16.2-二次根式的乘除

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,人教版八年级,数学下册,16,二次根式,1,6,.2,二次根式的乘除,利用具体数据探究，不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规律,；,使用逆向思维，得出二次根式乘（除）法规律的逆向等式；,分析,结果，抓住它们的共同点，给出最简二次根式的概念。,学习目标,计算下列各式,观察计算结果,，,你能发现什么规律,?,学 习 新 知,6,6,20,20,60,60,参考上面的结果,用,“,或,=”,填空,.,=,=,=,二次根式的法则,:,=(,a,0,b,0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变,.,想一想,:,二次根式的乘法法则是什么,?,字母表达式是怎样的,?,(3),当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如,m n,=,mn,(,a,0,b,0).,知识拓展,(1),成立的条件是,a,0,且,b,0,千万不能忽略,.,(2),此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如,(,a,0,b,0,c,0).,在,(,a,0,b,0),中,a,b,既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,.,例题,计算：,（,2,）,（,1,）,练习：,你认为,=,(,a,0,b,0).,计算并思考,:,10,10,0.3,0.3,(3),公式中,a,b,既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足,a,0,b,0.,知识拓展,(1),当,a,0,b,”“”,或,“,=”,填空,.,=,=,=,即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,.,想一想：,二次根式的除法法则是什么,?,字母表达式是怎样的,?,思考,:,a,b,的取值范围为什么不同,?,因为分母不能为,0,所以,b,0.,当,a,0,b,0.,(3),当二次根式前面有系数时,可以类比单项式除以单项式的法则进行运算,即系数之商作为系数,被开方数之商作为被开方数,如,m,n =,(,m,n,)(,),其中,a,0,b,0,且,n,0.,知识拓展,(1),当被除式的被开方数能被除式中的被开方数整除时,可直接利用二次根式除法法则计算,.,如,(2,),如果被开方数是带分数，应先化成,假分数，如 应先化成 ，以防出现 这样的错误,.,例题,化简：,（,1,）,如果被开方数是带分数，应先化成假分数。,（,2,）,如果根号前有系数，就把系数相除，仍作为二次根号前的系数。,商的算术平方根的性质,参考上面的结果,用,“,”“”,或,“,=”,填空,.,=,=,=,(,a,0,b,0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,.,结论,逆向思考,解：,问题,能否,将二次根式 化简,？,讲授新课,问题苑,观察下列二次根式及其化简所得结果,比较,被开方数,发生了什么变化,?,被开方数,不含开得尽方的因数,被开方数,不含分母,这样的二次根式，叫做,最简二次根式,。,知识要点,最简二次根式的特点,被开方数不含分母。,被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。,以上各例题的最后结果：,概念库,被开方数满足上述两,个特征的,二次根式，叫做,最简二次根式,（）被开方数,不含,分母,被开方数,是,整数,或,整式,.,最简二次根式,如：,（）,被开方数各,因式,的指数都为,1,分母中不含二次根式。,被开方数不能含有小数或分数。,分子分母不能约分。,最后结果中的二次根式要求化成最简二次根式。,在二次根式的运算中， 最后结果的一般要求,解题策略,化简二次根式的方法,:,把被开方数化为能开得尽方的因数,(,或因式,),与其他因数,(,或因式,),积的形式,再开平方即可,；,被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母,；,当被开方数是和,(,或差,),的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简,.,例题讲解,例,.,判断,下列二次根式是不是最简二次根式,解,(1),因为被开方数含分母，,所以不是最简二次根式,(2),因为被开方数分解：,所以是最简二次根式,注,:,被开方数比较复杂时，,应先进行,因式分解,再观察,判断下列各式是否为最简二次根式？,（,5,） （ ）；,（,2,） （ ）；,（,3,） （ ）；,（,4,） （ ）；,（,1,） （ ）；,（,6,） （ ）,；,（,7,） （ ）；,辨析训练一,被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断,例,2.,将下列二次根式化成,最简二次根式,.,用它的正平方根代替后移到根号外面,.,将,被开方数,中,解,:,由 和,得,x,0,原式,=,解原式,把被开方数,(,或式,),化成,积,的形式，即,分解因式,将,被开方数,中的分母化去,解原式,=,例,3,、,把下列各式化成最简二次根式：,（,1,） ；（,2,）,解,（,1,）,（,2,）,课外拓展,化简二次根式的步骤,:,1.,把被开方数分解因式(或因数) ；,2.,将,被开方数,中,开得尽方,的,因数,(,式,),用它的正平方根代替后移到根号外面,.,3.,将,被开方数,中的分母化去,4.,被开方数是带分数或小数时要化成假分数,.,把下列各式化成最简二次根式：,（,1,） （,2,）,（,3,） （,4,）,练习,一题多解,为了去掉分母中的根号,最后结果的分母中不含二次根式。,分母有理化,把分母中的根号化去,使分母变成有理数，这个过程叫做分母有理化。,2.,分母有理化的关键是要搞清分式的分子和分母都乘什么。,注意,1.,在二次根式的运算中，一般先观察把能化简的二次根式化简，再考虑如何化去分母中的根号。,含有二次根式,不含二次根式,两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果它们的积,不含有,二次根式,就说这两个含有二次根式的非零代数式互为,有理化因式,.,与 互为有理化因式,.,的有理化因式为,;,的有理化因式为,;,的有理化因式为,;,的有理化因式为,.,想一想,把下列各式化成最简二次根式：,（,1,） （,2,）,（,3,） （,4,）,练习,把下列各式分母有理化,:,1. (,a,0,b,0),即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变,.,2. (,a,0,b,0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,.,3.,如果一个二次根式满足以下两个条件,:(1),被开方数不含分母,;(2),被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,.,我们称这样的二次根式为最简二次根式,.,课堂小结,