6.3置 换 群

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,6.3,置,换,群,6.3.1,置换的定义,6.3.2,置换的轮换表法,6.3.3,置换的顺向圈表示,6.3.4,置换的奇偶性,1,6.3.1,置换的定义,定义. 设,M,是一个非空的有限集合，,M,的一个一对一变换称为一个,置换,。,设,M=a,1,a,2,a,n,则,M,的置换,可简记为, ，b,i,=(,a,i,)，i=1,2,n,结论：,M,的置换共有,n！,个。,M,上的置换称为,n,元置换。 特别地，,若,(,a,i,)=,a,i, i=1,2,n,则,为,n,元恒等置换。,S,n,: n！,个置换作成的集合。,2,置换的例,设M=1，2，3，则有3！=6个3元置换，,所有元素不动：,1,一个元素不动：,2, ,3,4,0个元素不动：,5, ,6,故，S,3,= ,1,，,2,，,3,，,4,，,5,，,6,3,置换的乘法,对,M,中任意元素,a,及,M,的任意两个置换,，,规定,（a）=（a）。,例. 设, ，,则,= ，,= ,4,满足结合律：(,)=()，,S,n,。,S,n,中,有单位元:,n,元恒等置换，设为,0,，,有：,0,=,0,=,每个,n,元置换在,S,n,中都有逆元素:,=,置换的乘法的性质,5,n次对称群,n,元置换的全体作成的集合,S,n,对置换的乘法作成一个群，称为,n,次对称群。,n=1，M=a， S,1,= 在置换的乘法作成1次对称群，为Abel群。,n=2,M=a，b, S,2,= , .在置换的乘法作成2次对称群，为Abel群。,当n,3时，S,n,不是交换群。,6,轮换,. 设,是,M,的置换，若可取到,M,的元素,a,1, ,a,r,使,(a,1,)a,2,(a,2,)=a,3,(,a,r,-1,)=,a,r,(,a,r,)=a,1,，,而,不变,M,的其余的元素，则,称为一个轮换， 记为 （,a,1,a,2,a,r,）,6.3.2,置换的轮换表法轮换的定义,7,M,的两个轮换,=(a,1,a,r,),和,=(b,1,b,s,),说,是不相杂或不相交，如果,a,1,a,r,和,b,1,b,s,都不相同(即,a,1,a,r,b,1,b,s,=,),不相杂轮换,8,不相杂轮换,结论,：若和是M的两个不相杂的轮换，则=.,证明：设=（a,1,a,r,），=（b,1,b,s,），,和不相杂。命为M的任意元,若,a,1,a,r,，,设,=,a,i,，,则,()=(,a,i,)=(,a,i,)=,a,i,+1,，, ()=(,a,i,)=(,a,i,+1,)=,a,i,+1,。,i=r,时,a,i,+1,应改为,a,1,。,故,()=()。,9,不相杂轮换,同理可证，,若,b,1,b,s,， ，,也有,（）=（）。,设,a,1,a,r,b,1,b,s,于是，,（）=（）=，,（）=（）=。,综上，,（）,=,（），,故,=,。,10,定理6,.3.2 任意置换恰有一法写成不相杂的,轮换乘积。即，任意置换可以写成不相杂的,轮换的乘积（可表性），如果不考虑乘积的顺,序，则写法是唯一的(唯一性)。,不相杂轮换,11,证明：,（1）可表性。,设是M上置换，任取a,1,M。,若,（a,1,） = a,1,，,则有轮换（,a,1,）。,设,（a,1,）= a,2,， （a,2,）= a,3,，。,由于,M,有限，故到某一个元素,a,r,，(,a,r,),必然不能再是新的元素,即,(,a,r,),a,1,a,r,。,由于,是一对一的，已有,（,a,i,）=,a,i,+1,，i=1，2， ，r-1，,所以,(,a,r,),只能是,a,1,。,于是得到一个轮换（,a,1,a,r,）。,12,若M已经没有另外的元素，则就等于这个轮换，否则设b,1,不在a,1,，a,r,之内，则同样作法又可得到一个轮换（b,1,b,s,）。因为a,1,，a,r,各自已有变到它的元素，所以b,1,，b,s,中不会有a,1,，a,r,出现，即这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可得到一个轮换。如此类推，由于M有限，最后必得,=(a,1,a,r,)(b,1,b,s,) (c,1,c,t,) (1),即表成了不相杂的轮换的乘积。,证明,13,（2）唯一性.,设又可表为不相杂的轮换的乘积如下：,=(a,1,a,r,)(b,1,b,s,) (c,1,c,t,) (2),考虑(1)式中任意轮换(,a,1,a,r,)。,不妨设,a,1,a,1,a,r,，且,a,1,a,。,于是，,a,2,=,（,a,1,）,=,（,a,1,）,= a,2,，,，,a,3,=,（,a,2,）,=,（,a,2,）,= a,3,，,证明,14,证明,可见，（,a,1,a,r,）必和（,a,1,a,r,）完全相同。这就是说，（,1,）中的任意轮换必出现在（,2,）中，同样（,2,）中的任意轮换必出现在（,1,）中，因之，（,1,）和（,2,）一样，最多排列在方法不同，但不相杂的轮换相乘适合交换律，所以排列的次序本来是可以任意颠倒的。,15,例.,设,M,=1，2，3，4，,M,的,24,个置换可写成：,I；,(1 2),(1 3),(1 4),(2 3),(2 4),(3 4)；,(,1 2 3,),(,1 3 2,),(,1 2 4,),(,1 4 2,),(,1 3 4,),(,1 4 3,),(,2 3 4,),(,2 4 3,)；,(,1 2 3 4,),(,1 2 4 3,),(,1 3 2 4,),(,1 3,4 2,),(,1 4 2 3,),(,1 4 3 2,),(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)。,16,轮换的长度,其中所含的元素个数。 （,a,1,a,2,a,r,）,长度为,r。,对换,长度为的轮换。,结论.,任意轮换可以写成对换的乘积。,(,a,1,a,2,a,r,)(a,1,a,r,)(a,1,a,r,)(a,1,a,3,)(a,1,a,2,) (3),推论.,对任意置换，有一法(未必只有一法)可将其写成一些对换的乘积。,(),=,(,1 2,)(,1 3,)(,1 3,),=,(,2 3,)(,1 3,)(,2 3,)。,对换,17,先把置换表成不相杂轮换之乘积，然后用一组顺向圈来表示,每个顺向圈的长度，即圈上所含的元素个数，就是该圈所表示的轮换的长度。,一个,n,元置换对应一组顺向圈，这组圈的长度之总和为,n,；,反之，一组顺向圈表示一置换，置换的元素个数就是组中各图长度之总和。,6.3.3,置换的顺向圈表示,18,n,元置换,对应图形表达式,（图型）,G,= =,1,z,1,+,2,z,2,+ +,r,z,r,z,i,表示长度为,i,的圈,而,z,i,的系数,i,表示如此的,z,i,的个,数;,诸,为非负整数,0,1,n,n,=0,或1；,1,+2,2,+,+r,r,= n,6.3.3,置换的顺向圈表示,19,设表为k个不相杂的轮换的乘积(,包,括长度为,1,的轮换在内),，长度分别为,r,1,，r,2,，r,k,。,若,=,n-k,为奇数（偶数），则称,为,奇置换（偶置换）。,6.3.4 置换的奇偶性,20,因每个长度为r的轮换可写成r-1个对换的乘,积：,(a,1,a,2,a,r,)(a,1,a,r,)(a,1,a,r,)(a,1,a,3,)(a,1,a,2,),于是,可写成 =n-k 个对换的乘积。,结论：,奇置换可表为奇数个对换之积，,偶置换可表为偶数个对换之积。,21,定理6,.3.3,每个置换都能分解为对换的乘积，但偶置换只能分解为偶数个对换的乘积，奇置换只能分解为奇数个对换的乘积。,证明.只,需证明 “只能分解”。,任取,S,n,，设等于,k,个轮换之积，这些,轮换分别含,r,1,，,r,2,，,r,k,个元素，于是,可以写成,个对换之积，,定义置换的符号,sgn,如下：,sgn,=,22,显然，偶置换的符号为1，奇置换的符,号为-1。,首先证明,sgn=sgnsgn （4）,设,等于,k,个,不相杂,轮换之积，,等于h,个不相杂轮换之积，且写成对换中最后一个为（,a b,）。,以（,a b,）乘而看其变化。,23,(,1,)若,a,和,b,在的两个不同的轮换之内:,=,（,aa,1,a,s,）（,bb,1,b,i,）,则,（,ab,）,=,（,aa,1,a,s,bb,1,b,i,）,即，（,ab,）为（h-1）个不相杂轮换之积,故，,sgn,(,ab,),=,(,-1,),n-(h-1),= -(-1,),n-h,= -sgn,(2)若a和b在的同一个轮换之内:,=（aa,1,a,s,bb,1,b,i,）,则（ab）=（aa,1,a,s,）（bb,1,b,i,） ,故，,sgn,(,ab,),=,(,-1,),n-(h+1),= -(-1,),n-h,= -sgn,24,总之，以一个对换乘则将sgn变号，,今等于（n-k）个对换之积，故以乘,将sgn变号（n-k）次，即,sgn,= (-1),n-k,sgn,=sgn,sgn,因此，,和的奇偶性与其乘积的奇偶性之关系如下：,偶偶,=,偶，,奇奇,=,偶，,奇偶=奇， 偶奇=奇。,因为对换是奇置换，所以只有奇数个,对换之积是奇置换，偶数个对换之积是偶,置换。,25,定理6,.3.4,设,M,的元数为,n,，若,n1,，则奇置换的个数和偶置换的个数相等，都等于,。,证明：命 ,1,，,2,，,m,（5）,为M的所有偶置换，由于n1，故可取到一个对换，而作下列乘积：,1,，,2,，,m,（6）,显然,i,是奇置换，而且诸,i,互不相同，,即（,6,）中无重复元素。反证，若,i,=,j,，则以,-1,左乘得,i,=,j,，矛盾，这说明,M,的,奇置换不少于偶置换,。,26,反之，若为,M,的任意奇置换，则,-1,为偶置换，故必等于某一个,i,，,-1,=,i,，因而,=,i,，这说明,M,的,任意奇置换必在（,6,）中,，（,6,）就是,M,的,所有奇置换，,M,的奇置换不多于偶置换。,于是奇置换的个数和偶置换的个数相等，,各占置换总数,n,！的一半。,27,定义,之奇偶性的整数,=,n-k,称为,的定性数,。,定理6.3.5 设,n,元置换,有图型,G,=,则,之定性数等于,=,证明.,n=,1,+2,2,+r,r,+n,n,k=,1,+,2,+,r,+,n,n-k=,2,+,+,（,r-1,）,r,+,+,（,n-1,）,n,=,置换的定性数,28,