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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Sichuan University,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,静电场性质（二）,三,.,高斯定律,导体,对上式等号两端取散度；,利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质，得,高斯定律的微分形式,真空中高斯定律的微分形式,分布电荷产生电场,2,三,.,高斯定律,导体,其物理意义表示为,高斯定律说明了,静电场是一个有源场,，电荷就是场的散度（通量源），电力线从正电荷发出，终止于负电荷。,3,三,.,高斯定律,导体,高斯定律的积分形式,式中,n,是闭合面包围的点电荷总数。,散度定理,图,1.2.11,闭合曲面的电通量,E,的,通量仅与闭合面,S,所包围的净电荷有关。,4,三,.,高斯定律,导体,图,1.2.12,闭合面外的电荷对场的影响,重要结论：,S,面上的,E,是由系统中全部电荷产生的。,5,三,.,高斯定律,导体,电场强度垂直于导体表面；,导体是等位体，导体表面为等位面；,导体内电场强度,E,为零；,电荷分布在导体表面，且,静电平衡时导体的性质,图,1.2.13,静电场中的导体,6,三,.,高斯定律,电介质,静电场中的电介质,无极性分子,有极性分子,图,1.2.14,电介质的极化,7,电介质,在外电场,E,作用,下发生,极化,，形成有向排列的电偶极矩；,电介质内部和表面产生,极化电荷,；,极化电荷与自由电荷,都是,产生电场的源。,式中 为体积元 内电偶极矩的,矢量和,，,P,的方向从负极化电荷指向正极化电荷。,用,极化强度,P,表示电介质的极化程度，即,C/m,2,电偶极矩体密度,三,.,高斯定律,电介质,8,三,.,高斯定律,电介质,实验结果表明,，,在各向同性、线性、均匀介质中,电介质的极化率,无量纲量。,均匀：,媒质参数不随空间坐标（,x,y,z,）而变化。,各向同性,：媒质的特性不随电场的方向而改变,反之称为各向异性；,线性,：媒质的参数不随电场的值而变化；,9,三,.,高斯定律,电介质,极化电荷体密度,极化电荷面密度,这就是电介质极化后，由面极化电荷 和体极化电荷 共同作用在,真空,中产生的电位。,10,三,.,高斯定律,电介质,在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度,根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和,有电介质存在的场域中，任一点的电位及电场强度表示为,11,三,.,高斯定律,电介质,电介质中的高斯定律,（电介质中）,定义,电位移矢量,（,Displacement,）,则有,电介质中高斯定律的微分形式,代入,得,a,）高斯定律的微分形式,（真空中）,12,三,.,高斯定律,电介质,其中,相对介电常数；,介电常数，单位（,F/m,）,在各向同性介质中,D,线从正的,自由电荷,发出而终止于负的,自由电荷,。,13,例题：,E=0.15MV/m,，,=4.25,的电介质中，求,D,和,P,的大小,14,三,.,高斯定律,电介质,图示平行板电容器中放入一块介质后，其,D,线、,E,线和,P,线的分布。,D,线,E,线,P,线,图,1.2.17,D,、,E,与,P,三者之间的关系,15,三,.,高斯定律,电介质,D,线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷；,P,线由,负,的极化电荷发出，终止于,正,的极化电荷。,E,线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；,16,三,.,高斯定律,电介质,D,的通量与介质无关，但不能认为,D,的分布与介质无关。,高斯定律的积分形式,散度定理,D,通量,只取决于高斯面内的,自由电荷,，而高斯面上的,D,是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。,17,三,.,高斯定律,电介质,例,1.2.2,求电荷线密度为,的无限长均匀带电体的电场。,高斯定律的应用,计算技巧：,a,）分析给定场分布的对称性，判断能否用高斯定律求解。,b,）选择适当闭和面,作为高斯面，使 容易积分。,高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定,对称性的场才能得到解析解,。,18,三,.,高斯定律,电介质,由 得,解：电场分布特点：,D,线皆垂直于导线，呈,辐射,状态；,等,r,处,D,值相等；,取,长为,L,，半径为,r,的封闭圆柱面为高斯面。,19,三,.,高斯定律,电介质,设距直导线距离为,a,处为电位参考点,a,空间任意点的电位,:,20,三,.,高斯定律,电介质,S,侧,S,底,例,2,：求无限大均匀带电平面的电场分布。已知带电平面面电荷密度为 。,解：,.,P,r,21,三,.,高斯定律,电介质,选择到平面距离为,a,的平面为参考平面,a,P,r,22,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,静电场的基本方程,静电场是一个,无旋、有源场,，静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：,23,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,解：根据,静电场的旋度恒等于零,的性质,对应静电场的基本方程 ，矢量,A,可以表示一个静电场。,例,1.3.1,已知 试判断它能否表示个静电场？,24,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,以分界面上点,P,作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（ ）。,电位移矢量,D,的衔接条件,则有,根据,25,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,电场强度,E,的衔接条件,以点,P,作为观察点，作一小矩形回路（ ）。,分界面两侧,E,的切向分量连续。,分界面两侧的,D,的法向分量不连续。当 时，,D,的法向分量连续。,图,1.3.2,在电介质分界面上应用环路定律,根据 则有,26,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,表明：,（,1,）导体表面是一等位面，电力线与导体表面垂直，电场仅有法向分量；（,2,）导体表面上任一点的,D,就等于该点的自由电荷密度 。,当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为：,图,1.3.3a,导体与电介质分界面,27,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,在交界面上,不存在,时，,E,、,D,满足折射定律。,折射定律,图,1.3.3,分界面上,E,线的折射,折射定律,例题,1-10,28,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,因此,表明,:,在介质分界面上，电位是连续的。,用电位函数 表示分界面上的衔接条件,设点,1,与点,2,分别位于分界面的两侧，其间距为,d,，,则,图,1.3.4,电位的衔接条件,29,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,表明,:,一般情况下,电位的,导数,是不连续的。,30,例,1.3.2,如图,(a),与图,(b),所示平行板电容器,已知 和,图,(a),已知极板间电压,U,0,图,(b),已知极板上总电荷,试分别求其中的电场强度。,（,a,）,（,b,）,图,1.3.5,平行板电容器,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,31,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,解：忽略边缘效应,图（,a,）,32,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,图（,b,）,33,静电场基本方程,.,分界面上的边界条件,34,静电场边值问题,.,唯一性定理,35,静电场边值问题,.,唯一性定理,泊松方程与拉普拉斯方程,推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：,泊松方程,拉普拉斯方程,拉普拉斯算子,36,静电场边值问题,.,唯一性定理,37,静电场边值问题,.,唯一性定理,38,数学物理方程,是描述物理量随,空间,和,时间,的变化规律，对于某一特定区域和时间，方程的解取决与物理量的,初始值,与,边界值,，这些初始值和边界值分别称为,初始条件,和,边界条件,，两者又统称为该方程的,定解条件,，静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件，根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的,边值问题,。,通常给定的边界条件有三种类型：,1.,给定的是边界上的物理量，这种边界条件又称为,狄利克雷,问题,2.,给定的是边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为,诺依曼,问题,3.,给定的是一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为,混合,问题,静电场边值问题,.,唯一性定理,39,静电场边值问题,.,唯一性定理,泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。,例,列出,求解区域的微分方程,图,1.4.1,三个不同媒质区域的静电场,40,已知场域边界,上各点电位值,自然,边界条件,参考点电位,有限值,边值问题,微分方程,边界条件,场域,边界条件,分界面,衔接条件,第一类,边界条件,第二类,边界条件,第三类,边界条件,已知场域边界,上各点电位,的法向导数,一、二类边界条件的线性组合，即,41,静电场边值问题,.,唯一性定理,边值问题,研究方法,计算法,实验法,作图法,解析法,数值法,实测法,模拟法,定性,定量,积分法,分离变量法,镜像法、电轴法,微分方程法,保角变换法,有限差分法,有限元法,边界元法,矩量法,模拟电荷法,数学模拟法,物理模拟法,边值问题研究方法,42,静电场边值问题,.,唯一性定理,解：,根据场分布对称性，确定场域,。,（阴影区域）,场的边值问题,例题,图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为,2b,的正方形，铅皮半径为,a,，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两导体之间接有电源,U,0,，试写出该电缆中静电场的边值问题。,43,静电场边值问题,.,唯一性定理,44,静电场边值问题,.,唯一性定理,例题,设有电荷均匀分布在半径为,a,的介质球型区域中，电荷体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。,解,:,采用球坐标系,分区域建立方程,（泊松方程）,图,1.4.5,体电荷分布的球形域电场,45,静电场边值问题,.,唯一性定理,边界条件,积分之，得通解,参考点电位,解得,电位连续,46,静电场边值问题,.,唯一性定理,电场强度,（球坐标梯度公式）：,电位：,47,静电场边值问题,.,唯一性定理,对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常数，得到电位的解；再由 得到电场强度,E,的分布。,小结：,48,静电场边值问题,.,唯一性定理,2.,唯一性定理的重要意义,可判断静电场问题的解的正确性：,在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的，称为静电场的,唯一性,定理（,Uniquness,Theorem,）,49,
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