性变形），即不致发生强度破坏，杆件内最大工作应力,s,max,不能超过杆件材料所能承受的极限应力,s,u,，而且要有一定的安全储备。这一强度条件可用下式来表达,上式中，,n,是大于 1 的因数，称为安全因数，其数值通常是由设计规范规定的。它包括了两方面的考虑。 一方面是强度条件中有些量的本身就存在着主观认识与客观实际间的差异，另一方面则是给构件以必要的安全储备。,材料受拉伸（压缩）时的极限应力要通过试验来测定。,极限应力除以安全因数得到材料能安全工作的许用应力,s,。于是强度条件又可写作,应用强度条件可对拉、压杆件进行如下三类计算：,3. 确定许用荷载已知杆件的横截面积,A,、,材料的许用应力,s,以及杆件所承受的荷载的情况，根据强度条件确定此杆所能容许的轴力，从而计算荷载的最大容许值。,2. 选择截面尺寸已知荷载及许用应力，根据强度条件选择截面尺寸。,1. 校核强度 已知杆件的横截面面积,A,、,材料的许用应力,s,以及杆件所承受的荷载，检验是否满足下式，从而判定杆件是否具有足够的强度。,一横截面为矩形的钢制阶梯状直杆，其受力情况、各段长度如图(,a),所示。,BC,段和,CD,段的横截面面积是,AB,段横截面面积的两倍。矩形截面的高度与宽度之比,h,/,b,=1.4，,材料的许用应力,s,=160 MPa,。试选择各段杆的横截面尺寸,h,和,b,。,例题,解：,首先作杆的轴力图,。,对于,AB,段，要求,：,例题,对于,CD,段，要求,由题意知,CD,段的面积是,AB,段的两倍，应取,例题,可得,AB,段横截面的尺寸,b,1,及,h,1,：,由,由,可得,CD,段横截面的尺寸,b,2,及,h,2,：,例题,解：要研究自重对杆的强度的影响，应探讨自重与杆内最大正应力的关系，为此可先算出杆的任一横截面上的轴 力，从而求出杆的最大轴力。,例题,图示,一,等直杆在自重和力,作用下的示意图。已知杆的横截面面积为,A,，,材料密度为,r,，许用应力为,s,。试分析杆的自重对强度的影响。,作轴力图如下：,例题,由此可见，若杆的,r,g,l,与其材料的,s,相比很小，则杆的自重影响很小而可忽略不计。,例题,有一三角架如图所示，其斜杆由两根 等边角钢组成，横杆由两根10号槽钢组成，材料均为,Q235,钢，许用应力,s,=120 MPa,。 求许用荷载 ,F,。,例题,解：,(1),首先求斜杆和横杆的轴力与荷载的关系。,例题,(2),计算许用轴力。由型钢表查得：,知许用轴力为：,例题,(3),计算许用荷载。,故斜杆和横杆都能安全工作的许用荷载应取,例题,课题,5.7,应力集中与材料疲劳,一、应力集中,由杆件截面骤然变化而引起的局部应力骤增现象，称为,应力集中,。,应力集中的程度用所谓理论应力集中因数,表示，其定义为,式中， 为最大局部应力； 为该截面上的名义应力,(,轴向拉压时即为截面上的平均应力,),。,二、应力集中对构件强度的影响,对于由脆性材料制成的构件，当由应力集中所形成的最大局部应力到达强度极限时，构件即发生破坏。因此，在设计脆性材料构件时，应考虑应力集中的影响。 对于由塑性材料制成的构件，应力集中对其在静荷载作用下的强度则几乎无影响。,一、,超静定的基本概念,1. 静定结构与超静定结构,静定结构,由静力平衡方程可求出全部未知力。,(,a),(,b),(,c),课题,5.8,拉压杆的超静定问题,超静定结构,仅由静力平衡方程不能求出全部未知力。,超静定的次数未知量数目与独立平衡方程数目之差。,一次超静定结构,二、多余约束与超静定次数,超静定结构 = 静定结构 + 多余约束,多余约束,其对于保证结构的平衡与几何不变而言是多余的。,多余约束的数目,超静定次数。,超静定次数 = 全部未知力数目独立的平衡方程数,求解超静定问题的基本方法,1. 求解任何超静定问题，都必须同时考虑三个方面条件:,(,3),静力学方面（平衡条件）,(,1),几何方面（变形相容条件）,(,2),物理方面（力与变形的关系）,2. 解题步骤,(1) 画受力图，列出独立的平衡方程，并确定超静定次数;,(2) 画变形关系图，列出变形协调方程;,(3) 根据胡克定律，列出物理方程;,(4) 将物理方程代入变形协调方程得补充方程;,(5) 联立求解平衡方程和补充方程，解出全部未知力。,荷载作用下的拉,压杆超静定问题,解: 此为一次超静定问题,(,1),变形协调方程,例题,7-12,已知:,l,E,A,。求:,s,max,(,2),物理方程,例题,(,3),平衡方程,(4) 解方程, 得:,例题,解: 此为一次超静定问题,例题,(,b), (c),正确,(,d), (e), (f), (g),错误,判断上述变形图是否正确？,例题,对(,b),图:,(,1),变形协调方程,(,2),物理方程,例题,(4) 补充方程,(5) 解方程，得:,例题,(,3),平衡方程,例题,三、拉压杆的温度应力及装配应力,1. 温度应力,温度应力：由于温度变化，在超静定结构中引起的应力。,当温度升高,T,时，若没有多余约束，产生,的纵向位移是,l,T,a,l,是线膨胀系数，单位是,1/,C,。,由于多余约束的存在，不能自由变形，而产生了温度应力。,高温车间的钢筋混凝土梁，已知:,例题,解：,例题,补充方程：,例题,温度应力约是,d,=2mm,的,2.47,倍。,降低温度应力的措施：伸缩缝，膨胀节。,2. 装配应力,超静定结构中，由于多余约束的存在，不能自由变形，当构件尺寸不精确时,组装后会产生附加应力，即装配应力。例如火车车轮中轮箍与轮心的过盈配合。,小结与讨论,1.,求解超静定的方法：,(1) 静力平衡方程,(2) 变形协调方程,(3) 物理方程,补充方程,2.,超静定结构的特征:,(1) 有多余约束，结构相对较可靠;,(2) 一般内力值与各杆刚度,EA,有关;,(3) 由于温度变化和制造误差会产生初应力。,3.,讨论,(2),当,d,=0,时,继续加载，如何求解各段的内力?,(1),当,力为多大时,，,d,恰好消失?,参考答案：,(2),补充方程：,